Векторно-скалярное (смешанное) произведение

Смешанным произведением векторов называется произведение вектора, полученного при умножено скалярно на вектор , т.е. .

Если мы перемножим , то получим новый вектор, численно равный площади параллелограмма . Пусть это будет вектор .

Тогда . Так как , то . Это смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.

Свойства смешанного произведения трех векторов

1). Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хотя бы один из перемноженных векторов = 0

б) два из перемноженных векторов коллинеарны (т.е. одно из трех измерений параллелепипеда равно 0).

в) три ненулевых вектора компланарны.

2). Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т.е. .

§ 1. Вычисление объема параллелепипеда

В силу этого свойства смешанное произведение векторов условились записывать в виде .

3). Смешанное произведение не изменится , если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке: .

4). При перестановке двух любых векторов смешанное произведение меняет только знак

.

Таким образом, объем параллелепипеда . Но он может быть не только положителен, но и отрицателен, это зависит, образуют ли три вектора систему, одноименную с основой или нет. Основная

Поэтому записывают

.

Пусть заданы векторы через их проекции:

.

Тогда смешанное произведение или можно записать в виде определителя

Например:

Найти смешанное произведение векторов

Если задана треугольная пирамида тремя векторами-ребрами , то ее объем .

§3.Направляющие косинусы

Пусть мы имеем в пространстве вектор , который образует с осями x, y и z соответственно углы . Возьмем проекцию вектора на ось z; . Аналогично и ;

или . При этом называются направляющими косинусами. Можно легко показать, что т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора всегда равна 1. Если же мы имеем два вектора, которые образуют с координатными осями соответственно углы , то можно доказать, что угол φ между ними можно найти из равенства .

Вопросы для самоконтроля

1. Векторы на плоскости и в пространстве. Коллинеарные и компланарные вектора. Линейные операции над векторами (в геометрической форме).

2. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Разложение вектора по базису.

3. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях.

4. Системы координат на плоскости и в пространстве. Базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора и точки. Длина и направление вектора.

5. Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов.

6. Скалярное произведение 2-х векторов. Формулы для вычисления, свойства, геометрические и физические приложения. Условие перпендикулярности двух векторов.

7. Векторное произведение 2-х векторов. Формулы для вычисления, свойства, геометрические и физические приложения. Условие коллинеарности двух векторов.

8. Смешанное произведение 3-х векторов. Формулы для вычисления, свойства, геометрический смысл. Условие компланарности трёх векторов.