Производные высших порядков неявно заданной функции.

Пусть функция задана неявно в виде уравнения . Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно производной , найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную получим вторую производную от неявной функции. Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через х и у. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего порядка (и дальше).

Пример. Найти , если .

Решение: дифференцируем уравнение по х: . Отсюда находим . Далее .

Производные высших порядков от функций заданных параметрически.

Пусть функция задана параметрическими уравнениями .

Как известно первая производная находится по формуле . Найдем вторую производную , т.е. . Аналогично .

Пример. Найти вторую производную .

Решение: находим первую производную . Находим вторую производную .

Дифференциал функции.

Пусть функция дифференцируема на . Производная этой функции в некоторой точке определяется равенством . Отношение при , следовательно отличается от производной на величину б.м., т.е. можно записать (). Умножим все на , получим . Приращение функции состоит из двух слагаемых . первое слагаемое - главная часть приращения, есть дифференциал функции.

Опр. Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента. Обозначается .

Дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением .

(). Таким образом, формулу для дифференциала можно записать . Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной. Из этого соотношения следует, что производную можно рассматривать как отношение дифференциалов .

Дифференциал используют в приближенных вычислениях. Так как в выражении второе слагаемое бесконечно малая величина пользуются приближенным равенством или в развернутом виде

(*)

Пример: вычислить приближенное значение .

Функция имеет производную .

По формуле (*) : .

Пример: найти дифференциал функции

Геометрический смысл дифференциала.

К графику функции в точке М(x;y) проведем касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки x+∆x. На рисунке АМ=∆х АМ₁=∆у из ∆МАВ , отсюда , но согласно геометрическому смыслу касательной . Поэтому . Сравнивая эту формулу с формулой дифференциала получаем, что , т.е. дифференциал функции в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение ∆х.

Правила вычисления дифференциала.

Поскольку дифференциал функции отличается от производной множителем , то все правила вычисления производной используются и для вычисления дифференциала (отсюда и термин «дифференцирование»).

Пусть даны две дифференцируемые функции и , тогда дифференциал находится по следующим правилам:

1)

2) с –const

3)

4) ()

5) для сложной функции , где

(т.к. ).

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Приложения производной.

Теоремы о среднем значении.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в открытом промежутке и если принимает на концах отрезка равные значения , то в интервале найдется, хотя бы одна такая точка с, в которой производная обращается в ноль, т.е. , a<c<b.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то найдется, хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции найдется точка С(с;f(c)), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Теорема Коши служит основанием для нового правила вычисления пределов.

Правило Лопиталя.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытие неопределенностей вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ и обращаются в нуль в этой точки . И пусть в окрестности точки х₀ . если существует предел , то .

Доказательство: применим к функциям и теорему Коши для отрезка

, лежащего в окрестности точки х₀. Тогда , где x₀<c<x. Так как получаем . Перейдем к пределу при . Т.к. , то , поэтому .

Итак предел отношения двух б.м. равен пределу отношения их производных, если последний существует .

Пример:

Теорема.(правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ) Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ (кроме, может быть, точки х₀), в этой окрестности , . Если существует предел

, то .

Пример:

Неопределенности вида () сводятся к двум основным (), путем тождественных преобразований.

Пример: