Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Донбасский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Матфизика Мурга Е.В

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
06.02.2016
Размер:
996.67 Кб
Скачать
☆

1 x x p x,0 ,

1 x x pt x,0 .

Згідно правилу 2, слід шукати рішення задачі (5.9) у вигляді

 

 

 

 

v x,t v1 x,t v2

x,t .

 

 

 

 

Тут функція v1 x,t

 

це

 

рішення

 

задачі з

неоднорідністю

тільки в початкових умовах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v

1

a2

2 v

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

v1 0,t

 

 

 

 

 

v1 ,t

 

 

(5.10)

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1 x,0 1 x ,

v1

x,0

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

Задача (5.10) співпадає із задачею (5.1), рішення якої отримано

методом Фур’є у вигляді ряду (5.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другий доданок

v2 x,t є рішення задачі з неоднорідністю

тільки в рівнянні:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v2

a2

2 v2

 

g x,t ,

 

 

(5.11)

 

 

 

 

t2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2 0,t

 

v2

l,t

 

 

 

 

 

 

v2

x,0 0,

 

v2

x,0

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

0.

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

81

Відповідно до правила 3 рішення задачі (5.11) слід шукати у вигляді ряду по власних функціях задачі (5.1):

 

 

k

 

v2 x,t Tk t cos

x .

 

k 0

 

 

Функції Tk t визначаються

як рішення задачі Коші для

звичайного диференціального рівняння 2-го порядку.

3. Коливання струни із заданим режимом на одному кінці і заданою силою на іншому кінці.

Дана задача має вигляд

 

2u

a2

2u

f x,t ,

 

 

t2

x2

 

 

 

 

 

u 0,t 1 t ,

 

ux ,t g2 t ,

(5.12)

u x,0 x ,

ut x,0 t .

 

Спочатку необхідно позбутися неоднорідності в граничних

умовах за допомогою правила 1. Як і в розд. 4, p x,t рекомендується

шукати у вигляді лінійної по х функції:

p x,t ax b 1 t cx d g2 t

з невизначеними коефіцієнтами а, b, с, d. Задовольняючи граничним умовам задачі (5.12):

82

p 0,t b 1 t dg2 t 1 t ,

px ,t a 1 t сg2 t g2 t

і прирівнюючи коефіцієнти при 1 t

і при g2 t , можна отримати:

a 0,

b 1,

с 1,

d 0.

Таким чином, функція

p x,t 1 t xg2 t

задовольняє граничним умовам задачі (5.12).

В результаті застосування правила 2 намічається підхід до двох

задач:

2 v

a2

2v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

,

 

 

 

 

 

 

t

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

,t

 

 

 

 

 

0,t 0,

 

 

 

v1

 

 

 

 

0,

 

 

(5.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x,0 1

x ,

 

v1 x,0

 

x .

v1

 

 

 

 

1

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83

2 v

 

 

2v

 

 

 

 

 

 

2

a2

 

2

 

g x,t

 

 

 

 

2

x

2

 

 

t

 

 

 

v2 ,t

 

 

 

 

0,t 0,

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

0,

(5.14)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x,0 0,

 

v2 x,0

 

v2

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рішення задачі (5.13) знаходиться методом Фур’є. Власні

функції задачі (5.13) мають вигляд

 

 

 

Xk x sin

2k

1

x,

k 0,1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2l

 

 

 

Далі слід поступати відповідно до правила 3, тобто, рішення задачі (5.14) шукати у вигляді ряду

v2

x,t Tk t sin 2k 1

x.

 

 

 

 

 

 

k

0

2

 

Остаточне рішення представляється у вигляді суми

u x,t p x,t v1 x,t v2 x,t .

4. Коливання струни, один кінець якої закріплений пружно, а на

іншому задана сила.

Розглядається задача

84

2u

2 2u

 

x,t ,

 

 

 

 

a

 

 

 

 

f

 

 

2

 

x

2

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,t g1 t ,

ux ,t hu ,t g2 t ,

(5.15)

ux

 

 

 

 

 

 

 

 

ut x,0 x

 

u x,0 x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Згідно правилу 1,

спочатку будується лінійна по x

функція

p x,t

p x,t ax b g1 t сx d g2 t .

Тепер необхідно задовольнити граничним умовам задачі (5.15)

для визначення невідомих коефіцієнтів a, b, с, d.

px 0,t ag1 t cg2 t g1 t .

p

x

,t

 

hm

 

,t

 

 

 

al b

 

1

 

t

 

 

 

 

 

 

cl d

 

2

t

 

g

2

t

 

.

 

 

 

 

a h

 

g

 

 

c h

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1,

c 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

al b 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cl d 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що дає

 

a 1,

b

1

 

,

 

c 0,

 

 

d

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже

 

 

 

p x,t

x

1

g

t

1

g

 

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

1

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далі доцільно діяти за правилами 2 і 3. Тільки слід вказати, що

85

власні функції в даному випадку мають вигляд

 

 

 

 

 

 

 

Xk

x cos

Mk

x,

k 1,2,...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де Мk – позитивні корені трансцендентного рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgM

 

1

 

 

M.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі для самостійного розв’язування

 

На відрізку

0 x l,

t 0

 

для

 

рівняння

 

 

utt a2uxx

вирішити задачі з наступними умовами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

ux 0,t ux ,t 0, u x,0 sin

5

 

x,

 

 

ut

x,t cos

 

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x,t

 

2

 

sin

a

 

t sin

 

 

 

x cos

5a

 

t sin

5

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2.

u 0,t ux ,t 0,

u x,0 x,

ut

x,0 sin

 

 

x sin

3

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x,t

2

sin

a

t sin

 

 

x

2

sin

3a

t sin

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

a

 

 

2

2

 

3a

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

1 k

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

a t sin

 

 

 

 

 

x.

 

 

2

2k 1

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86

3.

ux 0,t ux l,t 0,

u x,0 x,

 

 

 

ut x,0 1.

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

2k 1

 

u x,t t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

a tcos

 

 

x.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

k 0 2k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

ux 0,t ux

l,t hu l,t 0, h 0, u x,0 0,

ut x,0 1.

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

h2

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x,t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin a k t cos k x,

 

a

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1 k l h

 

k

h

 

 

 

 

 

де k – позитивні корені рівняння tg l h .

 

 

5.

На відрізку

 

0 x l,

t 0 для

 

рівняння

utt

a2uxx f x

вирішити задачу з наступними умовами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 0,t ,

u l,t ,

 

u x,0 ut x,0 0.

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x,t v x,t x,t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k a

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

v x,t ax

cos

tsin

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak

 

x sin

xdx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y

 

x

 

 

 

f z dz dy

a2

 

 

 

 

 

0 0

 

x

 

y

 

 

 

 

 

f z dz dy

 

x .

a2

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

87

6. Знайти закон вільних коливань струни, розташованої

на відрізку

0, , якщо

в

початковий момент

їй

надали форму кривої

u x,0

 

 

sin

x

. Потім відпустили

без

початкової

швидкості.

100

2

 

 

 

 

 

 

 

Струна закріплена на лівому кінці, а правий може вільно переміщатися так, що дотична в правому кінці весь час залишається горизонтальною.

Відповідь:

u x,t

 

 

sin

x

cos

a t

.

100

2

 

 

 

 

2

88

6. БІЛЬШ ПРОСТЕ ПРАВИЛО У ВИПАДКУ

СТАЦІОНАРНИХ ЗОВНІШНІХ СИЛ

Необхідно пам'ятати, що універсальний метод, заснований на застосуванні правил 1-3, придатний для вирішення будь-якої неоднорідної задачі. Але в універсальності методу - його недолік. В

деяких випадках для відшукання функції v2 x,t можливо використовувати більш прості прийоми, ніж правило 3, рекомендуюче шукати рішення у вигляді ряду по власних функціях.

Пропонується розглянути задачу про вимушені коливання струни з крайовими умовами загального вигляду, зовнішня сила не залежить від часу (стаціонарна).

 

 

2

u

a2

 

2

u

f x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

0,

(6.1)

u 0,t ux 0,t 0,

 

 

 

u

,t ux ,t 0,

 

2

 

2

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ut x,0 x .

 

u x,0 x ,

 

Четвертий етап. (перенесення неоднорідності з рівняння в початкові умови). Рішення задачі (6.1) слід шукати у вигляді:

u x,t y x W x,t .

Хай у(х) є рішення крайової задачі для звичайного диференціального рівняння:

89

 

 

1

 

 

y x

 

 

f x ,

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.2)

y 0 y 0 0,

 

y y 0.

 

 

 

Тоді для відшукання функції W(x,t) вимагається вирішити

задачу

 

 

2

W

a2

 

2

W

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

t

 

x

0,t 0,

 

 

W 0,t W

(6.3)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

W ,t Wx ,t 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wt x,0 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W x,0 x y x ;

Остання задача вже достатньо знайома і розв'язується методом Фур’є. Залишилося вирішити задачу (6.2). Після інтегрування рівняння

вийде

1 x

y x a2 0 x f d C1x C2.

Постійні С1 і С2 знаходяться з крайових умов.

90

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности