Матфизика Мурга Е.В
.pdf(-π≤φ<0) – температура Т. Вирахувати температуру в точці
|
|
|
|
|
|
|
|
, r |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4T |
r |
|
|
r |
3 |
sin3 |
r 5 |
sin5 |
|
|||||||||||||
u(r, ) |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... . |
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зокрема, в точці |
|
, r |
|
|
|
отримуємо |
|
|
|||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
u |
|
|
, |
|
|
|
|
0,59T. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2
6.Всередині нескінченного колового циліндра радіусу l
відбувається рух нестискаємої рідини. Вважаючи рух установленим,
потенційним і плоскопаралельним, знайти закон руху, якщо проекція швидкості на зовнішню нормаль циліндра в кожній точці на поверхні циліндра задається формулою:
проекція |
|
0 |
при |
0 , |
на n |
при |
0. |
||
|
|
0 |
Відповідь:
|
4 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
r |
||||
(r, ) gradu |
|
sin |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
sin3 |
r 4 sin5 |
|
|||
|
|
|
|
|
... er |
3 |
|
5 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
121
|
r 2 |
cos3 |
r 4 |
cos5 |
|
||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
... e . |
|
|
3 |
|
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Знайти закон охолодження нескінченного циліндра радіусу l, якщо в початковий момент температура всіх його внутрішніх точок дорівнює А , а на його поверхні підтримується постійна температура
0°. Знайти перший член розкладу в ряд.
Відповідь:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 k(0) 2t |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(r, ,t) |
(0) |
(0) |
) |
|
e |
|
|
J0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
k 1 k1Jk |
( k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Зокрема, перший член ряду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2A |
|
|
a2 1(0) 2 t |
|
|
|
|
(0)r |
|
|
|
|
|
5,89a2t |
|
|
2,4r |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
u |
(r, ,t) |
|
|
|
e |
|
|
J |
0 |
|
|
|
1 |
|
1,60Ae |
|
l |
|
J |
0 |
|
|
. |
|||||
(0) |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
J1( 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Знайти функцію , гармонічну всередині кола радіусу R з
центром на початку координат і таку , що:
1) |
u |
|
|
Acos ; |
2) |
u |
|
|
Acos2 ; |
3) |
u |
|
|
sin3 . |
|||||||||||
r |
|
r R |
r |
|
r R |
r |
|
r R |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
1) Ar cos + C; 2) |
|
r |
|
cos2 C ; 3) |
|
|
3rsin |
|
|
|
sin3 |
C. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3R |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122
9.Знайти стаціонарне розподілення температури u(r, )
всередині нескінченного циліндра радіусу R, якщо на його поверхні підтримується температура u(r, )r R Asin .
Відповідь: Arsin . R
10.Знайти функцію, гармонічну в колі 1<r<2 і таку, що
u |
|
r 1 f1( ), |
u |
|
r 2 f2( ), |
|
|
1)f1( ) u1 const,
2)f1( ) 1 cos2 ,
Відповідь:
lnr
1) u1 (u2 u1)ln2 ; 2)
f2( ) u2 const;
f2( ) sin2 .
3 |
|
lnr |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
cos2 . |
2 |
ln2 |
|
|
|
|||||
|
3r2 |
6 |
|
|
|
11. Дослідити радіальний розподіл теплоти в нескінченному круговому циліндрі радіуса R, бічна поверхня якого підтримується при сталій температурі U0 . Початкова температура всередині циліндра дорівнює нулю.
Відповідь :
|
|
|
J0 |
|
|
k |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*e |
k2a2 |
t |
|
|||
|
|
|
||||||||||
U r;t U0 |
1 2 |
|
|
R |
|
R2 |
. |
|||||
|
|
' |
|
|
||||||||
|
|
k 1 |
kJ0 k |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123
12. Початкова температура тонкого однорідного стрижня довжиною дорівнює нулю. На кінці x 0 температура підвищується з часом U 0;t At A cost . На кінці x підтримується нульова температура. Знайти розподіл температури вздовж стрижня t 0 .
Відповідь :
|
x |
|
l |
2A x 3 |
x 2 |
x |
||||||||
U x;t At 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n a 2 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
||||||
2 |
A |
|
*e |
l |
*sin |
x |
|||
3 2 |
3 |
|
|||||||
|
a |
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
13. Знайти розподілення температури в стрижні,
підтримуються при заданих температурах, :
U |
|
x 0 1 t , |
U |
|
x l 2 t , |
U x,t . |
|
|
~
Початкова температура U0 x .
Відповідь :
U x;t 1 2 t 1 t Cn *e 2na2 sin n x;
n 0
|
2 |
|
|
n x |
|
|
~ |
x sin |
|
||
Cn |
|
U0 |
|
dx |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
кінці якого
.
124
|
|
14. Знайти розв язок |
одномірного хвильового |
рівняння |
||||||||||||||||||||||||
|
2U |
a2 |
2U |
при 0<x< , t>0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Який дозволяє крайові |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
U 0,t 0, |
U ,t 0 |
при t>0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
І початкові умови |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
U x,t |
|
|
x , |
U x,t |
|
|
|
|
|
x ,0 x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k x |
|
k a |
|
|
k a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
U x,t sin |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ak cos |
|
|
|
t bk sin |
|
t |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
k x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Знайти |
рішення |
|
U x,t |
|
одномірного |
рівняння |
||||||||||||||||||||
теплопровідності |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125
2
U a2 U при 0<x< , t>0,t x2
Який задовольняє крайові
U |
|
|
|
U |
|
|
0 |
при >0 |
x |
|
|
x |
|||||
|
x 0 |
|
|
|
x l |
|
||
|
|
|
І початкову умови
U x,0 x при 0<x<l.
Відповідь:
U x,t ake a2 kt cos k x.
k 0
a0 |
1 |
x dx,ak |
|
2 |
x cos |
k |
xdx, k=1,2,… |
|
|
|
00
16.Знайти розв язок U x, одномірного рівняння теплопровідності
2
U a2 U при 0<x< , t>0,
t x2
Який задовольняє крайові умови
126
U |
|
|
h1U |
|
x 0 0, |
U |
|
|
h2U |
|
x l 0 при t>0 |
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
x |
|||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x l |
||||
|
|
|
|
|
І початкову умову
U x,0 x при 0<x<l.
Відповідь:
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
U x,t ak |
|
|
|
cos |
|
|
x h1 sin |
|
|
x . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
cos |
|
|
h1 sin |
|
|
|
x |
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ak |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
l |
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
x h1 sin |
|
|
x |
dx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Визначити стаціонарний розподіл температури всередині твердого тіла, яке має форму обмеженого циліндра, якщо до нижньої основи z=0 підведено сталий теповий потік q, бічна поверхня a і
верхня основа z підтримуються при нульовій температурі.
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
z |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2aq |
|
J0 |
|
|
e |
|
|
a |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Відповідь: |
U ,z |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
k |
|
|
2J |
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
127
9. МЕТОД ФУР’Є ДЛЯ РІВНЯННЯ ЛАПЛАСА
Застосування методу Фур’є для рівнянь еліптичного типу розглянемо на конкретних прикладах.
Приклад 1. Знайти рішення рівняння Лапласа
2u |
|
2u |
0 |
|
x2 |
y2 |
|||
|
|
в прямокутнику D: 0 x а, 0 у b, на контурі приймаючи задані значення:
u |
|
x 0 |
Ay b y ; |
u |
|
x a 0; |
||||
|
|
|||||||||
u |
|
|
Bsin |
x |
; |
u |
|
0. |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
y 0 |
|
a |
|
|
|
|
y b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шукаємо рішення у вигляді
u(x,y)= u1(x,y)+ u2(x,y),
де функція u1(x,y) є рішення задачі
|
|
2 |
u1 |
|
|
2 |
u1 |
0; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|x 0 |
0 |
u1 |x a 0; |
|
|
|
|||||||||
u1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
u |
|
| |
|
|
Bsin |
; |
u |
|
| |
|
0; |
||||||
1 |
y 0 |
|
1 |
y b |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а функція u2(x,y) – рішення задачі
128
|
|
2 |
u2 |
|
|
2 |
u2 |
0; |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|x 0 |
Ay(b y); |
u2 |x a 0; |
|||||||||
u2 |
||||||||||||||
u |
2 |
| |
y 0 |
0; u |
2 |
| |
y b |
0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звертаємо увагу на те, що для функції u1(x,y) однорідними є крайові умови пох,а дляфункціїu2(x,y) одноріднимиєкрайові умови поу.
Шукаємо функцію u1(x,y) у вигляді
u1(x,y)= X(x) У(y)
Після підставки в рівняння і розділення змінних одержуємо
X (x) Y (y) 2.
X(x) Y(y)
Для функції Х(х) одержуємо задачу Штурма-Ліувілля: знайти нетривіальні рішення крайової задачі
X (x) 2X(x) 0
X(0) X(a) 0
і значення , при яких ці рішення існують. Одержуємо
|
|
|
k |
, |
X |
|
(x) С |
|
sin |
k |
x, |
k 1,2,... |
k |
|
k |
k |
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
129
Для визначення функцій Yk(y), відповідних власним значенням k, маємо рівняння
k |
2 |
|||
Yk (y) |
|
|
Yk (y) 0, |
|
a |
||||
|
|
|
звідки |
Y (y) A |
|
k |
y |
B |
|
k |
y |
|
e a |
e a . |
||||||||
|
k |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
Крайова умова u1|y=b= 0 приводить до співвідношення
Y (b) A |
|
k |
b |
B |
|
k |
b |
0, |
|
e a |
e a |
||||||||
k |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
звідки знаходимо
2k b
Bk= Ake a
Тоді
Y (y) A |
|
k |
b |
|
k |
(b y) |
|
k |
(b y) |
), , |
|
e a |
(e a |
e a |
|||||||||
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k
або, якщо ввести нову постійну Ak 2Ake a b , отримаємо
Yk (y) Aksh k (b y) .
a
Значить, функції u1k (x,y) має вигляд
130