Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матфизика Мурга Е.В

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

996.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Підрахуємо інтеграл, що стоїть справа:

	x		1		2	x		1	1				1 2tg
sin2	k	dx		1 cos	k		dx			sin2 k		1		k
			2					2	4 k					2
0				0							2		2 k 1 tg k

і пригадаємо, що tg k k . Тоді p

	k			p2 2			p
sin2	k	dx				k
sin2		dx	2	p	2		2
0			2	p		k

Знаходимо

	2	p	2	2			n x
ak				k		(x)sin		dx .
					2
		p(p 1) k				0

Залишилося знайдені значення аk підставити в ряд і записати відповідь.

Відповідь:

a2 k2

u(x,t)

sin

k x

(x)sin

n x

dx.

k 1

p(p 1) k

Приклад 3. Поставити і вирішити крайову задачу про визначення температури стрижня 0 ≤ х ≤ з теплоізольованою бічною поверхнею, якщо його початкова температура є довільною функцією х,

а на кінці стрижня подається ззовні заданий тепловий потік.

Постановка задачі. Хай на бічній поверхні стрижня відбувається конвективний обмін з навколишнім середовищем,

111

температура якого є заданою функцією часу. Нехтуючи деформацією ізотермічних поверхонь, поставимо крайову задачу про визначення температури в стрижні коли на кінці стрижня подаються ззовні постійні теплові потоки.

Рівняння теплопровідності в даному випадку має вигляд:

u		1	u		p	(u u		) ,	(1)
	t			xx			0
		c			c

При 0 t + , 0 x , де р – периметр поперечного перетину стрижня; - коефіцієнт теплообміну між поверхнею стрижня і навколишнім середовищем; температура якої рівна u0 (у нас - u1 = u0)

с – питома теплоємність; - коефіцієнт температуропровідності матеріалу, з якого виготовлений стрижень; - густина маси; - площа поперечного перетину.

U(x, ) = f (x) = - 4, 0					x ,	- u x(0,t)= q1 (t) = 0
			ux( ,t)		= q2(t),	0 t +
Хай,	x	a2 ,	p	b2	тоді
	c
			c

ut = a2uхx-b2u + b2u0; u0= 1; = 1 u(x, 0)= f(x)= -4; ux(0,t)= ux(1,t)= 0.

Рішення даного рівняння шукатимемо у вигляді u = v + w, де v = v(x) рішення рівняння

112


			a2		2v		b2v b2 0			(2)
			a2		x2		b2v b2 0			(2)
					x2
при	v x(0) = v x(1) = 0,								aw – рішення рівняння
				dw		a2		d2w	b2w ,	(3)
						a2		dx2	b2w ,	(3)
				dt				dx2
за умов wx(0,t) = wx (0,1) = 0
	w(x,0)= f(x) – v (x) = - 4 – v (x).
	Дійсно, хай u = v + w, тоді
	ut = v t + wt = 0 + wt; uxx = v xx + wxx.
	Складаючи (2) і (3), отримаємо
	0	w	a2 (wxx vxx ) b2 (w v) b2
	0		a2 (wxx vxx ) b2 (w v) b2
		t
	де wxx vxx uxx , w v= u .
	Перевіримо ще початкові і крайові умови
	u(x,0)= v (x)+ w (x,0) = v (x)+f(x) – v (x)= f(x)
	ux(x,t)\|x=0 = v (0)+wx(0,t)=0 ;								ux( ,t)=	v ( )+wx( ,t)
	Вирішуємо рівняння

113

d2v

b2v b2

v (0) v ( ) 0,

dx2

d2v

v A

dx2

Підставляючи в рівняння, маємо:

0 –

Вирішуємо відповідне однорідне рівняння другого порядку

v 0,

v ea , v

e a

dx2

Загальне рішення однорідного рівняння:

v 00 = C1e a C2e a

1 a

(C1 C2 ) 0 ,

(4)

(0) a

(C1e

C2e

) 0.

(5)

(1) a

Отримаємо з (4) C = C

та з (5) – C

, звідки C

ea e

1 =

2 =

114

Отже, рішенням рівняння (2) є функція

v (x) 1.

Займемося тепер рішенням рівняння (3)

dw a2 d w b2w . dt dx2

wx(0,t) = wx ( ,t)= 0; w(x,0) = -4 -1= -5.

Рішення шукатимемо у вигляді

w(x,t)=X(x)T(t)

w		2w		2X	T(t).
t	X(x)T (t);	x2		x2	T(t).

Підставляючи в (3), одержуємо

X(x)T (t) = a2	d2X(x)	b	2	X(x)T(t) .
	dx2

Розділимо обидві частини рівності на аХТ, отримаємо

b2 T X a2 a2T X

Ліва частина не залежить від x, а права – від t. Рівність

115

можливо лише у тому випадку, коли ці частини постійні

T		b	2			X
T		b		2		X		2 ,
				2				2 ,
a2T a2						X
T a2T(				b2	2 ) 0,			T (b2 a2 2 )T 0,
T a2T(					2 ) 0,			T (b2 a2 2 )T 0,
				a2
x 2x 0,
X A cos x B sin x,
dT	(b2 a2 2 ),						ln \|T \| (b2 a2 2 )t ln \|C\|,
	(b2 a2 2 ),						ln \|T \| (b2 a2 2 )t ln \|C\|,
T

ln | T | (b2 a2 2 )t, C

2 2 2

T C e (b a )t.

Підставляючи X(x) і T(t) в w(t,x), отримаємо

w(x,t) Ce (b2 a2 2 )t (Acos x Bsin x).

Оскільки T(t) ≠ 0, бо було б w(x,t) 0, то знаходячи похідну х,

одержуємо

wx Сe (b2 a2 2 )t ( A sin x B cos x).

	Поставляючи сюди х = 0 і х = , маємо Сe		b2	a2 2	t	B 0
	Поставляючи сюди х = 0 і х = , маємо Сe					B 0
звідки В = 0
		Ce (b2 a2 2 )tA sin 0, ,
звідки	sin =0,	n= n; n = 0, 1, 2..,

116

х 0 и w 0

Таким чином, Хn(х)= А cos nx. Враховуючи n, запишемо

T (t) С	n	e (b2 na2 )t	n 0,1,2...
n	n

Таким чином, власні функції задачі Штурма-Ліувілля знайдені

wn (x,t) Сne (b2 na2 )t Acos nx

і рішення нашого рівняння запишеться у вигляді

2 2

w(x,t) Dne (b na )t cos nx

n 1

Тут Dn=CnА. Залишилося задовольнити початковим умовам:

w(x,0)= f(x) – v(x)= - 5,

w(x,0)= -5 = Dn cos nx .

n 0

Розкладаючи Р(х) = -5 на відрізку 0,1 в ряд по косинусах

(тобто продовжуючи її парним чином), маємо

			a0
	5		a0	an cos nx,
	5			an cos nx,
		2		n 1
	1			1	sin nx
де	a0 2 5dx 10;	an 2 5cos nxdx 10			sin nx	\|10 0
де	a0 2 5dx 10;	an 2 5cos nxdx 10				\|10 0
	0			0	n

117

таким чином, Dn=an=0 для	n 1, і рішення має вид			w(x,
t)=D0e b2t 5e b2t оскільки D0		a	5 .

	2

Таким чином, рішенням початкової задачі є функція

u(x,t)=v(x)+w(x,t)=1 5е b2t

Перевірка:

2	b2t			;	uxx = 0;	2		2 2	b2t
ut=5b е				;	uxx = 0;	-b u= -b +5b е
					ut=a2uxx - b2u + b2;
2		е	b2t		2		b2t	2
5b		е			= 0 – 5 b (1-5е			) + b ,

тобто рішення знайдено вірно, ця функція задовольняє також початковим і крайовим умовам.


Задачі для самостійного розв’язування
1. Знайти рішення рівняння	u	a2			2u		(0 x ,	t 0) ,
1. Знайти рішення рівняння		a2					(0 x ,	t 0) ,
	t				x2
яке задовольняє умовам u(0,t)= u( , t) = 0, t 0

x при 0			х
x при 0			х			2
						2
u(x,0)

х при			2	х
			2

118

Відповідь:

( 1)

(2n 1)2 2a2

t sin

(2n 1) x

u(х,t)

(2n 1)

n 0

2. Даний тонкий однорідний ізольований стрижень завдовжки

, початкова температура

якого

(x)

cx( x)

. Кінці стрижня

підтримуються при температурі, рівній нулю. Визначити температуру стрижня у момент часу t 0.

Відповідь:

	8c			1			2n 1)2	2a2		2n 1 x
	8c			1		(			t	2n 1 x
u(x,t)						e			sin		.
u(x,t)		3		(2n 1)	3	e			sin		.
			n 0	(2n 1)						l

3. Даний тонкий однорідний стрижень завдовжки , бічна поверхня якого теплоізольована. Початкова температура стрижня відома. На обох кінцях стрижня (х = 0 і х = ) відбувається теплообмін з навколишнім середовищем, температура якого вважається рівною нулю. Визначити температуру стрижня у момент часу t 0.

Відповідь:

n2a2

cos

n x

sin

n x

u(x,t)

Ane

;

n 1

( 2) n

де An (z)

n cos

sin

;

1, 2, 3…. позитивні корені рівняння

119

2ctg	,	де	h	.

			k

Вказівка. Крайові умови:

u	hu\|		0,	u	hu\|		0 .
		x 0				x
x				x

4. Вирішити задачу про охолодження однорідного стрижня з теплоізолйованою бічною поверхнею, якщо його початкова

температура

u(x,0)= (x).

Один кінець теплоізолйований, а інший підтримується при

постійній температурі u0.

Відповідь:

u(x,t) u0 ane a2 n2t cos n x;

n 1

(2n 1) x

( 1)

4u0

(2n 1)

(x)cos

;

(2n 1)

Вказівка.

Задача

приводиться

до інтегрування рівняння

u 0,t

за

умов

u l,t u

;

u x,0 x .

Рішення слід шукати у вигляді u(x,t)=u0+v(x,t), де v(x,t) - невідома функція.

5. Знайти стаціонарне розподілення температури всередині нескінченного циліндру радіусу , якщо на лівій половині поверхні циліндру (0≤φ<π) підтримується температура –Т, а на правій половині

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.12.20181 Mб11макроэкономика оветы.doc
#
08.11.201855.94 Кб10Маркетинговые.docx
#
06.02.2016979.46 Кб16Мартен.doc
#
06.02.20162.65 Mб171МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ _распознавания образов.pdf
#
16.11.2019944.13 Кб4матеріали до самостійного опрацювання курсу ОМ.doc
#
06.02.2016996.67 Кб29Матфизика Мурга Е.В.pdf
#
23.08.201963.71 Кб3межд. отношения.docx
#
11.11.20193.64 Mб9Меодика Доменый.doc
#
03.12.201866.05 Кб4МЕОДЫ.doc
#
29.08.2019147.97 Кб1Мет вк до роз Ох.пр..doc
#
03.05.2019183.3 Кб1Мет заочн 7.doc