Матфизика Мурга Е.В
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
u |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8. |
2u |
(1 y2 )2 |
2u |
|
2y(1 y2 ) |
u |
0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Відповідь: гіперболічного типу на всій площині |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgy; |
x arctgy; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
0. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9. |
2u |
|
|
2u |
|
|
2u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|||||||||||||||||||||
x2 |
|
y2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Відповідь: еліптичного типу на всій площині |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x y; |
x; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
2u |
|
|
|
u |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. |
|
2u |
2sinx |
|
2u |
(2 cos2 x) |
2u |
|
0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Відповідь: еліптичного типу на всій площині |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x; y cos x; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
2u |
|
|
|
|
u |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
11. tg2x |
2u |
2ytgx |
2u |
y2 |
2u |
tg3x |
u |
0. |
|
x2 |
x y |
|
|
||||||
|
|
|
y2 |
|
x |
||||
Відповідь: параболічного типу |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ysin x; |
y; |
2u 2 u
0.
2 2
12. |
x |
2u |
2x |
2u |
(x 1) |
2u |
0. |
|
x2 |
x y |
y2 |
||||||
|
|
|
|
|
2u
Відповідь: 1) параболічного типу при х = 0; 0 ;
y2
2) гіперболічного типу при х 0; y x 2x;
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 2 |
x; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
1 |
|
|
u |
|
u |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2( ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
4) еліптичного типу при х 0; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5) y x; |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
2u |
|
1 u |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
13. |
y |
2u |
|
2u |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Відповідь: 1) еліптичного типу при y 0;
2 |
3 |
|
||
|
|
|
||
|
|
y2 |
; x; |
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
2u |
|
1 u |
0; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2) гіперболічного типу при y 0; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y) |
2 |
|
x; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( y) |
2 |
|
x; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
u |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6( ) |
|
|
|
||||||||||||
14. |
2u |
x |
2u |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: 1) еліптичного типу при x 0;
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
( x) |
2 |
; |
|
y; |
|||||||
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2u |
|
|
2u |
|
|
|
1 u |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2) гіперболічного типу при x > 0;
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||
y |
x 2 |
; |
|
(x)2 |
y; |
|||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2u |
|
1 |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
6( ) |
|
|
|
|
|
23
15. |
2u |
|
2u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Відповідь: |
1) еліптичного типу при y 0; |
2 |
|
|
x; |
|||||||||||||||||||||||||
y; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2u |
|
2u |
|
|
2 1 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2) |
гіперболічного типу при y 0; |
x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
y; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2u |
|
0,5 u |
|
|
|
u |
0. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
y |
2 2 u |
2xy |
2 u |
2x |
2 |
2 u |
y |
u |
0. |
|||||||||||||
|
x2 |
x y |
|
|
y2 |
y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Відповідь: еліптичного типу у кожному квандранті |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 , |
x2 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
2 u |
|
|
1 u |
1 u |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
24
2. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК. ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА
Метод Даламбера, або метод характеристик рішення крайової задачі для рівняння гіперболічного типу покажемо на прикладі вільних коливань нескінченної струни. Розглядаючи вільні коливання,
вирішимо однорідне рівняння
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
a2 |
|
2 u |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
за заданих початкових умов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
u x,t |
|
t 0 |
x , |
|
|
u |
|
|
|
t 0 |
x . |
(2.2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Спочатку необхідно перетворити рівняння (2.1) до канонічного |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вигляду. Рівняння характеристик dx 2 |
a2 |
dt 2 0 |
розпадається |
||||||||||||||||||||||||||||
на два рівняння dx adt 0 |
|
і |
|
dx adt 0, загальними інтегралами, |
|||||||||||||||||||||||||||
яких є сімейства прямих |
x at C1, |
|
x at C2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Потім слід ввести нові змінні |
|
|
x at, |
x at |
і |
||||||||||||||||||||||||||
перерахувати похідні: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u |
|
u |
|
u |
, |
|
|
|
u |
a |
u |
a |
u |
, |
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
2u |
2u |
|
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
|
|
|
|
2u |
2 2u |
|
2 2u |
|
2 2u |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
2a |
|
|
a |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Після |
підстановки в початкове |
рівняння (2.I) і приведення |
||||||||||||||||
подібних виходить |
|
|
2u |
|
0. |
|
Загальний інтеграл цього рівняння має |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вигляд |
|
u |
F , |
|
(інтегрування проводиться по при фіксованому |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). Тут |
F |
– довільна функція. Повторне інтегрування по при |
фіксованому дає:
u , F d f1 f1 f2 ,
тут f1 і f2 - довільні функції.
Знайдемо загальне рішення рівняння (2.1) повертаючись до старих змінних:
u x,t f1 x at f2 x at . |
(2.3) |
Слід визначити функції f1 і f2 з початкових умов (2.2).
При t=0:
u x,0 f1 x f2 x x .
Диференціювання функції (2.3) по t приводить до виразу:
26
звідси
або
u |
df1 |
x at |
df2 |
x at |
|||
|
|
|
|
a |
|
|
a . |
|
|
|
|
|
|||
t |
d x at |
d x at |
При t=0:
u x,0 f1 x f2 x x .
f1 x f2 x 1 x , a
x
f1 x f2 x z dz C,
x0
де x0 и С – постійні.
З системи рівнянь
f1 x f |
2 x x , |
|||||
|
|
|
1 |
x |
||
|
|
|
||||
f1 |
x f |
2 |
x |
|
z dz C, |
|
a |
||||||
|
|
|
|
x0 |
||
|
|
|
|
одержуємо
|
1 |
|
1 |
x |
C |
|
f1 x |
|
x |
|
z dz |
|
, |
2 |
2a |
2 |
||||
|
|
|
|
x0 |
|
|
27
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f2 x |
|
|
x |
|
|
|
|
z dz |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
2a |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Підставляючи знайдені функції у вираз (2.З): |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x at |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
u x,t |
x at |
|
|
z dz |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2a |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
x at |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x at |
|
z dz |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2a |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
u x,t |
x at x at |
|
|
1 |
x at |
z dz. |
|
||||||||||||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a x at |
|
|
|
|
Отримана формула (2.4) носить назву формули Даламбера.
Приклад 1. Знайти рішення рівняння
2u 4 2u ,
t2 x2
що задовольняє початковим умовам:
u |
|
t 0 |
0, |
u |
|
t 0 |
x. |
|
|
||||||
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Для вирішення можна скористатися формулою Даламбера. В |
|||||||
цьому випадку а = 2, |
x 0, |
x x, тоді по формулі (2.4): |
28
|
1 x 2t |
1 |
|
2 |
|
x 2t |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
u x,t |
|
zdz |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
x 2t |
|
|
x 2t |
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4 x 2t |
8 |
|
|
|
|
x 2t |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
або |
|
|
|
|
u x,t xt. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Легко перевірити, що отримана функція |
|
u x,t |
задовольняє |
|||||||||||||||||||||||
рівнянню і початковим умовам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Приклад 2. Знайти рішення рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2u |
|
|
|
|
2u |
2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
що задовольняє початковим умовам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
u x, у |
|
y 0 3x2 , |
|
u |
|
|
y 0 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Складемо рівняння характеристик: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy 2 2dxdy 3 dx 2 0
|
|
|
dy 2 |
|
dy |
|
|
|
dy |
|
|||||
або |
|
|
|
|
2 |
|
3 0 , воно розпадається на два рівняння: |
|
3 |
і |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
||||
|
dy |
1, |
|
загальні інтеграли |
яких мають |
вигляд: |
C 3x y, |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C2 |
x y ; введемо нові змінні |
3x y, |
x y |
і перерахуємо |
29
похідні
u |
3 |
u |
|
u |
, |
u |
|
u |
|
u |
, |
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2u |
|
9 |
2u |
6 |
2u |
|
|
2u |
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2u |
|
|
2u |
|
|
|
|
2u |
|
2u |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
y |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2u |
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
2u |
|
|
2u |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Канонічне рівняння має |
|
|
вигляд |
|
2u |
Загальне його |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
рішення може бути представлено у вигляді суми двох довільних функцій u . Значить, загальне рішення початкового рівняння має вигляд:
u x,y 3x y x y .
Для визначення функцій і слід задовольнити початковим
умовам.
При y 0 : u x,0 3x x 3x2.
Диференціювання функції u x,y по у:
30