Матфизика Мурга Е.В

X 0 C1 0,

а при х =

X С2 sin 0 .

Оскільки варіант С2=0 дає (з урахуванням С1=0) тривіальне рішення, залишається

sin 0 ,

Значить, якщо k , то існують нетривіальні рішення задачі

(3.7)-(3.8) вигляду

k Xk x Ck sin x.

Знайдені значення називаються власними значеннями для даної крайової задачі, а функції Xk(x) – власними функціями.

Помітимо, що знайдені власні функція ортогональні на інтервалі 0, . Тепер слід відшукати функцію T(t). Функція Tk(t)

відповідна власному значенню k , задовольняє рівнянню

41

k a 2

Tk t Tk t 0,

загальне рішення якого має вигляд:

Підставляючи знайдені функції Xk(t) і Тk(t) формулу (3.4),

можна отримати рішення рівняння (3.1), що задовольняють крайовим

умовам (3.2):

(3.3), відповідні їм коливання струни – власними коливаннями.

Тепер доцільно перейти і заключній частині методу Фур’є: за

допомогою власних функцій побудуємо рішення, що задовольняє початковим умовам (3.2). Для цього візьмемо суму рішень (3.9), яка через лінійність і однорідність рівняння (3.1) також буде його рішенням:

42

Якщо цей ряд, а також що виходять з нього двократним

диференціюванням по x і по t, сходяться рівномірно на 0, , то функція (3.10) задовольняє рівнянню (3.1) і крайовим умовам (3.3).

Залишилося підібрати довільні постійні ak і bk так, щоб

задовольнити початковим умовам (3.2). При t=0 із співвідношення

(3.10) легко отримати

Для задоволення другої початкової умови необхідно продиференціювати ряд (3.10) по t:

43

44

зображене на рис. 3.1. Опишемо положення струни аналітично.

Інтеграли беруться по частинах

45

Приклад 2. Однорідна струна завдовжки l натягнута між

точками x=0 і x=l. Початкова форма струни задається функцією

46

x Asin n x, початкова швидкість рівна нулю. Визначити

відхилення u x,t .

По формулах (3.13) слід знайти коефіцієнти ak і bk.

Коефіцієнти bk 0 , оскільки відсутня початкова швидкість Початкове положення струни співпадає з графіком однієї з власних функцій.

Тому крім всіх коефіцієнтів bk, звертаються в нуль і всі коефіцієнти ak

при k n, оскільки власні функції ортогональні.

Значить, з ряду (3.10) залишається один доданок

u x,t Asin n a tsin n x.

Рішення можна записати у вигляді

u x,t A x sin n a t,

де A x Asin n x, амплітуда коливання, залежна від абсциси точки

струни. Всі точки струни скоюють гармонійні коливання з однією і

тією ж частотою n a . При цьому всі точки струни одночасно

47

досягають свого максимального відхилення і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання струни називаються стоячими хвилями.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти коливання струни із закріпленими кінцями x 0 і

x l , якщо посередині струна зволікається від положення рівноваги і

в момент t 0 відпускається без початкової швидкості. Правильність

рішення перевірити, вважаючи у відповіді задачі 1: C l .

відсутні. (рис. 3.2).

послідовних гармонік тут убуває швидше, ніж в попередній задачі.

48

3. В початковому положенні струна знаходиться у спокої і точкам її на ділянці , додана постійна швидкість v 0 (цього можна добитися, ударяючи по струні на цій ділянці плоским жорстким молоточком). Знайти коливання струни. Досліджувати окремий випадок 0, .

Вказівка. Функція x представляється у вигляді:

Відповідь:

4.Початкове відхилення струни, закріпленої в точках х = 0 і х

=l, рівні нулю, а початкова швидкість виражається формулою

49

Визначити форму струни для будь-якого моменту часу.

6. Знайти закон коливання струни завдовжки l, розташованої на відрізку [0, ], якщо в початковий момент їй надали форму кривої

50