Лабораторная работа по дисциплине

«Математическое моделирование и проектирование»

1. Задача межотраслевого баланса

Три отрасли промышленности (I, II и III) являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяются матрицей коэффициентов прямых затрат

,

в которой на пересечении i-й строки и j-го столбца находятся значения величин , где x_ij – поток средств производства из i-й отрасли в j-ю, x_j – валовой объем продукции j-й отрасли.

Также задан вектор Y объемов конечной продукции

.

Необходимо с помощью Excel определить:

- матрицу коэффициентов полных затрат B = [b_ij],

- вектор-столбец объемов производства отраслей (валовой продукции) X = [x_i],

- объемы межотраслевых производственных потоков x_ij,

- объемы условно-чистой продукции отраслей Z = [z_j],

- построить таблицу межотраслевого баланса (МОБ),

- матрицу коэффициентов косвенных затрат С = [с_ij],

- изменение плана производства валовой продукции ΔX, которое потребуется при заданном увеличении выпуска конечной продукции ΔY.

1. Найдите матрицу полных затрат В = (E - A)^-1. Здесь E – единичная матрица.

Занесите исходные данные и выполните расчет матрицы (E - A) как на рис.1.

Рис.1.

Рассчитайте элементы обратной матрицы В = (E - A)^-1, используя функцию МОБР из категории «Математические».

Порядок расчета обратной матрицы В = (E - A)^-1:

- выделите ячейку В13 и выберите функцию МОБР;

- задайте массив B9:D11 матрицы (E - A), ОК. В ячейке В13 будет определен первый элемент матрицы (E - A)^-1;

- выделите весь массив обратной матрицы B13:D15, нажмите клавишу F2;

- нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Будут определены остальные элементы матрицы B = (E - A)^-1.

Результат расчета матрицы коэффициентов полных затрат см. на рис.2.

Рис.2.

2. Найдите объемы производства отраслей (валовой продукции) X с помощью матричного произведения: X = B · Y.

Для этого используйте функцию МУМНОЖ из категории «Математические». Действия выполняются по аналогии с применением функции МОБР, как в п.1. В диалоговом окне функции МУМНОЖ задаются два массива: массив B13:D15 (матрица B) и массив G1:G3 (матрица Y). Результаты расчета см. на рис.3.

Рис.3.

Таким образом, плановые объемы валовой продукции трех отраслей, необходимые для обеспечения заданного уровня конечной продукции Y, равны:

X = {х₁ = 102,2; х₂ = 41,0; х₃ = 26,4}.

3. Рассчитайте значения объемов межотраслевых потоков x_ij = a_ij · x_j как на рис.4 (см. строку формул). Для расчета используйте в формулах абсолютные ссылки («замораживание» ячеек знаками $) и режим автокопирования для заполнения ячеек.

Рис.4.

4. Результаты вычислений представьте в форме таблицы межотраслевого баланса (МОБ) и определите величину условно-чистой продукции каждой отрасли z_j как разницу между валовой продукцией отрасли x_j и суммой межотраслевых потоков в каждом столбце таблицы:

.

Для построения таблицы МОБ в Excel используйте режимы выделения и перетаскивания необходимых массивов ячеек.

Нижняя строка таблицы (на рис.5 строка 22) заполняется теми же значениями X, что и крайний столбец (на рис.5 столбец F). Для этого в ячейках строки 22 использованы ссылки на соответствующие ячейки столбца F.

Для расчета величин z_j используйте функцию СУММ и режим автокопирования для заполнения ячеек. Результаты построения таблицы МОБ см. на рис.5.

Рис.5.

Проверьте правильность составления таблицы МОБ, найдя суммарные объемы конечного продукта и условно-чистой продукции (они должны совпадать): . В нашем примере эти суммы равны 88 (по столбцу E и по строке 24).

Найдите суммарный валовой продукт (по всем трем отраслям) .

5. Найдите матрицу коэффициентов косвенных затрат С = (с_ij) = B - A - E.

6. Определите изменение плана производства ΔX, которое потребуется при увеличении выпуска конечной продукции 1-й отрасли на 20 ед., 2-й – на 10 ед. и 3-й – на 5 ед. Используйте формулу матричного произведения: ΔX = B · ΔY.

7) Решите задачу МОБ (пункты 1-6) в соответствии со своим вариантом (значения m и n) для 4-х отраслевой экономической системы.

Дано: матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y

0,2	0,1·m	0,2	0,05
0,15	0,12	0,03·n	0,07
0,1	0,03	0,07	0,2
0,3	0,4	0,02	0,02·m

1000

500 + 100·n

400 + 100·m

300

Для получения значения m необходимо взять предпоследнюю цифру № зачетной книжки (цифра А). В соответствии со значением A выбрать из таблицы 1 параметр m.

Таблица 1 (выбор параметра m)

А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
m	4	3	5	1	3	2	4	2	1	5

Для получения значения n необходимо взять последнюю цифру № зачетной книжки (цифра B). В соответствии со значением B выбрать из таблицы 2 параметр n.

Таблица 3 (выбор параметра n)

B	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n	3	2	1	4	5	3	1	5	2	4

Полученные два числа (m и n) нужно подставить в условие задачи.

2. Задача управления запасами

Решите задачу:

На склад доставляется товар партиями по Q = 800 тонн. Расход запасов товара со склада составляет в сутки М = n тонн [т/сут]. Накладные расходы по доставке партии товара составили К = 1,5 млн. руб. Издержки хранения 1 тонны товара в течение суток составляют h = (50+m) руб. [руб/(т·сут]).

Требуется определить:

- длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения;

- оптимальный размер заказываемой партии и расчетные характеристики работы склада в оптимальном режиме.

Порядок вычисления показателей работы склада:

1) Длительность цикла:

среднесуточные накладные расходы:

среднесуточные издержки хранения:

2) Оптимальный размер заказываемой партии:

оптимальный средний уровень запаса:

оптимальную периодичность пополнения запасов:

оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени:

[тыс. руб/сут.].