4. Связь между определенным и неопределенным интегралами.

а) Формула Ньютона-Лейбница.

Несмотря на то, что неопределенный интеграл есть совокупность первообразных, а определенный интеграл есть число, все же между ними имеется определенная связь, впервые установленная Ньютоном и Лейбницем в виде формулы Ньютона-Лейбница. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подинтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределах интегрирования:

=F(в) - F(а).

Рассмотрим пример нахождения определенного интеграла. Пусть нам необходимо найти определенный интеграл вида:

=.

Нахождение определенного интеграла сводится к следующим операциям:

1. находят первообразную для данной подинтегральной функции;

2. вычисляются первообразные для данных частных значений верхнего и нижнего пределов интегрирования;

3. находят разность частных значений первообразной F(в) –F(а).

б) Применение метода замены переменной интегрирования при вычислении определенного интеграла.

При использовании метода замены переменной для вычисления определенного интеграла вводится новая переменная, с помощью которой интеграл сводится к табличному. Одновременно заменяют пределы интегрирования. Рассмотрим эти операции на отдельном примере:; 1)sinx=t; 2)d(sinx) =dt;cosxdx=dt;

3) а=sin0 = 0;в=sin ;

4) == е¹– е⁰ =2,7 –1 =1,7.

5. Дифференциальное уравнение.

а) Общее понятие и определение.

Многие вопросы естествознания, техники и различных отраслей науки сводятся к нахождению неизвестной функции, если известно уравнение, содержащее х,у и производные различных порядков функцииf(х):f'(х);f"(х);f"'(х); …;f⁽ⁿ⁾(x) или дифференциалыdf;d²f;d³f; …;dⁿf. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ). В общем виде ДУ можно записать так:F(х,у,у',у",…,у^(п)) = 0.

Для функции у = f(х) одного аргумента дифференциальные уравнения называются обыкновенными; для функциии =f(х,у,z, …,t) нескольких переменных (двух и более) уравнения называются дифференциальными в частных производных.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной или дифференциала. Например, у' = 2х²у + 5 – уравнение 1-го порядка,

а у" + у' = 0 - уравнение второго порядка.

Общим решением ДУ к-го порядка называется функция у =f(х,с₁,с₂, …,с_к) отхс произвольными постоянными с₁,с₂, …,с_к , обращающая это уравнение в тождество.

При конкретном значении произвольных постоянных получают частное решение из общего. При этом задаются не сами постоянные, а условие, которому должно удовлетворять искомое частное решение. Задание таких условий называется заданием начальных условий и кратко записывается так: при х=х_о;f(х_о) = у_о;f'(х_о) = у'_о и т.д. Задача нахождения частного решения удовлетворяющего его начальным условиям, называется задачей Коши.

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения вида: f₁(x)φ₁(y)dx +f₂(x)φ₂(y)dy= 0 называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Суть такого разделения сводится к тому, чтобы путем некоторых математических операций, произвести группировку переменных, производных, дифференциалов в отдельные слагаемые так, чтобы, они содержали только один вид переменных. Слагаемые, включающие только одну переменную, можно получить, если ДУ разделить наf₂(x)φ₂(y). Тогда получим: .

Интегрируя это уравнение, мы получим общее решение дифференциального уравнения в виде: . Это выражение является общим решением приведенного уравнения.

Пример:1) у' = 2ху;= 2ху;= 2хdx; ;lny=x²+C;

lny=lne^x+lnC; ; у = с ·e^x- общее решение. При начальных условияхх=0, у = 2; с =2; у = 2e^x- частное решение.

2) у' = 4х³ (прих=0, у =0).∫dy = 4∫x³dx; y = x⁴ + c; y = x⁴.