2. Простейшие способы интегрирования.
а) Непосредственное интегрирование.
Нахождение интегралов функций, основанное на прямом применении свойств неопределенных интегралов и таблицы основных формул интегрирования. Рассмотрим пример нахождения интеграла функции путем непосредственного интегрирования.
Пример:
∫(х–3)2dх= ∫(х2–6х+9)dх= ∫х2dх- 6∫хdх+9∫dх= х3∕3 -3 х2+9х+С.
В подавляющем большинстве случаев мы имеем дело с интегралами функций, которые нельзя найти непосредственным интегрированием. В этом случае необходимо сделать подстановку (заменить переменную).
б) Интегрирование подстановкой (замена переменной).
Интегрирование подстановкой, или как его часто называют, методом замены переменой, является одним из более эффективных и распространенных методов интегрирования. Способ подстановки состоит в том, чтобы перейти от данной переменной интегрирования к другой переменной с целью упростить подинтегральное выражение и привести его к одному из табличных видов интегралов. При этом выбор подстановки решается исполнителем индивидуально, т.к. не существует общих правил, указывающих какую подстановку в данном случае взять.
Пример:Найти интеграл ∫е2х+3dх.
Введем новую переменную t, связанную сх следующей зависимостью 2х+ 3 =t.
Возьмем дифференциалы от левой и правой частей этого равенства: 2dх=dt;dх=dt/2.
Теперь вместо 2х+ 3 иdх в подинтегральное выражение подставим их значения. Тогда получим: ∫е2х+3dх=∫еtdt=еt + С. Возвращаясь к прежней переменной, получим окончательно выражение:
∫е2х+3dх=е2х+3 + С.
Чтобы убедиться в правильности взятия интеграла необходимо первообразную функцию е2х+3 продифференцировать и проверить, будет ли ее производная равна подинтегральной функции:
(е2х+3)' =е2х+3 · (2х+3)' =е2х+3.
3. Определенный интеграл и его свойства.
Понятие определенного интеграла широко используется во многих областях науки и техники. С его помощью вычисляются площади, ограниченные кривыми, объемы произвольной формы, мощность и работа переменной силы, путь движущегося тела, моменты инерции и многие другие величины.
Вподавляющем большинстве случаев понятие определенного интеграла вводится при решении задач определения площади криволинейной трапеции. Пусть имеется непрерывная функция у =f(х) на отрезке [а,в]. Фигуру, ограниченную кривой у=f(х) ординатамиаАо , вАпи отрезком [а,в] оси абсцисс называют криволинейной трапецией (рис.1).
Поставим перед собой задачу: определить площадь Sкриволинейной трапецииаАоАпв. Для этого разобьем отрезок [а,в] напне обязательно равных частей и обозначим точки деления таким образом:а =хо‹х1‹х2 ‹ … ‹хп = в .
Из точек деления восстановим перпендикуляры до пересечения с кривой у = f(х). Таким образом, мы всю площадь, ограниченную кривой, разбили напэлементарных криволинейных трапеций. Восстановим из произвольных точек каждого отрезка ∆хiординатыf(Сi) до пересечения с кривой у =f(х). Далее построим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием ∆хi и высотой f(Сi). Элементарная площадьi-го прямоугольника будетSi =f(Сi)(хi -хi-1), а вся площадьSпполученной ступенчатой фигуры будет равна сумме площадей прямоугольников:
Sп=f(Со)(х1 –хо) +f(С1)(х2 –х1 ) + … +f(Сп-1)(хп –хп-1).
Для сокращения записи этой суммы вводят символ (сигма) – знак, означающий суммирование величин. Тогда
Sп =.
Эта сумма Sп , которая называется интегральной суммой, может быть или больше или меньше истинного значения данной площади. Наиболее близким значением к истинной величине площади будет предел суммы при условии, что элементарные отрезки будут дробиться (п→), а длина самого большого отрезка ∆хmaxбудет стремиться к нулю, т.е.:
S= (4)
Этот предел интегральной суммы (если он существует) называется определенным интеграломот функцииf(х) на отрезке [а,в] и обозначают:= (5)
(читается – “определенный интеграл от адовэф от икс дэ икс”).
Числа аив называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,f(х) – подинтегральной функцией;х– переменной интегрирования. Применив формулы (4) и (5) можно записать. Что площадь криволинейной трапеции численно равна интегралу от функции, ограничивающей трапецию, взятому на интервале интегрирования [а,в]:
.
Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.
Рассмотрим свойства определенного интеграла.
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной, т.е.: =.
2. Определенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого:
[f1(х) +f2(х) + …dх] = f1(х)dх + f2(х)dх + ….
3. Постоянный множитель кв подинтегральном выражении выносится за знак интеграла:
кf(х)dх = кf(х)dх.
4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл изменит свой знак на противоположный, сохранив абсолютную величину неизменной:
f(х)dх = -f(х)dх.
5. Если отрезок [а,в] разбить на две части [а,с] и [с,в] , то интеграл:
f(х)dх =f(х)dх +f(х)dх.
6. dх=в –а, приа ≠в . Это свойство вытекает из того, что неопределенный интеграл ∫ dх = х, т.е. равен некоторой длине отрезка, началом и концом которой будут точкиаивэтого отрезка.
7. Если подинтегральная функция на отрезке [а,в] сохраняет постоянный знак, то и определенный интеграл будет представлен числом того же знака, т.е.:f(х)>0 и f(х)dх>0.
Существуют и другие свойства определенного интеграла, которые мы рассматривать не будем.