32 Лекция №3 элементы теории вероятности и математической статистики.

1.Случайное событие. Вероятность случайного события.

В теории вероятностей исследуются закономерности, относящиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Теория вероятностей служит для обоснования математической и прикладной статистики.

В естественных науках понятие «статистика» означает анализ массовых явлений, основанный на применении методов теории вероятности. Математическая статистика – это наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности, позволяющую оценить надежность и точность выводов на основе ограниченного статистического материала. Среди множества методов познания биологических процессов теория вероятности с математической статистикой занимает одно из важных мест.

Массовые явления и процессы характеризуются, прежде всего, многократным повторением при постоянных условиях некоторых опытов, операций и т.д. Всякий факт какого-либо испытания, эксперимента или действия называют событием. Событие – это исход испытания. События называются достоверными, если они происходят неизбежно в результате каждого испытания и невозможными, если в результате каждого испытания они не могут произойти.

Одним из важных понятий теории вероятности является понятие «случайного события». Случайным событием называется всякий факт, который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти. Например, случайными будут события: успешная сдача студентом экзамена, вспышка эпидемии, появление герба при бросании монеты, попадание в цель при выстреле. Рассматривая множество событий, можно предположить, что для каждого случайного события объективно существует специфическая мера возможности его появления в данном опыте, называемая вероятностью события. Эта безразмерная величина, служащая в некотором смысле «мерой случайности» события, характеризующая степень его близости к достоверному событию.

Вероятность любого события А обозначается символом Р(А) или Р_Аили Р.

Классической вероятность Р(А) события А называется отношение числа случаев m, благоприятствующих событию А, к общему числу случаевn(n–мало): Р(А) =.

Вероятность любого события А удовлетворяет двойному неравенству: 0 ≤ Р(А) ≤1, так как вероятность достоверного события равна 1; невозможного – 0.

Если же имеется возможность неограниченного повторения испытания, то при достаточно большом nиспытаний интересующее нас событие А может произойтиmраз, а отношение Р^*(А) =- называется относительной частотой события А или просто частотой события А. Частоту события иначе называют статистической вероятностью. При большом числе испытаний частота события примерно постоянная величина.

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых событий. Этой цели служат теоремы сложения и умножения вероятностей. Пусть события А и В несовместны и известны их вероятности. Вероятность осуществления либо события А, либо события В определяется теоремой сложения.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В).

Доказательство: Пустьn– общее число испытаний;m₁– число случаев, благоприятствующих событию А;m₂– число случаев, благоприятствующих событию В. Число случаев, благоприятствующих наступлению события А, либо события В, равноm_{1 +} m₂. Тогда

Р(А или В) = = Р(А) + Р(В).

Пример:Найти вероятность выпадания “1” или “6” при бросании игральной кости. Событие А (выпадание 1) и В (выпадание 6) является равновозможными: Р(А) = Р(В) =; Р(А или В) =+=.

Теорема умножения вероятностей заключается в следующем. Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий: Р(А и В) = Р(А) · Р(В).

Доказательство: Пусть m₁- число случаев, благоприятствующих событию А;m₂- число случаев, благоприятствующих событию В;n₁– число равновозможных случаев , в которых событие А появляется или нет.n₂- число равновозможных случаев , в которых событие В появляется или нет. Общее число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В равноm₁m₂. Общее число возможных элементарных событий испытания равноn₁n₂ (число событийn₁ может сочетаться с каждым изn₂событий). Вероятность совместного появления событий А и В –

Р(А и В)= = Р(А) · Р(В).

Пример: В одной урне находится 5 черных и 15 белых шаров, в другой – 3 черных и 17 белых шаров. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными:

Р(А и В) = Р(А) · Р(В) =.