3. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Для описания реальных величин, зависящих от случая, дискретных случайных величин недостаточно. Действительно, таким величинам как температура, давление, размеры физических объектов, длительность физических процессов неестественно приписывать дискретное множество возможных значений. Естественно считать, что их возможные значения в принципе могут быть любыми числами в некоторых пределах, т.е. являться непрерывными случайными величинами.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного интервала. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Непрерывную случайную величину нельзя описать законом распределения как дискретную в виде таблицы. Однако различные области возможных ее значений все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной случайной величины существует «распределение вероятностей», хотя не в том смысле, что для дискретной. Для конечной оценки распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью событияХ ‹х. Под выражениемХ ‹х понимают событие – «случайная величинаХприняла значение, меньшеех».

Функцией распределения случайной величины Xназывается функцияF(х), равная вероятности Р(Х ‹ х) того, что случайная величинаXпринимает значение, меньшеех:F(х) = Р(Х ‹ х) .

Функцию F(х) называют еще «интегральной функцией распределения» или интегральным законом распределения. ФункцияF(х) является одной из форм закона распределения.

Однако в большинстве случаев для описания непрерывных случайных величин при теоретическом их изучении вводят понятие плотности распределения (плотность вероятности), которая равна производной ее интегральной функции f(x) =F'(х). Наиболее часто встречаются величины, распределенные по нормальному закону распределения (закону Гаусса), являющемуся предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Случайная величина распределяется по нормальному закону, если плотность вероятности ее имеет вид:

f(x) = ,

где μ– математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

График плотности вероятности нормального распределения носит название нормальной кривой распределения или кривой Гаусса (рис.1). В точкех=μфункция имеет максимум:f(μ) =. Форма кривой распределния зависит отσ(рис.2);μ– определяет центр рассеяния, а значит и положение распределения на оси абцисс (рис.3). При этом кривая сохраняет свою форму.

Площадь, ограниченная кривой нормального распределения всегда равна единице, поэтому при увеличенииσкривая становится пологой.

4. Статистическое распределение выборки. Гистограмма.

На практике всегда приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных, поэтому результаты наблюдений и их обработка содержит больший или меньший элемент случайности. Разработка методов регистрации, описания и анализа таких экспериментальных данных составляет предмет математической статистики.

В математической статистике изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов, в которых она принимает определенное значение. Полученные значения случайной величины представляют простой статистический ряд (простая статистическая совокупность), подлежащий обработке и научному анализу. Общее число членов этого ряда называют его объёмом.

Совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отнесены, называется генеральной (количество больных на земном шаре, страдающих гипертонией). Теоретически это бесконечно большая или приближающаяся к бесконечности совокупность. Число объектов генеральной совокупности называется ее объемом N.

Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой, а число объектов выборки называется ее объемом и обозначается буквой (п).

Первой задачей статистической обработкти экспериментального материала является наведение опреленного порядка в полученном простом статистическом ряду. Поэтому целесообразно расположить данные в порядке возрастания с указанием их повторяемости – составить вариационный ряд. Если количественный признак является дискретным, подсчитывают сколько раз встречается каждое значение признака и результат представляют в виде таблицы:

X	х1	х 2	х3	…	х k
m	m1	m2	m3	…	mk
P* =	P*1	P*2	P*3	…	P*k

Наблюдаемые значения х₁,х₂, …,х_пназывают вариантами. Числаm₁,m₂, …,m_n - называют частотами, а их отношение к объёму выборки относительными частотами: Р*_i = .

Сумма всех частот равна объему совокупности п:.

Таблицу, содержащую значение вариант признака, их частоты или относительные частоты, называют дискретным статистическим рядом распределения или статистическим распределением выборки.

В случае большего количества вариант и непрерывности признака дискретный ряд перестает быть удобной формой записи статистического материала. В этом случае производят группировку вариант по интервалам, при этом весь диапазон признака хделят на определенное числоkинтервалов шириной ∆х, подсчитывают частотуm_i в каждом интервале, значения, попавшие на конец интервала, относят или к левому или к правому интервалу, определяют Р_i* =, и результаты заносят в таблицу, называемую статистическим интервальным рядом:

ИнтервалX	]хо,х1[	]х1,х2[	…	]хк-1,хк[
m	m1	m2	…	mk
P*	P1*	P2*	…	P*k

Число интервалов определяется по формуле Стерджесса

k = 1 + 3,332 lg n,

где n– объем выборки, а ширина интервала: ∆х=.

Имея указанную таблицу, на оси 0хоткладывают интервал длиной ∆х, а по оси 0у откладывают плотность относительной частоты. На каждом частотном интервале строят прямоугольник с основанием ∆хи высотой(рис.4). Площадьi-го прямоугольникаS_i=. ∆x=P_i*.

Полученную таким образом ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, называют гистограммой. Площадь всех прямоугольников будет равна единице.

При неограниченном увеличении числа наблюдений пи уменьшении ширины интервалов верхняя ломанная линия будет стремиться к плавной кривой, ограничивающей площадь, равную единице. В пределе плавная кривая будет графиком плотности вероятности, которая и характеризует плотность распределения случайной величины. При большом числе наблюдений на гистограмме появляются основные статистические закономерности:

1. Полученные в наблюдениях значения измеряемой величины симметрично расположены около некоторого среднего значения х.

2. Большие отклонения от среднего хвстречаются реже, чем малые.