6. Сложение гармонических колебаний одинакового направления.

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях. Например, различные звуковые волны, одновременно воспринимаемые нашим ухом, заставляют барабанную перепонку принимать участие сразу в нескольких гармонических колебаниях (слышать голоса многих людей).

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение X колеблющегося тела будет являться суммой смещений X₁ и X₂, которые запишутся следующим образом:

, .

Смещение результирующего колебания можно получить, сложив эти выражения и произведя соответствующие тригонометрические преобразования. Но мы воспользуемся методом векторных диаграмм, который отличается большей простотой и наглядностью.

Суть метода состоит в том, что:

1. синусоидальная (косинусоидальная) величина изображается вращающимся вектором, длина которого в выбранном масштабе выражает амплитуду синусоиды;

2. угол, образованный вектором с положительным направлением оси абсцисс в начальный момент времени равен начальной фазе;

3. скорость вращения вектора равна угловой частоте;

4. мгновенные значения синусоидальной (косинусоидальной) величины выражаются проекциями вращающегося вектора на оси координат (рис.7).

Представим оба колебания с помощью векторов A₁ и A₂. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор A. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось X равна сумме проекций слагаемых векторов , следовательно, векторA представляет собой результирующее колебание (см. рис.8). Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω₀ как и вектор A₁ и A₂, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ω₀, амплитудой A и начальной фазой φ. Из построения видно, что , тогда

.

Анализируя первое выражение, приходим к выводам:

а) если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитудеA₁+A₂;

б) если разность фаз , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна (A₁-A₂).

Если частота колебаний X₁ и X₂ неодинаковы, то A₁ и A₂ будут вращаться с различными скоростями. В этом случае результирующий вектор A пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующее движение будет не гармоническим колебанием, а представлять некоторый сложный колебательный процесс.

7. Сложное колебание и его гармонический спектр.

Колебательное движение, при котором смещение изменяется во времени по любому закону, кроме гармонического, называется сложным колебанием. Любое сложное колебание может быть представлено как сумма простых колебаний, что значительно упрощает его анализ. Разложение сложного колебания часто диктуется необходимостью практики. Этот вопрос в общем виде был решён математиком Фурье, который показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы простых гармонических колебаний, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции.

Совокупность простых колебаний, на которые можно разложить данное сложное колебание, называют гармоническим спектром. Такое разложение негармонической функции на гармонические колебания называется гармоническим частотным анализом. Разложение сложного колебания на составляющие его простые гармонические колебания выполняется чаще всего на основе его графика, причём для анализа применяются специальные приборы, называемые гармоническими анализаторами. Подобные приборы применяются при специальных исследованиях колебательных процессов в медицине, например, записанных на ленте колебаний биопотенциалов мозга. Такое разложение биопотенциалов мозга может быть использовано с диагностической целью.

Вспектре сложного колебания указываются частоты и амплитуды всех составляющих его простых колебаний. Обычно спектр изображается в виде графика: (рис.9б), на горизонтальной оси которого откладываются частоты, причём у каждой частоты (гармоники) простого колебания строится ордината, соответствующая амплитуде этого колебания. На рисунке 9а приведён график сложного колебания и 3 его гармоники с частотами 1 Гц, 3 Гц и 5 Гц. Гармонический спектр сложного колебания в данном случае называют линейчатым. Гармонический анализ позволяет достаточно детально проанализировать и описать любой сложный колебательный процесс. Он находит применение в акустике, радиотехнике и других областях науки и техники.