конспект лекцій Дизайн
.pdfКОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з
КУРСУ „НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ"
ДЛЯ СПЕЦІАЛЬНОСТІ ДИЗАЙН
Автор: доцент кафедри графіки та нарисної геометрії Хиневич Р.В.
ЛЕКЦІЯ 1
Корисна геометрія є розділом геометрії, в якому вивчають способи подання просторових фігур за допомогою їхніх зображень на площині чи на поверхні. Основою нарисної геометрії є метод проекцій.
Види та сутність проекціювання
Апарат проекціювання складається з площини проекцій ПІ, на якій знаходяться проекції (зображення), та проекціювального променя 8А, який проходить через точку А і перетинає площину проекцій в точці АІ (рис. 1.1.). Точка АІ - проекція точки А на площині.
Центральне проекціювання - якщо проекціювальні промені проходять через одну точку (точка 8 центр проекціювання) (рис.1.2.а)
Паралельне проекціювання - якщо центр проекціювання безкінечно віддалений і проекціювальні промені паралельні (рис. 1.2.6).
Найбільш поширеним є метод ортогонального (прямокутного) проекціювання або метод Монжа, який полягає в отриманні прямокутних проекцій (напрям проекціювання перпендикулярний до площини проекцій) на дві взаємно перпендикулярні площини (рис. 1.3.)
ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ
Визначення положення точок у просторі здійснюється за їх прямокутними проекціями на дві або більше площини проекцій.
Нехай в просторі задана деяка точка А та дві взаємно перпендикулярні площини проекцій ПІ і Па (рис. 1.3.). Вісь ОХ є лінією перетину площин. Провівши через точку А проекціювальні промені перпендикулярно до заданих площин проекцій на їх перетині з відповідними площинами отримаємо проекції точки АІ і Аз.
ПІ - горизонтальна площина проекцій. ГІ2 - фронтальна площина проекцій. АІ - горизонтальна проекція точки А. Аз - фронтальна проекція точки А.
Для отримання проекцій точки на одній площині креслення необхідно сумістити площину проекцій ПІ з площиною ГЬ шля-
Рис. а.
Рас. /. 3.
А
Рис. і •
хом повороту площини ПІ на 90° відносно лінії їх перетину вісі ОХ. Пряма, що з'єднує проекції АІ і Аз називається лінією проекціювального зв 'язку (рис. 1.4.).
Креслення, яке містить дві або більше взаємозв'язаних проекцій називається
комплексним (рис. 1.4.6).
Введемо ще одну площину перпендикулярну до площин ПІ і ГЬ (рис. 1.5.). Площина Пз - профільна площина проекцій. Лінія перетину площин ГЬ і Пз - вісь О2, площин Пз і ПІ - вісь ОУ. Прямокутна проекція точки А на площину Пз, Аз - профільна проекція точки А. Виконавши поворот площини Пз на 90° до суміщення її з площиною Ш, отримаємо комплексне креслення з трьома проекціями точки (рис. 1.6).
Проекції точки на комплексному кресленні можна будувати за її координатами. Так, відстань від початку координат (точки О) до горизонтальної проекції точки по вісі ХІ2 є абсцисою точки - ХА, відстань від горизонтальної проекції точки АІ до вісі ХІ2 є її ординатою - ¥А, відстань від фронтальної проекції точки Аг до вісі Хіз є її аплікатою -
2А (рис. 1.6.).
Поняття про квадранти
Горизонтальна і фронтальна площини проекцій ПІ і ГЬ ділять простір на чотири частини, які називають квадрантами. Нумерація квадрантів показана на рис. 1.7. Координати точок, розміщених в першому квадранті, позитивні. Точки в другому квадранті матимуть негативну координату У, в третьому - негативні У і 2, в четвертому - негативну 2. При побудові проекцій точок на комплексному кресленні негативні кординати відкладаються у напрямі протилежному до позитивного напряму координатної вісі ( тобто, накладаються на інші вісі).
1 |
/ І , |
|
X
"з
|
|
\ |
|
Рис. (.5. |
п, Г |
||
|
|||
|
|
Рис. /. л,
Рис. і 7.
ЛЕКЦІЯ 2
ПРОЕКЦІЇ ПРЯМОЇ
Пряма лінія в просторі визначається |
|
|
двома точками. Для отримання проекцій |
|
|
прямої достатньо побудувати проекції двох її |
|
|
точок (рис.2.1.). АІВІ - горизонтальна проекція |
|
|
прямої, АаВІ - фронтальна проекція. |
|
|
Пряма лінія в системі площин проекцій |
|
|
може займати різне положення. Вона може |
|
|
бути розміщена довільно, бути паралельною |
|
|
чи перпендикулярною до площин проекцій, |
|
|
належати площинам проекцій. |
|
|
Пряма, яка займає довільне (загальне) по- |
|
|
ложення в системі площин проекцій, нази- |
Рис. І.і. |
|
вається прямою загального положення (рис.2.1.). |
||
|
Прямі особливого положення
Прямі паралельні до площин проекцій називаються прямими рівня.
Пряма паралельна горизонтальній площині проекцій називається горизонтальною прямою. При цьому її фронтальна проекція завжди буде паралельною вісі ОХ. Горизонтальна проекція є натуральною (дійсною) величиною прямої та утворює з віссю ОХ натуральну величину кута нахилу прямої до фронтальної площини проекцій - кут Р (рис.2.2.). Натуральна величина на кресленні позначається подвійною лінією.
Пряма паралельна фронтальній площині проекцій називається фронтальною прямою. При цьому її горизонтальна проекція завжди буде паралельною вісі ОХ. Фронтальна проекція є натуральною (дійсною) величиною прямої та утворює з віссю ОХ натуральну величину кута нахилу прямої до горизонтальної площини проекцій - кут а
(рис.2.3.)-
Пряма паралельна профільній площині проекцій називається профільною прямою. В даному випадку її горизонтальна та фронтальна проекції будуть перпендикулярними вісі ОХ і співпадатимуть з лінією проекіювального зв'язку. Профільна проекція прямої буде її натуральною величиною, а кути утворені з вісями ОУ і О2 є дійсними кутами нахилу прямої до площин ПІ і ГЬ
(рис.2.4.).
Прямі, паралельні напряму проекціювання, називаються проещіювальтіми прямими. Такими є прямі перпендикулярні до площин
проекцій. При цьому на відповідні площини
проекцій вони проекціюються в точку. |
А |
|
|
Пряма перпендикулярна до горизонталь- |
|
ної площини проекцій називається горгі- |
|
зонтально-проекціювальною (рис.2.5.а), до |
|
фронтальної площини проекцій - фронталь- |
|
но-проекціювальною (рис.2.5.б), до профіль- |
|
ної - профільно-проекціювальною (рис.2.5.в). |
|
Так як прямі перпендикулярні до однієї з |
|
площин проекцій одночасно паралельні двом |
а.. |
іншим, на ці площини вони проекціюються у |
|
натуральну величину. |
|
Натуральна величина прямої загального положення
Натуральну величину прямої загального положення та кути її нахилу до площин X/ проекцій можна визначити способом прямокутного трикутника.
Розглянемо в просторі відрізок АВ прямої загального положення (рис.2.6.). АІВІ - його горизонтальна проекція, АзВг - фронтальна. Провівши з точки А перпендикуляр до
проекціюючого променя ВВІ утворимо Рис.2.5. прямокутний трикутник АВВ'. В даному трикутнику катет АВ' дорівнює горизонтальній проекції відрізка АІВІ, катет ВВ' дорівнює різниці аплікат кінцевих точок відрізка (Д2=2В-2А). Заданий відрізок АВ є гіпотенузою трикутника. Кут а між гіпотенузою АВ і катетом АВ1 є кутом нахилу відрізка до площини проекцій ПІ.
Розглянемо побудову прямокутного \ трикутника на комплексному кресленні (рис.2.7.). Використавши горизонтальну проекцію відрізка АІВІ, як катет, добудуємо під прямим кутом другий катет ВІВ' (ВІВ'=Д2). Гіпотенуза АІВ1 утвореного трикутника є натуральною величиною відрізка АВ. Кут а між натуральною величиною і горизонтальною проекцією відрізка є кутом нахилу відрізка до площини проекцій ПІ.
Аналогічну побудову можна виконати на основі фронтальної проекції відрізка А2В2, яку використовують як катет прямокутного трикутника. Другий катет АзА' дорівнюватиме різниці аплікат кінцевих точок відрізка (ДУ=¥В-¥А). Гіпотенуза знову буде натуральною величиною відрізка, а кут р між гіпотенузою і фронтальною проекцією є ку- том нахилу відрізка до площини проекцій ГЬ.
•23
о
Пряма і точка
Точка може належати прямій або не
належати їй. Точка належить прямій, якщо її |
иг. |
|
|
проекції належать відповідним проекціям |
|
прямої - точка М (рис.2.8.). |
|
Точка не належить прямій, якщо хоча б |
|
одна з її проекцій не належить проекції |
|
прямої - точка К (рис. 2.8.). |
|
Сліди прямої
Р и с . 2 .
Точки перетину прямої з площинами проекцій називають її слідами. Точка перетину з горизонтальною площиною проекцій є горизонтальним слідом прямої (точка Н), з фронтальною - фронтальним слідом (точка Р). Для визначення слідів прямої (рис.2.9), будують точки перетину проекцій прямої з віссю ОХ: на перетині фронтальної проекції АзВз з віссю маємо точку №, на перетині АІВІ - точку РІ), на одній вертикальній лінії зв'язку та на відповідних проекціях прямої і будуть розміщені шукані точки НІ=Н і Рз=Р. Відповідні проекції слідів співпадають з самими точками так як вони належать відповідним площинам проекцій (точка Н належить площині ПІ, а точка Р - площині ІЬ).
Взаємне положення двох прямих
Дві прямі в просторі можуть бути паралельними, перетинатись або мимобіжними.
Дві прямі в просторі паралельні, якщо їх одноіменні проекції паралельні - прямі с і А (рис.2.10.а)
Дві прямі перетинаються, якщо їх одноіменні проекції перетинаються і точка їх перетину ( точка М) належить лінії проекціювального зв'язку - прямі т і п (рис.2.10.б).
Одноіменні проекції мимобіжних прямих можуть перетинатися, але точки їх перетину не є спільними для обох прямих - точка Ь належить прямій 1, а точка N - прямій п рис. 2.10. в).
Проекції прямого кута
Прямий кут між прямими проекціюється на одну з площин проекцій в натуральну величину, якщо хоча б одна з його сторін паралельна до цієї площини проекцій - пряма а паралельна до ПІ, пряма с - до ГЬ (рис.2.11.).
1
Рис. <?.
ЛЕКЦІЯ З
ПРОЕКЦІЇ ПЛОЩИНИ
Площина в просторі визначається.
а) трьома точками, що не лежать на одній прямій (рис.3.1 .а);
б) прямою та точкою, що не належить цій прямій (рис.3.1.6);
в) прямими, що перетинаються (рис.2.11); г) паралельними прямими (рис.2.10.); д) плоскою фігурою (наприклад,
трикутником (рис.3.1.в).
На комплексному кресленні зручно задавати площину лініями її перетину з площинами проекцій (рис.3.2.). Ці лінії називають слідами площини: лінія перетину з ПІ - горизонтальний слід площини ЬІ°, з Ш - фронтальний слід 6°. Друга проекція кожного сліду належить вісі ОХ (п2°=
Й°=ХІ2).
Особливі положення площини
Площини можуть займати особливі положення відносно площин проекцій: бути паралельними або перпендикулярними до цих площин.
Площини перпендикулярні площинам проекцій називаються проекціювапьними. В такому випадку, проекцією площини на тій площині проекцій, до якої вона перпендикулярна буде пряма. При завданні площини слідами один слід площини буде розміщуватися перпендикулярно до відповідної вісі проекцій.
На рис.3.3. наведені приклади площин перпендикулярних до горизонтальної площини проекцій ПІ - це горизонтально-
проещіювальні площини (рис. 3.3. а)-
площина задана трикутником, рис.3.3.б) - площина задана слідами). На рис.3.4. - площини перпендикулярні до П2 -
фронтально-проещіювальні (рис. 3.4. а)
площина задана прямими, що перетинаються, рис.3.4.6) - слідами). На рис.3.5. - площина перпендикулярна до Пз - профільнопроекціювальна (при заданні площини слідами, обидва сліди паралельні вісі ОХ).
Площини паралельні площинам проекцій, А/г. 5.2. називають площинами рівня. На рис.3.б.а)
наведено приклад горизонтальної площини (паралельної ПІ), заданої паралельними пря- мими; на рис.3.6.6) - приклад фронтальної
Рис. 3. $.
площини (паралельної Ш), заданої прямими, що перетинаються; на рис.3.6.в) - приклад профільної площини (паралельної Пз), заданої трикутником. Площини рівня також проекціювальні, так як вони перпендикулярні двом іншим площинам проекцій.
Належність точки і прямої площині
Пряма належить площині, якщо дві її точки належать цій площині. На рис. 3.7. зображено деяку пряму пі, що належить площині заданій трикутником, точки прямої 1 і 2 належать сторонам трикутника.
Точка належить площині, якщо вона належить деякій прямій цієї площині. На рис.3.7. точка К належить прямій т, а отже і площині, заданій трикутником АВС.
Головні лінії площини
Головними лініями площини є гори-
зонталь площини, фронталь площини та лінія найбільшого нахилу.
Горизонталь площини п - це лінія, яка належить площині і є паралельною до горизонтальної площини проекцій ПІ. Отже, фронтальна проекція горизонталі Ьг буде паралельною вісі ОХ, а її горизонтальна проекція ЬІ - паралельна горизонтальному сліду площини (рис. 3.8.)
Фронталь площини / - це лінія, яка належить площині і є паралельною до фронтальної площини проекцій ГЬ. Горизонтальна проекція фронталі й буде паралельною вісі ОХ, а фронтальна 6 - фронтальному сліду площини (рис.3.9.).
Лінія найбільшого нахилу визначає кут нахилу площини до відповідної площини проекцій. Одна з проекцій цієї лінії розміщується перпендикулярно до відповідного сліду площини - лінія 2-3
(рис.3.9.).
ЛЕКЦІЯ 4
ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН
Паралельність і перпендикулярність прямої і площини
Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна деякій прямій цієї площини. На рис.4.1. пряма 1 паралельна площині, яка задана прямими а і Ь, що перетинаються.
Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються. Для побудови проекцій прямої перпендикулярної до площини використовують горизонталі і фронталі площини. Виходячи з властивостей проекцій прямого кута, можна зробити висновок: пряма перпендикулярна площині, якщо її проекції перпендикулярні відповідним проекціям горизонталі та фронталі цієї площини - р2-^6, рІ-Чн (рис.4.2.)
Взаємно паралельні площини
Дві площини паралельні, якщо дві прямі,
які перетинаються, однієї площини, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини. Це можуть бути довільні прямі - т||с, п||(і (рисАЗ.а), або її сліди (рис.4.3.6)
Взаємно перпендикулярні площини
Дві площини перпендикулярні, якщо одна з площин містить пряму, перпендикулярну іншій площині. Отже, для побудови площини перпендикулярної до заданої необхідно побудувати пряму перпендикулярну до цієї площини (рис.4.2.). На рис. 4.4. наведено приклад побудови площини через точку В перпендикулярної до площини заданої трикутником АВС. Через точку В проведено прямі, що перетинаються: одна з них - пряма р перпендикулярна до площини заданої трикутником, інша пряма к - довільна.
Рис.
Перетин прямої і площини
Перетин прямої з проекціювальними площинами, якщо площина проекціювальна, то на відповідну площину проекцій вона проекціюється в лінію. Отже, перетин цієї лінії із заданою прямою і буде точкою перетину прямої і площини - точка М (рис.4.5.).
Перетин площини загального положення з проещіювальною площиною. Відомо, що дві площини перетинаються по прямій лінії. Для визначення цієї лінії необхідно знайти дві спільні точки, що належать обом площинам. Очевидно, що на одній із проекцій лінія перетину двох площин співпадатиме із слідом проекціювальної площини - лінія 1І2І (рис.4.6.). На другій проекції її визначають за належністю точок відповідним прямим.
Визначення точки перетину прямої з площиною загального положення здійснюється згідно з наступним алгоритмом (рис.4.7.):
1. Через пряму проводиться допоміжна проекціювальна площина X;
2.Знаходиться лінія перетину (1-2) допоміжної площини і заданої;
3.Точка перетину побудованої лінії 1-2 з заданою прямою і буде шукана точка перетину прямої з площиною.
На рис.4.7. наведений приклад з використанням допоміжної фронтально-проекцію- вальної площини: слід площини співпадає з
фрОНТаЛЬНОЮ ПрОеКЦІЄЮ ПрЯМОЇ (ІП2=]Г2).
Пряма 1-2 є лінією перетину площини £ з площиною, що задана трикутником АВС. Відповідно, точка перетину лінії 1-2 з горизонтальною проекцією прямої і є шуканою (точка К). Видимість ділянок прямої визначається за конкуруючими точками 2 і 3, 4 і 5. Фронтальні проекції точок 22 і 32 співпадають, горизонтальні проекції 21 і ЗІ належать стороні трикутника і прямій відповідно. Так як точка 2 розміщена ближче до глядача ніж точка 3, то пряма на ділянці К2-22 буде невидимою. Аналогічно для точок 4 і 5.
Для визначення лінії перетину двох площин загального положення необхідно знайти дві їх спільні точки. При цьому будують точки перетину двох прямих однієї площини з іншою площиною згідно з наведеним вище алгоритмом. На рис.4.8. знайдено точки перетину прямих ВЕ і КЕ однієї площини з іншою площиною, що задана трикутником АВС. Для визначення видимості сторін трикутників використано принцип конкуруючих точок.
10