Вычисления при подгонке прямой линии для графика илл. 14 (первая подгонка)

А) ВЫЧИСЛЕНИЯ—точка максимума=8,25, аппроксимирующая прямая= 1,17—0,0282 (разность)²

Пример: 1»12 п = 1,17 — (0,0282) (1,25)5 Ч Из илл. 1.

²⁾ Для несглаженных остатков.

Б) ГРАФИК ОСТАТКОВ (в том виде, как они есть)

Иллюстрация 15 (продолжение)

В) ГРАФИК СГЛАЖЕННЫХ ОСТАТКОВ ^ г

17Г. Зерновые точильщики, цены на пшеницу и модельный эксперимент стьюдента

Вернемся к примеру (илл. 7) о распределении числа зерновых точильщиков на полях. График плавной компоненты корней дости­гает своего максимума и в одной нулевой точке опускается вниз. Нулю на оси абсцисс соответствует 24,2 подсчета. Симметричное относительно точки максимума число на оси абсцисс равно 2,7. Таким образом, в качестве первого приближения для точки максимума можно взять число 1,3. На илл. !6 приведены вычисления, связанные с на­хождением зависимости для данных илл. 7. В левой части илл. 16, Б изображены значения логарифмов от сглаженных корней в зависи­мости от квадратов смещения. Из графика следует, что наилучшим первым приближением здесь будет прямая.

Вернемся к илл. 16, А и вычислим остатки при подгонке прямой. График остатков изображен в правой части илл. 16, Б. Мы видим, что первые пять точек этого графика (обозначенные кружками) доста­точно хорошо ложатся на прямую. Имеет определенный смысл ис­пользовать эту прямую, не обращая внимания на остальные шесть точек, обозначенные крестиками, поскольку первым пяти точкам соответствует большая часть подсчетов и значения логарифмов, наи­лучшим образом ложащиеся на прямую. Мы получаем, таким образом, следующую модифицированную зависимость для логарифмов сглажен­ных корней:

1,45—0,031 (В—1,3)² ПЛЮС—0,005+0,002 (В—-1,3)², что дает в результате

1,445—0,029(5—1,3)², где В — число точильщиков на растении.

Иллюстрация 16 главы 17: полевые злаки

Пробная аппроксимация данных о зерновых точильщиках (плавная компонента из илл. 7, точка максимума, равная 1,3, — из текста)

А) АППРОКСИМАЦИИ И ОСТАТКИ

Б) ГРАФИКИ

а — при *=0 г/== 1,45, при х=40 у— 0,21,

Лх= 40 соответствует Дг/=—1,24, Дх=1 соответствует Д(/=--0,031; следовательно,

(/=1,45—0,031 (В — 1,3)",

б — при х=0 0,005,

при х=20 (/=—0,035,

Дх=20 соответствует Ау=—0,04* Дх—1 соответствует Ду=—0,002; следовательно,

(/=0,005—0,002 (В — 1,3)".

Иллюстрация 16 (продолжение)

В) УПРАЖНЕНИЯ

16а) Проведите вычисления п. А, начиная со столбца «log сглаженных корней», о точностью, большей на один десятичный знак. Стоит ли затраченных усилий увеличение точности данных?

166) Попробуйте другие аппроксимации того же вида, вычисляя и вычерчивая ос­татки для каждой из них.

16в) Начертите график остатков в зависимости от В вместо (В — 1,3)², аппрокси­мируйте его прямой, прибавьте эту аппроксимацию остатков к полученной ранее аппроксимации данных. Объясните полученные результаты.

16f) Начертите график логарифмов несглаженных корней в зависимости от (В — — 1,3)². Выполните аппроксимацию. Объясните результаты.

Как видно из илл. 17, после этой вторичной подгонки остатки тоже не слишком хороши. Заметны два обстоятельства:

() остатки для двух точек, ближайших к точке максимума,, велики — одна из этих точек внешняя;

О остатки в основном положительны.

Оба этих явления, очевидно, связаны с тем, что пик истинной кривой слишком узок для использованной техники сглаживания. В этом случае нахождение аппроксимации для логарифмов от исходных зна­чений корней могло бы дать лучшие результаты, чем мы получили для логарифмов сглаженных корней.

При желании мы могли бы дополнительную аппроксимацию остат­ков произвести зависимостью, линейной по В, а не по (В—1,3)², как это сделано выше. Добавление такой зависимости к первоначальной привело бы к смещению точки максимума аппроксимирующей кривой»

МОДЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ СТЬЮДЕНТА

В 1908 г. Стьюдент — химик, впоследствии работавший в пиво­варенной фирме «Гиннес», опубликовал две статьи, давшие очень много для становления современной статистики. Обе статьи посвя-

Иллюстрация 17 главы 17: полевые злаки Остатки после проведения вторичной аппроксимации

Иллюстрация 18 главы 17: моделирование Результаты двух модельных экспериментов Стыодента

А) ДАННЫЕ

Замечание. Для вычисления коэффициента корреляции использовалось 750 выборок тз восьми измерений; для ^-статистики Стыодента — два множества по 750 выборок 13 четырех измерений»

Иллюстрация 18 (продолжение)

Б) ГРАФИК — для коэффициента корреляции

В) УПРАЖНЕНИЯ 18а) Найдите корни, сглаженные корни и их неровности для подсчетов коэффициента корреляции, исполь­зуя предложенные выше ячейки. Сравните результаты с илл. 24, 186) Сделайте то же самое для в два раза меньшего числа ячеек, каж­дая из которых вдвое большей ширины.

Г) ИСТОЧНИКИ: подсчеты /-ста­тистики: Student. The probable error of a mean. Biometrika, 8, 1—25, 1908;

подсчеты коэффициента корреляции: Student. Probable error of correlation coefficient. Biometrika, 8, 302—310, 1908. См. также e. 1 —10 и 11—34 работы «Student’s Collected papers», ed. by E. S. Pearson and J. Wishart* n. d. Biometrika Office, Cambridge University Press,

щены моделированию законов распределения некоторых величин, являющихся статистическими характеристиками выборок чисел. Для этого он заготовил 750 выборок по четыре числа (или по восемь чисел) в каждой и вычислил интересующие его величины для каждой выборки. При заготовке выборок он использовал измерения роста и длины сред­него пальца левой руки у 3000 человек (уголовных преступников), записал эти данные на 3000 карточек, перемешал их и вытаскивал наугад. (При заготовке выборок из восьми измерений каждый чело­век фигурировал в двух выборках.)

Некоторые из полученных при описанном моделировании резуль­татов представлены на илл. 18, А. Поскольку два из составленных Стью- дентом множеств подсчетов соответствуют ячейкам неравной длины, их анализ придется отложить до следующего раздела. Третье множе­ство можно обработать по той же методике, что и в предыдущих при­мерах, ячейка за ячейкой.

На илл. 18, Б показано, что получается, если в качестве точки мак­симума взять значение, равное нулю. Ясно, что в данном случае НЕТ необходимости брать логарифмы. Мы имеем

6,3—0,0158 • (смещение в номерах ячеек)².

График остатков показан на илл. 19. Он выглядит вполне удовле­творительно, остатки имеют нормальный разброс и расположены