§ 2.4. Условие арбитражной ситуации

Когда делается ставка на событие, она может проиграть, выиграть, а также возможен вариант, когда мы ничего не проигрываем и не выигрываем – то есть, имеем возврат (денег). Каждое событие имеет свой коэффициент выигрыша: Ki >= 1, i =1,N. Если коэффициент Ki > 1,

то при реализации этого исхода у нас будет чистая прибыль Vi*(Ki-1), где Vi сумма нашей ставки. Если Ki = 1, то это случай возврата денег, такие коэффициенты не присутствуют в линиях букмекерских контор (но подразумеваются для исходов не входящих в условие ставки). Допустим, мы ставим на каждый исход игры сумму Vi, i=1,N. Как будет ясно из дальнейшего хода анализа, при наличии вилки мы будем вынуждены делать ставки на все события (исходы игры) входящие в наш список (который зависит от типа вилки). Поскольку, делая ставки, игрок хочет выигрывать деньги, то есть, получать больше чем поставил, и хочет, чтобы это было при любом возможном исходе игры (в этом состоит суть “вилки”), то мы получаем систему неравенств «прибыльности»:

Ki *Vi > V1+V2+…VN = V, i=1,N (1)

Она означает, что каждый (любой) возможный выигрыш по каждому исходу игры (Ki*Vi) должен покрывать все наши расходы на все исходы ставки, включая те, которые не сыграли, то есть общие расходы, равные V. Естественно, что коэффициенты, удовлетворяющие данным условиям нельзя найти в одной букмекерской конторе, таких контор должно быть минимум две. Перепишем эти неравенства как Ki*Di > 1, где Di = Vi/V, часть полной суммы проставленная на данный исход. Возникает вопрос как из этой системы неравенств определить, дает ли данный набор коэффициентов возможность получить нам прибыль хотя бы при одном варианте распределения общей суммы ставки по возможным исходам.

Так как все Ki>1>0, то систему неравенств можно (разделив на Ki) переписать как

Di > 1/Ki, i=1,N

Складывая правые и левые части всех этих неравенств, получаем

D1+D2+…+DN >1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN

Но D1+D2+…+DN = V1/V+V2/V +… VN/V = (V1+V2+…VN)/V = V/V = 1, поэтому мы получаем условие, которому должны удовлетворять коэффициенты событий (исходов игры):

1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN < 1 (2)

Условие получено без каких-либо предположений о способе разбиения общей суммы по исходам, а значит справедливо для всех без исключения вариантов. Это условие является необходимым для существования “вилки”. Так как если вилка существует (удовлетворяются все исходные «прибыльные» неравенства), то в силу вывода коэффициенты Ki, i=1,N будут удовлетворять последнему соотношению.

Нужно проверить является ли это условие достаточным для существования вилки. Для этого нужно показать, что при выполнении данного соотношения (2) всегда найдутся такие Vi (распределение общей суммы ставки по исходам), что при них будут удовлетворены все “прибыльные” соотношения (1). То есть возможно получить прибыль независимо от исхода события. Для этого обозначим L = 1/K1 + 1/K2 +… + 1/KN и разобьем все сумму ставки по исходам пропорционально 1/Ki, i=1,N.

Для этого положим Vi = (1/Ki * V)/L. Действительно, складывая все Vi, мы получаем V, и, кроме того, Vi разбиты пропорционально 1/Ki. Проверим, что при таком распределении общей суммы ставок по исходам выполняются наши прибыльные (вилочные) соотношения (2). Подставляя Vi в каждое из соотношений (1),получаем:

Ki *Vi = (Ki * 1/Ki * V)/L = V/L > V (так как L<1 по условие, которому, как предполагается, удовлетворяю наши коэффициенты исходов).

То есть мы получили, что при данном условии на Ki (L<1) и предложенном распределении общей суммы ставки по исходам, мы при любом исходе игры получим прибыль, что и требовалось доказать. То есть условие 1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN < 1 является необходимым и достаточным для получения прибыли независимо от исхода игры.

Если мы знаем, что наши коэффициенты удовлетворяют условию (2), то есть являются вилочными, то мы без труда сможем рассчитать суммы, которые необходимо поставить на каждый исход, чтобы быть в одинаковом плюсе независимо от то как завершится событие:

Для двух исходного события:

V1=V*K2/(K1+K2)

V2=V*K1/(K1+K2)

Для трех исходного события:

V1= V*K2*KX/(K1*K2+K1*KX+K2*KX)

V2=V*K1*KX/(K1*K2+K1*KX+K2*KX)

VX=V*K1*K2/( K1*K2+K1*KX+K2*KX).