Тема № 2 «Средние величины и показатели вариации»

Имеется вариационный ряд статистического наблюдения объема товарооборота организаций. По данным табл.5 представить анализ степени вариации единиц совокупности, определив:

1. средний товарооборот

2. размах вариации;

3. среднее линейное отклонение;

4. дисперсию;

5. среднее квадратическое отклонение;

6. коэффициент вариации.

Методические указания к выполнению задания

Целый ряд признаков, присущих отдельным объектам в статистике различаются по величине. Однако, при всем разнообразии размеров признака у отдельных объектов, существуют характерные для данных условий размеры этих признаков. Размеры признака, характерные для всей массы единиц, статистика выражает, при помощи средней величины.

Средние в статистике – это обобщающий показатель, выражающий типичные размеры варьирующих признаков в конкретных условиях места и времени на единицу совокупности. Отличительной особенностью средних является то, что в них погашаются индивидуальные различия признака у отдельных единиц совокупности и в результате чего, появляется возможность охарактеризовать общие черты и свойства массовых экономических явлений.

Необходимость характеристики средней величины требует предварительной работы, в частности требует расчленения изучаемой массы объектов на качественно однородные группы. Иначе говоря, метод средних базируется на методе группировки.

Средние величины могут рассчитываться различными способами. В одних случаях достаточно иметь итоговые данные, которые делятся на число единиц, в других случаях необходимо выполнить дополнительные расчетные работы, что зависит от целей, которые поставлены.

В статистике в зависимости от исходных данных, от задач, поставленных перед исследователями, применяют тот или иной способ расчета. Итак, способы расчета средних представляются выражениями:

1. ( средняя агрегатная)

Средняя агрегатная употребляется чаще всего в экономических расчетах, потому что, обычно в отчетности, содержаться итоговые данные по ряду признаков, а соотношение их дает нам искомый результат.

2. (средняя арифметическая)

Таблица 5

Данные наблюдений товарооборота организаций, млн.Руб.

Номер наблюдения	Вариант
	1		2		3		4		5		6		7		8		9		0
	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот	Число орг-ций	Това-рооборот
1	2	50	9	30	1	71	8	32	3	69	5	68	4	70	7	50	6	45	5	33
2	5	45	12	25	4	67	10	43	9	28	8	55	11	23	6	48	14	21	7	54
3	9	32	5	54	8	36	6	35	4	58	10	24	7	36	11	25	8	37	6	51
4	11	28	8	33	14	26	15	20	12	31	11	20	13	42	9	31	10	42	9	65
5	4	55	1	65	9	39	2	66	5	64	3	70	6	40	2	69	7	50	1	20
6	3	57	15	22	3	67	5	57	11	23	4	66	10	20	1	70	9	26	8	43
7	8	35	2	58	6	35	5	60	7	34	3	62	1	73	6	45	5	68	9	55
8	1	62	7	47	2	56	3	63	5	59	4	58	6	39	8	50	7	58	3	70
9	6	57	4	38	7	34	5	58	8	44	2	72	1	19	9	42	4	71	2	19
0	5	48	6	44	11	27	10	28	3	65	7	56	4	30	8	37	9	32	1	75

Средняя арифметическая используется в тех случаях, когда имеются данные о распределении численности единиц какой-либо совокупности по величине усредняемого признака.

3. ( средняя гармоническая)

Средняя гармоническая определяется, если известны отдельные значения усредняемого признака и соответствующие им значения другого признака.

Из приведенных выше формул, средней арифметической и средней гармонической следует, что величина средней зависит не только от размера усредняемого признака x, но и в большей мере от значений f и W. При этом, очевидно, что, при вполне определенных конкретных значениях x(x₁, x₂,…,x_n) величина средней будет тем больше, чем больше удельный вес в сумме значений имеют численности тех вариантов, которые обладают наибольшими размерами.

На величину средней не будут оказывать влияния значения f и W в том случае, если они будут одинаковыми для всех вариантов усредненного признака x: f₁=f₂=…=f_n и W₁=W₂=…=W_n.

Если такое условие имеется, то для исчисления средней арифметической применяют формулу:

4. , где n число вариантов усредняемого признака x.

5. Для средней гармонической:

Средние, рассчитанные по формулам №1, 2, 3, т.е. содержащие f и W, называются взвешенными, а значения f и W называются весами средней, а процесс расчета, в свою очередь, называется взвешиванием. Если же расчет производится по формулам №4, 5, средние, определенные таким образом называются простыми или невзвешенными.

При расчете средних чаще всего применяют формулы средних взвешенных. Формулы № 4, 5 употребляются в тех случаях, когда варианты усредняемого признака не повторяются или не произведена их группировка. Такое разграничение на простые средние и взвешенные очень важно в экономике, потом что применение только простых вместо средне взвешенных может привести к ошибочным результатам и выводам.

Все признаки, отмеченные в статистике, подвержены колебанию. Самым простым показателем такой колеблимости любого признака является размах вариации. В общем случае он представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значением признака.

Размах вариации зависит от двух значений признака, что в экономике означает неточность определения.

Измерителем среднего линейного отклонения считается величина отклонений от средней, взятых без учета алгебраического знака. Исчисленная таким образом величина среднего отклонения называется средним линейным отклонением.

В практике следует иметь в виду, что величины линейного отклонения различных вариационных рядов можно сравнить лишь в том случае, если эти ряды характеризуются примерно одинаковыми средними. А т.к. это бывает в практике не всегда, то для сопоставления колеблимости исчисляются относительные показатели колеблимости, т.е. относят линейные отклонения к арифметической средней.

Используя ранее принятые обозначения варьирующего признака, веса и средней, можно порядок расчета среднего линейного отклонения записать в виде формулы:

.

Но в случае, если варианты в распределении признака не повторяются, то среднее линейное отклонение рассчитывается по следующей формуле:

Средний показатель из отклонений от средней может быть так же получен, если сначала все отклонения возвести в квадрат, затем найти из квадратов среднеарифметическую, а затем из полученной величины извлечь квадратный корень. Полученный таким образом показатель называется среднем арифметическим отклонением (). Среднее арифметическое из квадрата отклонений называется дисперсией ().

–средний квадрат отклонения, взвешенный;

–средний квадрат отклонения, невзвешенный.

Очень часто для сравнения степени колеблимости, особенно различных вариационных рядов, исчисляют коэффициент вариации. Для того чтобы его вычислить, надо среднее квадратичное отклонение отнести к средне арифметическому, и этот результат выражается в процентах.