лекции_1
.pdf
Уравнение динамики
●Пример: электрический четырехполюсник (LRC-цепь)
●Уравнение динамики:
CL |
d 2 U C t |
RC |
dU C |
t |
U C t =U вх |
dt2 |
dt |
|
|||
|
|
|
|
T 22 y ' ' t T 1 y ' t y t =kx t
● Как определить передаточный
коэффициент?
K y t
= x t
Преобразование Лапласа
● Пусть есть исходная функция (оригинал)
ft : f t =0 при t 0
●Изображение (прямое одностороннее преобразование Лапласа):
∞
F p =∫ f t e− pt dt
0
–p — оператор комплексного переменного (комплексная частота) p= j
●Краткое обозначение: F p =L[ f t ]
Таблица соответствия
●Оригинал f(t)
f t
f 1 t ± f 2 t
d n [ f t ] dtn
∫ f t dt
●Изображение F(p)
F p
F 1 p ±F 2 p
pn F p
Fp p
Уравнение динамики в пространстве Лапласа
● Исходное уравнение:
T 22 y ' ' t T 1 y ' t y t =kx t
●Уравнение динамики после преобразования Лапласа:
T 22 p2 Y p T 1 pY p Y p =kX p
Y p = |
k |
X p |
T 22 p2 T 1 p 1 |
Передаточная функция
●Уравнение для линейной САУ в общем случае:
C |
|
d 2 y t |
C |
dy t |
C |
|
y t =b |
|
dx t |
b |
x t |
|
dt2 |
1 dt |
|
|
dt |
||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
C0 p2 C1 p C2 Y p = b0 p b1 X p
● Передаточная функция:
W p = |
Y p |
= |
b0 pm b1 pm−1 bm |
= |
E p |
, n m |
|||
X p |
C0 |
pn C1 |
pn−1 Cn |
D p |
|||||
|
|
|
|
||||||
Возвращение в исходное пространство
● Обратное преобразование Лапласа:
j ∞
f t =L−1 [ F p ]= 1 ∫ F p e pt dp
2 − j ∞
●Использование таблиц соответствия
●Разложение функции изображения на простые дроби (напр., с помощью метода неопределенных коэффициентов)
Временные характеристики САУ
● Переходная функция h(t) — реакция системы на единичный ступенчатый сигнал
●Импульсная переходная функция w(t) — реакция системы на единичный импульс
t = |
∞ ,t=0 |
w t = |
d |
h t |
0,t≠0 |
dt |
Частотные характеристики САУ
● Входной сигнал:
xвх=x1 e j t |
e j t=cos t j sin t |
●Выходной сигнал (после окончания переходного процесса):
xвых=x2 e j t =x2 e j t e j
●Комплексная частотная функция (комплексный коэффициент усиления):
K = |
xвых |
= |
x2 |
e |
j |
K =W p p= j = |
E j |
xвх |
x1 |
|
D j |
||||
|
|
|
|
|
Частотные характеристики САУ
●Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ):
W j =R jJ |
W j =A e j |
●Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):
A = W j = R2 J 2
● Фазо-частотная характеристика (ФЧХ):
=arg W j =arctg JR
Логарифмические частотные характеристики
ln W j =ln A e j =ln A j
●Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ):
L =20lg A
●Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ)
●Значения частоты указываются в октавах и декадах (1 декада = 3,32 октавы)