лекции_ 2
.pdf
Основы теории управления
Лекции по курсу
Часть 2
Обнинский Государственный Технический Университет Атомной Энергетики
© 2008 А.В. Нахабов
Устойчивость в состоянии равновесия
Система «устойчива в малом» и Система «устойчива в малом» «устойчива в большом»
Нейтральная система |
Неустойчивая система |
Особенности исследования устойчивости САУ
●Рассматриваются исчезающие возмущения
●С помощью САУ можно изменить поведение объекта управления с точки зрения устойчивости
●САУ может иметь несколько состояний равновесия
●Для некоторых САУ типичным режимом работы является движение
Устойчивость САУ
●Обычно исследуется устойчивость невозмущенного движения системы
–устойчивость в состоянии равновесия
–устойчивость в динамике
●Анализ устойчивости в пространстве состояний
●Переходной процесс = вынужденные движения (зависят от возмущающего воздействия и свойств системы) + свободные движения системы (зависят только от свойств системы)
Условия устойчивости
●Устойчивость – свойство системы возвращаться к определенному состоянию (установившегося движения или равновесия) после устранения возмущения, нарушившего это состояние
●Устойчивость определяется свободной составляющей переходного процесса
●Условие асимптотической устойчивости:
lim yс t =0
t ∞
Условия устойчивости
● Уравнение свободного движения системы:
D p y t =C |
0 |
d n y t |
C |
1 |
d n−1 y t |
C |
n |
y t =0 |
|
dtn |
dtn−1 |
||||||||
|
|
|
|
● Характеристические уравнения:
D раз p =0 |
Dзамк p =D раз p E раз p =0 |
● Решение уравнения свободного движения:
y t =yс t =A1 e p1 t A2 e p2 t An e pn t
Теоремы устойчивости для линеаризованных систем
● Система «устойчива в малом», если
Re pi 0, |
i=1,2 , ,n |
●Система неустойчива, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть
●Если имеется нулевой или чисто мнимые корни, система находится на границе устойчивости (апериодической или колебательной)
●Если линейная система «устойчива в малом», то она также «устойчива в большом». Для нелинейных систем это не выполняется.
Критерии устойчивости
●Преимущества:
–отсутствие необходимости в явном вычислении корней характеристического уравнения
–возможность определения влияния параметров и структуры системы на ее устойчивость
●Необходимым условием устойчивости САУ является положительность коэффициентов ее характеристического уравнения
Критерии устойчивости
●Алгебраические (аналитические) критерии: критерий Гурвица
●Частотные (графические) критерии: Михайлова, Найквиста, логарифмический критерий устойчивости
–Наглядность, обусловленная тем, что задача сводится к изучению плоской кривой
–Возможность экспериментального определения частотных характеристик всей САУ или ее отдельных элементов (анализ устойчивости в случае неизвестного дифференциального уравнения)
Критерий Гурвица
C0 pn C1 pn−1 Cn−1 p Cn=0
●Матрица Гурвица (для n=6):
С1 |
С3 |
С5 |
0 |
0 |
0 |
С0 |
С2 |
С4 |
С6 |
0 |
0 |
0 |
С1 |
С3 |
С5 |
0 |
0 |
0 |
С0 |
С2 |
С4 |
С6 |
0 |
0 |
0 |
С1 |
С3 |
С5 |
0 |
0 |
0 |
С0 |
С2 |
С4 |
С6 |