Профилирование энерговыделения в стационарном режиме перегрузок ядерного топлива

Введение. Основной задачей нейтронно-физического расчёта ядерного реактора является определение его важнейшей характеристики – содержания топлива в ТВС, загружаемых в активную зону для его работы в стационарном режиме равномерно-частичных перегрузок. Количество топлива в ТВС должно обеспечить необходимый запас реактивности при условии выравнивания энерговыделения по радиусу активной зоны для обеспечения работы реактора на заданном уровне мощности между перегрузками.

Постановка задачи. Стационарный режим работы ядерного реактора заключается в том, что каждую перегрузку выгружается одно и то же количество выгоревших ТВС, а весь процесс работы реактора может быть представлен рядом одинаковых циклов. Очевидно, что организация такого режима возможна при наличии в активной зоне групп ТВС разного выгорания, сформированных так, что к моменту перегрузки одна из них достигает максимального выгорания, все последующие отстоят от неё на время продолжительности  одного цикла, 2 - двух циклов и, наконец, k циклов. На место выгруженного топлива загружается свежее топливо. Каждый цикл работы начинается с состояния, когда стержни компенсации выгорания введены в активную зону своими поглощающими частями, и в активную зону загружена новая «порция» свежего топлива, именуемого началом цикла (состоянием после перегрузки). В течение цикла происходит выгорание топлива, а органы СУЗ выводятся из активной зоны, обеспечивая критическое состояние реактора. Конечное состояние цикла характеризуется полностью выведенными органами СУЗ в конце цикла (состоянии перед перегрузкой) и максимальным выгоранием определённой части ТВС активной зоны. В итоге, задача расчёта стационарного режима работы реактора заключается в расчёте каждого такого повторяющегося цикла работы реактора на номинальном уровне мощности – от загрузки свежего до выгрузки отработавшего топлива, или микрокампании и в определении требуемого начального содержания топлива в ТВС для обеспечения критичности и выравнивания энерговыделения.

Моделируется реальная схема равномерно-частичных перегрузок ТВС, которая характеризуется произвольным расположением перегружаемых групп ТВС в активной зоне и заданием различной кратности их перегрузок. Расчётное моделирование этой задачи реализуется применением многократно описанных математических моделей (например, диффузионного приближения) используемых для определения физических параметров ядерных реакторов, и условно может быть разбито на несколько частей:

• выравнивание (профилирование) поля энерговыделения для заданной компоновки реактора;

• расчёт выгорания ядерного топлива в течение микрокампании;

• вывод реактора на требуемую величину критичности в начале цикла с расчётом т. н. «подпиточных» обогащений топлива для её обеспечения.

Профилирование энерговыделения. Задача оптимального выравнивания поля энерговыделения состоит в определении соотношения между содержанием топлива в ТВС различных зон реактора по радиусу активной зоны, так чтобы максимальные значения энерговыделения в ТВС этих зон в течение микрокампании были бы одинаковы. Распределение поля энерговыделения Q по объёму реактора рассчитывается по формуле:

Q=A, g= (1)

где: A = С*PW(кВт)/Q(r)dV

А - нормировочный множитель, определяемый на основе заданного (номинального) уровня мощности РW (квт);

- макроскопическое сечение деления g-й группы нейтронов в рассматриваемой физической зоне;

- то же, радиационного захвата;

С - количество делений ядер топлива на 1 кВт мощности. (откуда берется коэффициекнт 0.035)

Рассчитываемый поток нейтронов (r) в каждом расчётном слое ТВС является среднеобъёмным. Поэтому средняя величина энерговыделения в ""-слое равна:

=, (3)

где - объем-го слоя, и также является среднеобъёмной для всех узлов трёхмерной расчётной сетки.

Выравнивание поля энерговыделения, согласно требованиям постановки задачи, здесь осуществляется по так называемому «среднема-ксимальному» энерговыделению, полученному на основе максимальных энерговыделений по рассматриваемым зонам реактора. Обозначая эту величину , получаем:

=(4)

где:

^max - максимальное энерговыделение в i-й зоне реактора;

- объёмi-й зоны реактора;

-суммарный объём зон реактора, в которых осуществляется профилирование.

Для решения задачи выравнивания энерговыделения введём нижеследующие определения.

Определение 1. Расчётный профиль энерговыделения в- й зоне реактора рассчитывается в виде отношения максимального значения энерговыделения в ней к определённому выше «среднемаксимальному» по формуле:

(5)

Определение 2. Относительный уровень отклонения расчётного профиля энерговыделения от заданного определяется отношением:

(6)

где - заданный профиль энерговыделения (обозначеноnv=«necessary value»).

Топливная композиция каждой из делящихся зон реактора представляет собой гомогенизированные по объему подзоны (вплоть до наличия одной ТВС в ней) концентрации свежего топлива по формуле:

= (7)

где: - начальный изотопный состав топливной композиции в подзоне;

- обогащение свежего топлива;

- объёмная доля свежего топлива.

Из формулы (7) следует, что получение гомогенизированного состава, а, значит, и воздействие на профиль энерговыделения можно осуществлять двумя способами: изменением обогащения при фиксированной объёмной доле топлива, или изменением его объёмной доли при фиксированном обогащении.

Во втором случае, когда объёмная доля топлива в подзоне состоит из двух частей - делящегося материала и разбавителя:

= (8)

где объёмная доля свежего топлива (обозначено"", т. е. «fresh fuel»); а- объёмная доля разбавителя (обозначено"", т. е. «dissolver»), воздействие на профиль энерговыделения может производиться изменением количества делящегося материала в топливе, т. е. его объёмной доли в нём при сохранении заданной суммарной объёмной доли топлива в подзоне.

Тогда расчёт гомогенизированных концентраций свежего топлива при заданной величине полной объёмной доли топлива в подзоне производится по формулам:

= (9)

и, для сохранения баланса тяжёлых ядер,

=(-) (10)

где: - изотопный состав свежего топлива;

- изотопный состав разбавителя.

В итоге получаем следующие рабочие формулы для пересчёта концентраций топливной смеси:

=·· (11)

=··(1- (12)

для случая фиксированной величины объёмной доли топлива .

Расчётный профиль энерговыделения , согласно постановке задачи, должен удовлетворять требованию:

(13)

где заданная точность отклонения расчётного профиля энерговыделения вй подзоне реактора от заданного профиля (точность профилирования). Этот результат может быть получен направленным подбором соотношения объёмных долей топливных изотопов (,) в подзонах профилирования на основе применения теории возмущений к решению задачи профилирования.

В результате, необходимые формулы для пересчёта объёмных долей топливных материалов получаются, исходя из пропорциональности величин DиDизменениюD, и, в свою очередь,, т. е. в итоге, изменение максимального энерговыделения пропорционально приращению объёмной доли делящегося материала:

=(14)

(15)

Аналогично, для расчета профилирования прямым изменением обогащения топлива формула модифицируется к следующему виду:

, (16)

при этом величина А^m сохраняет свое прежнее значение (m = № приближения).

В итоге, в обоих случаях пересчёт гомогенизированных концентраций для профилирования энерговыделения топлива производится по формуле (9).

Величина А^m в обоих случаях определяется по формуле теории возмущений, исходя из требования равенства . Исходя из этого условия, она равна:

(17)

где величина «» является своего рода коэффициентом чувствительности величинык изменению количества делящегося материала в реакторе.

Величина «» является полуэмпирической и, в качестве коэффициента чувствительности, зависит от спектра реактора. Для реактора с заданными свойствами она постоянна и корректируется на основе опыта расчётов. Поиск заданного расчётного профиля энерговыделения с выводом на заданную величину Кэфф заканчивается при одновременном выполнении условия (13) и нижеследующего условия:

£ (18)

где - требуемая точность расчёта Кэфф на конец цикла.

Описанный выше и реализованный в виде ряда программных модулей алгоритм обеспечивает расчет подпиточного обогащения топлива для разных зон реактора при его постоянной объемной доле и выравненном в пределах каждой зоны энерговыделении. Применение схемы профилирования с расчётом разных объемных долей топлива при его одинаковом обогащении во всех зонах реактора, потребует других подходов к реализации полученных результатов, что, в частности может быть обеспечено применением в ТВС разных диаметров твэл.

Для проведения расчёта реальных схем перегрузок ТВС используется двухуровневая структура расчётной модели, имеющей внешний (описание реальной схемы перегрузок) и внутренний (исходное описание реактора) уровни.

В процессе моделирования работы реактора специальные модули, включённые в интегрированную программную систему, производят автоматическую настройку параметров исходной расчётной модели (РМ) под требования сменяющих друг друга математических моделей. Автоматическая модификация и смена расчётных моделей в ней придает непрерывной расчётной схеме математического моделирования важное для проведения расчётов свойство нераспространения ошибок исполнителя.

Для тестирования алгоритма был выполнен расчет обогащения топливных сборок, загружаемых в активную зону реактора БН - 600, который работает в стационарном режиме перегрузок. В качестве исходного обогащения топлива был задан одинаковый по всей активной зоне изотопный состав топливных сборок, соответствующий случаю невыравненного энерговыделения.

Результаты расчёта величин обогащений топлива ТВС (обогащения по урану – 235), загружаемых в зоны малого (ЗМО), среднего (ЗСО) и большого (ЗБО) обогащений в сравнении с их проектными величинами для реактора БН – 600, работающего в установившемся режиме перегрузок, приведены в таблице.

Таблица.

Содержание урана-235 в ТВС.

Тип зоны БН-600	Проект	Расчёт
ЗМО	17%	16.29%
ЗСО	21%	19.73%
ЗБО	26%	25.63%

Результаты тестовых расчётов показывают удовлетворительное согласие с ранее выполненными расчётами проектных характеристик реактора БН-600. Незначительное расхождение рассчитанных в настоящей работе обогащений топлива БН-600 с проектными (проектные характеристики, как известно, рассчитывались по более ранним версиям библиотеки ядерных данных БНАБ) обусловлено тем, что расчёт проводился для симметризованной компоновки активной зоны в отличие от реальной. Симметризация достигалась тем, что вместо двух поглощающих стержней АР устанавливались две ТВС, что и привело к некоторому уменьшению обогащения топлива.

Отметим, что расчёт ядерно-физических макроконстант для решения диффузионного уравнения и блокированных микроконстант для расчёта выгорания топлива проводился с использованием системы констант БНАБ-93 [8].

Учёт гетерогенности в расчётах реактора

Введение. Основным фактором, увеличивающим сложность расчёта параметров ядерного реактора, является неоднородность активной зоны, вызванная наличием в ней материалов с различными физическими свойствами, а также способом их расстановки. В этом аспекте лишь регулярное нарушение однородности (гомогенности), т.е. равномерная расстановка топливных блоков, позволяет использовать известные теоретические подходы и методы решения к расчёту таких усложнённых систем, т. е., в общем случае, гетерогенных ядерных реакторов. А в практике нейтронно-физических расчётов требование учёта гетерогенных эффектов является, за исключением гомогенных реакторов, повседневным. Гетерогенная теория рассматривает реакторы с однородным замедлителем, в котором, в общем случае, произвольно, но с осями, параллельными друг другу, расположены блоки с топливом и стержни СУЗ.

Условно гетерогенные эффекты, проявляющиеся в ядерном реакторе, можно разделить на несколько уровней. По отношению ко всем реакторам с вертикальным размещением топливных твэлов в ТВС гетерогенные эффекты можно определить как макрогетерогенность, оцениваемую величиной коэффициентов диффузии в продольном (т. е. вверх по течению теплоносителя) и в поперечномнаправлениях (т. е. в плоскости активной зоны). Эти коэффициенты вычисляются как некоторые средние величины, взвешенные с соответствующими весовыми функциями, рассчитанными для обычных гомогенизированных систем.

Гетерогенная теория требует размещения блоков в решётке не ближе 2-3 длин свободного пробега нейтронов в однородном замедлителе, чтобы свойства отдельного блока не зависели от свойств и расположения других блоков. Поэтому основное требование гетерогенной теории состоит в выполнении неравенства, где- расстояние между блоками,l – длина свободного пробега нейтронов в замедлителе. Тогда его свойства могут быть определены на основе более точных недиффузионных расчётов, а взаимодействие блоков определяется некоторыми функциями влияния, зависящими лишь от свойств замедлителя и имеющими асимптотический, т.е. диффузионный вид. Этот подход определяет уровень т. н. регулярной (или основной) гетерогенности.

Наконец, самый усложнённый уровень размещения топлива имеет место в активной зоне высокотемпературных газоохлаждаемых реакторов HTGR с шаровыми твэлами, куда они засыпаются. Он определяет уровень двойной гетерогенности, в котором регулярность сохраняется лишь на уровне шарового твэла.

Расчёт характеристик отдельного топливного блока. Недиффузионный расчёт основывается на использовании интегрального уравнения переноса нейтронов и различных его модификаций в качестве точных уравнений для получения требуемого решения. Рассмотрим эту задачу в односкоростном приближении и для поиска решения воспользуемся интегральным уравнением переноса нейтронов:

(1),

в котором обозначены:

• - интегральный по всем углам поток нейтронов, вычисляемый с учётом углового распределения ;

• - ядро интегрального уравнения;

• - оптический путь вдоль луча ;

• - изотропный источник;

• - полное макроскопическое сечение.

Рассмотрим многозонный цилиндрический топливный блок в бесконечной по высоте цилиндрической ячейке реактора с конечным радиусом R, вне которого находится бесконечный замедлитель с нулевым сечением поглощения и с тем же полным сечением, что и у замедлителя во внешней зоне ячейки. Его наличие с =0 обеспечивает возврат нейтронов в ячейку с изотропным угловым распределением. Разобъём ячейку по ради-усу R на N тонких слоёв (внешний слой - (N+1)-й) так, чтобы в каждом слое поток можно было заменить его средним значением. В уравнении (1) произведём замену ранее определённого потокана плотность эмиссии нейтронов

(2).

В итоге уравнение (1) сводится к следующему виду:

, (3)

интеграл в уравнении (3) разбивается на сумму интегралов по кольцевым слоям объёма , сечения в которых приняты постоянными. Интегрируя (3) также по кольцевым слоям объёма-го слоя, получаем в итоге уравнение:

, (i = 1, N+1), (4)

где величина представляет собой вероятность для нейтронов, рождённых от однородных и изотропных источников вj -м слое испытать своё первое столкновение в i-м слое (метод ВПС). Она вычисляется по формуле:

. (5)

Среднеобъёмная плотность эмиссии нейтронов определяется по аналогичной формуле для потока нейтронов. При этом имеют место следующие нормировки:

1. полная вероятность испытать столкновение во всём объёме равна: ; (6);

2) соотношение баланса ; (7);

3) из симметрии ядра следует соотношение симметрии (взаимности) для вероятности:

. (8)

Для внешнего слоя ячейки i = N+1 с учётом нормировок (7) и (8) можно исключить величину из системы уравнений (4):, (9)

что даёт возможность вычислять вероятностилишь для>j.

Сами вероятности равны (10)

и характеризуют вероятности первых столкновений внутри ячейки с учётом эффекта возврата нейтронов из наружного слоя замедлителя (рассеивателя). При этом придавая параметру θ значения в интервале от 0 до 1, можно задавать величины альбедо внешнего слоя, в частности, θ = 0 соответствует границе с вакуумом.

Вычисление вероятностей для топливного блока основано на применении метода вероятностей первого столкновения (ВПС). В этих расчётах основным является вычисление оптических путей пролёта нейтронов до столкновения, т. е. учёт реальной геометрии блока. С учётом этого определения вероятность первых столкновений для этого типа ячейки имеет вид:

, (11)

а коэффициенты С _i,j определяются по формуле:

, (12),

Поиск решения для цилиндрической геометрии осуществляется применением функций Бикли, которые определяются формулой:

. (13)

Для цилиндрически–симметричных областей ячейки интегралы C_ik не зависят от азимутального угла φ, поэтому получаем:

. (14)

В формулах (12, 14) величина τ определяет оптический путь нейтрона в поперечной плоскости, т.е. в плане от оси «0х», перпендикулярной оси «0у», до его пересечения с окружностью радиусом ρ_к.

Эффективное граничное условие. Полученное для неограниченной среды замедлителя с одиночным топливным блоком точное решение является регулярным и включает в себя переходную функцию, затухающую на расстояниях от блока порядка длины пробега нейтронов, и асимптотическую функцию, удовлетворяющую уравнению диффузионного типа. Решение последнего определено, если задано граничное условие на поверхности блока:

, (15)

в котором - асимптотическая функция, равная

, (16)

где u₀ - характеристика блока, однозначно связанная с и Г и необходимая для получения экстраполированной длины к поверхности однозонных (с одним материалом) чёрных и серых блоков:

. (17)

Коэффициент А (полная амплитуда регулярного решения) фиксирован и может быть найден из требования наименьшего отклонения от точного решения в асимптотической области замедлителя.

«Чёрные» поглощающие блоки дают наиболее жёсткий тест для проверки расчётных методов. Для однозонного чёрного блока размером (ρ - радиус блока) при(параметр учёта поглощающих свойств замедлителя) в работе А. Кавеноки для уточнения величины Г предложена аппроксимационная формула для случая с=1:

. (18)

Решётки твэлов. Дальнейшие расчёты по учёту гетерогенных эффектов опираются уже на результаты применения теории решёток, которая оперирует с бесконечной решёткой, не связанной с утечкой из реактора, или с ячейкой, как элементом её периодичности. Рассмотрим простые и сложные решётки. В простой решётке ячейка состоит из одного твэла (обычно цилиндрической формы) с окружающим его теплоносителем и замедлителем. Ячейка сложной решётки состоит из технологического канала, включающего в себя сборку твэлов (ТВС) или набор стержней СУЗ, трубу, рассчитанную на полное давление теплоносителя, и окружающего канал замедлителя. По этой причине сложные решётки называют также канальными (для РБМК). Простые решётки, в свою очередь, делятся на разреженные (например, тяжеловодные) и тесные (для ВВЭР). Сложная решётка содержит элементы разреженной, образованной технологическими каналами, и тесной, образованной твэлами внутри решётки. Так как в бесконечной решётке все ячейки находятся в одинаковых условиях, то для получения решения можно рассмотреть только одну ячейку, а влияние соседних учесть условием симметрии или зеркального отражения на границе ячейки.

Разреженная решётка. Методы расчёта решёток топливных блоков основываются на применении метода ВПС с его модификациями. Рассмотренная выше задача относится к разреженным решёткам, в ячейках которых размещены одиночные топливные блоки. Условие разреженности решетки может быть записано в виде , где- средний путь нейтрона в замедлителе, а величинаопределяет длину свободного пробега до рассеяния в той же среде (Мне кажется более физичным соотношение ). В случае сферически симметричного рассеяния и изотропности источников вероятность для нейтрона, родившегося или рассеявшегося в точке r объёма , попасть в телесный уголи пройти в нём путьдо поверхностибез столкновений равна. Интегрируя по всем направлениями по всему объёму, получаем вероятность вылета нейтрона без столкновения:

. (19)

Переходя к интегрированию по элементарному объёму с длинойи поперечным сечением, получаем более удобное выражение для вычисления вероятности:

, (20)

которое после интегрирования по вдоль направленияпринимает окончательный вид:

. (21)

Для простых геометрий этот интеграл может быть получен аналитически. Так, для бесконечной пластины он равен:

_, (22)

и, соответственно, цилиндра:

(23)

где - толщина для пластины или радиус для цилиндра,- интегральная показательная функция,,,,- функции Бесселя для цилиндрической геометрии.

Гетерогенные эффекты самым непосредственным способом проявляют себя также и в области резонансного поглощения нейтронов, так как наличие недиффузионных областей в материалах ячеек приводит к серьёзным смещениям в них спектральных характеристик. Учёт таких смещений в теории резонансного поглощения производится с помощью вероятностей первых столкновений, которые входят в подынтегральные выражения и принимают весьма сложный вид без применения приближённых формул. При этом, как всегда, следует учитывать, что простота аппроксимационных формул достигается либо за счёт снижения точности, либо за счёт ограничения области их применения. Исторически простейшее аппроксимационное выражение для вероятности столкновения было предложено Вигнером и имеет вид:

(24)

В его честь оно было названо рациональным приближением Вигнера. Поскольку для чёрного тела , это приближение даёт правильный предельный переход, поэтому им можно пользоваться уже при.

Дж. Бэлл ввёл дополнительный свободный параметр «а» для уточнения зависимости вероятности столкновения от оптической толщины, или:. (25)

Параметр Бэлла «а» зависит от оптической толщины и геометрической формы тела и позволяет путём подбора его величины корректировать результаты, существенно уменьшая погрешность без усложнения формулы. Так как большая часть нейтронов поглощается при энергии , близкой к максимуму резонанса, где блок «чёрный»(а вот это не верно, так как есть понятие область действия резонанса, иначе нельзя объяснить почему при уширении резонанса резонансный интеграл растет), то можно использовать рациональное приближение Вигнера, т. е. считать а = 1. Однако из сравнения с точными расчётами получено, что существенное уменьшение погрешности будет при величине а = 1.16, а именно: . Практическая формула имеет вид: .. (26)

Тогда для цилиндрического блока значениями обеспечиваются правильные предельные переходы прии прис погрешностью менее 4%.

Тесная решётка. В тесных решётках должно выполняться условие , так как в них твэлы расположены настолько близко друг к другу, что нейтрон, вылетевший из топлива, с довольно большой вероятностью может испытать первое соударение в смежных топливных блоках. Поэтому в них необходимо учитывать нейтроны соседних ячеек, которые пролетели замедлитель, не испытав в нём столкновений. Условие зеркального отражения на границе ячейки позволяет перейти от рассмотрения всей решётки в целом к одной ячейке, для которой метод ВПС даёт систему алгебраических уравнений. В этом случае надо вероятность, для которой не учитывались нейтроны первого столкновения в зоне «» после отражения от границы, заменить на вероятностьдля нейтронов, родившихся в зоне «» от однородных и изотропных источников, испытать столкновение в зоне «» этой же ячейки после любого (включая и нулевое) числа зеркальных отражений от её границ. Тогда система алгебраических уравнений метода ВПС примет вид:

, (27)

на её основе эта вероятность получается равной:

, (28)

где - поверхность ячеек,,- объёмы.

Для реальной 2-зонной ячейки (V=V₀, S=S₀) введём коэффициент С – вероятность нейтрону, вылетевшему изотропно с поверхности блока, испытать 1-е столкновение в замедлителе, не пересекая на своём пути S₀. В этом случае входящие в вероятность составные её части можно представить по-другому:

, (29)

(30)

и на основе соотношения взаимности получить вероятность

. (31) Подставляя полученный результат в выражение для вероятностии преобразуя его, имеем выражение, полученное Нордгеймом:

, (32)

из которого для одиночного блока в бесконечном замедлителе, т. е. в разреженной решётке следует С=1 и . Во всех других случаях. Используя далее для расчётаприближение Бэлла, можно получить в рациональной форме и:

, (33)

где величина определяет т. н. коэффициент «затенения» в тесной решётке. Если параметр Бэлла а=1, то. Величина С в нём есть поправка Данкова-Гинзбурга, введенная для учёта резонансного поглощения нейтронов в тесных решётках твэлов. Для её вычисления есть ряд приближённых формул, из которых для решёток цилиндрических блоков используется формула Зауэра, полученные по ней результаты неплохо согласуются с методом Монте-Карло.

Точный расчёт вероятностей в сложных решётках связан с громоздкими вычислениями, так как ячейки в канале находятся не в одинаковых условиях, и рядом стоящие твэлы «затеняют» соседние блоки. Возможным подходом является разделение сложной решётки на более простые регулярные части для т. н. потвэльного расчёта каждого твэла в своей ячейке с последующей суперпозицией результатов расчёта. Далее для проведения расчётов выбираются аппроксимации, дающие наиболее близкие к точным физические результаты, получившие необходимое обоснование как в расчётах методом Монте-Карло, так и в соответствующих экспериментах.

Учёт макрогетерогенности в расчётах реактора

Крупномасштабной и поэтому наиболее очевидной гетерогенностью ядерного реактора является размещение в нём топливных блоков, объединённых, к тому же, в ТВС и размещённых параллельно друг другу по направлению течения теплоносителя. Точно такое же размещение повторяют и стержни СУЗ, подчиняясь жёстким требованиям регулярности решётки твэлов в поперечном сечении активной зоны. В результате этого диффузия нейтронов в продольном и поперечном направлениях активной зоны становится различной, так как нейтроны, летящие вдоль твэлов, имеют значительно больший пробег до рассеяния или поглощения, чем в поперечном сечении. Очевидно, что задача расчёта такой решётки в диффузионном приближении требует более точного определения коэффициентов диффузии с выделением их высотной и поперечной долей. Решение этой задачи было сделано Г.Я.Румянцевым (ГНЦ РФ ФЭИ), который предложил методику, допускающую применение любых численных методов решения уравнения переноса нейтронов и их приближений и заключающуюся в коррекции коэффициентов диффузии в 2D и 3D–геометриях.

Введение эффективного коэффициента диффузии. Рассмотрим следующую модельную задачу – одногрупповое недиффузионное приближение в периодической плоско - параллельной решётке. Обычный способ учёта утечки нейтронов по высоте реактора заключается в коррекции сечения увода, равного для одномерного уравнения, например, в Р₁–приближении. Однако, при учёте в каждом слое коэффициента диффузии по формуле не учитывается эффект уменьшения поглощения и перемешивания нейтронов при движении их вдоль слоёв (или твэлов). И наоборот, если, эффект слишком преувеличивается.

Так как в (х,у)–геометрии для плоского случая бесконечной по высоте решётки изменение свойств среды зависит лишь от переменной «х», предположим, что распределение нейтронов в такой решётке зависит от координат (х, у) следующим образом:

(1)

где ичётные функции относительно. Тогда для интегрального потокаи тока нейтроноввдоль слоёв по оси «у» имеем:

, (2)

где в результате разделения переменных определены интегральный поток нейтронов (3)

и ток нейтронов (4)

по оси «у». Сопоставив это выражение с производной от потока нейтронов по «у», получаем эффективный коэффициент диффузии для направления вдоль оси «у» как функцию от «х», равный

. (5)

Для существования решения, определяемого выражением (2), необходимо также предположить, что изотропный источник в правой части уравнения диффузии тоже получен в приближении разделения переменных:

. (6)

Будем считать, что функция С(у) удовлетворяет уравнению для этой составляющей (7)

т. к. для потока было применено приближение разделения переменных (2). Подставляя (1) в уравнение Больцмана, получаем, что оно распадается на следующие два уравнения:

, (8)

. (9)

После интегрирования уравнения (8) по угловой переменной получаем, что в результате оно будет эквивалентно балансному соотношению:

(10)

где, согласно (4), сечение , (11)

а коэффициент . (12)

Предполагая, что все , а, т. к. система большая по высоте, и вычисливF₂ для , а также считая зависимость её свойств по оси «х» слабой, можно решить систему двух уравнений:

(13)

(14)

с граничными условиями для слоя толщиной :

и . (15)

В случае и изотропного равномерного распределения источникамы имеем:,, т. е.и, в итоге, приходим к исходному определению. Однако, и в том случае, когда среда неоднородна, ввиду малой толщины её слоёв (т. е. ввиду малости диаметра твэла),, мы получаем из проинтегрированного по ячейке второго уравнения системы уравнений (13, 14), что, а, причёмбудет изменяться не только от слоя к слою, но и внутри слоёв с.

Применение условного разделения переменных в Р₁-приближении для 2D-реактора конечной высоты в (r,z) – геометрии позволяет несложным путём определить коэффициент диффузии D_x и решить задачу с макроанизотропией в гетерогенном реакторе. Предложенная методика может быть распространена на 3D – геометрию.

Погрешности нейтронно-физического расчёта

Постановка задачи. Известно, что в общем случае погрешности характеризуют достигнутый уровень знаний в той области, для которой они получены. Исследование погрешностей является необходимым и даже закономерным процессом продвижения к истине, способствующим повышению уровня знаний. Основой этого процесса в области расчёта ядерных реакторов является понимание структуры исследуемой погрешности ПС с последующим сравнением достигнутой и требуемой точностей расчёта нейтронно-физических параметров. Рекомендованный Ростехнадзором подход к верификации ПС по направлению «нейтронная физика» определяет эту проблему следующим образом:

«В качестве меры погрешности расчета используются отклонения рассчитываемого параметра от измеренной величины, совокупности измеренных величин, которые подвергаются первичной обработке, от величины, рассчитанной с помощью другого (аттестованного) ПС».

И далее, на примере применения статистических методов обработки: «Значение погрешности может являться результатом обработки отклонений рассчитанных величин от сравниваемых в соответствии с определенными алгоритмами (например, алгоритмами математической статистики и т.п.) и может характеризоваться принятыми при этом параметрами (например, среднеквадратичным отклонением, доверительной вероятностью, доверительным интервалом и т.д). При определении погрешности следует учитывать погрешность величины, с которой производится сравнение. В этом определении принимается, что для оценки качества ПС рекомендуется оценивать методическую и константную компоненты погрешности. Эти компоненты погрешности могут оцениваться как совместно, так и по отдельности. Оценка методической и константной компонент погрешности может быть выполнена путём сравнения результатов расчетов с соответствующими результатами, полученными по реперным ПС.

В настоящее время, применительно к этой проблеме, можно считать, определились два уровня определения расчётных величин нейтронно-фи-зических характеристик реактора:

• Инженерный уровень расчёта и проектирования ядерного реактора, в котором используются средние величины ядерно-энергети-ческих констант и наиболее простые методы решения уравнения переноса нейтронов (в частности, диффузионное приближение).

• Прецизионный уровень расчёта нейтронно-физических характеристик, прежде всего необходимый для обеспечения ядерной бе-зопасности и, главное, для безопасного управления ядерным реактором.

На каждом из этих уровней расчётная погрешность нейтронно-физических характеристик имеет две составляющие, соответствующие двум основным составляющим расчёта: подготовке констант и применению метода решения, и зависит также от величины неопределённостей, существующих в исходных данных расчётной модели реактора. В состав каждой неопределённости входят неизбежные при изготовлении твэлов, чехлов ТВС, другого оборудования и т. п. технологические погрешности (величины допусков и посадок и пр.), неполное знание о которых не даёт права исключать их из рассмотрения и требует в ряде случаев введения необходимых коэффициентов запаса.

Константная погрешность есть неточность используемых в расчётах ядерно-физических констант (ЯФК), которая состоит из экспериментальной погрешности измерений ЯФК и расчётной погрешности обработки результатов измерений при подготовке файлов оцененных данных. Структура экспериментальной части константной погрешности и алгоритм получения оцененных данных изложены в работе Л.Н.Усачёва «О едином определении погрешности ядерных данных». Это статистическая погрешность, зависящая от количества измерений для одной точки, погрешность стандарта измерения и некоторая, неизвестная самому экспериментатору, систематическая погрешность, приводящая к сдвигу (смещению) измеряемой величины. Последняя характеризует уже не точку, а всю измеряемую кривую в целом.

Информация о погрешностях, проистекающих от статистических погрешностей каждой экспериментальной работы, сводится в соответствующие ковариационные матрицы. Ковариационная матрица является матрицей коэффициентов корреляции между погрешностями и содержит в себе квадраты погрешностей параметров (диагональные члены) и ковариации погрешностей параметров (недиагональные члены). Ковариационная матрица предназначена для оценки точности расчётных предсказаний нейтронно-физических характеристик реакторов (в т.ч. реакторов на быстрых нейтронах). Она также используется для корректировки групповых констант по данным макроскопических и интегральных экспериментов. Дальнейшая обработка констант заключается в параметризации методом наименьших квадратов экспериментальных кривых отдельных работ, или группы работ (т. е. экспериментов), выполненных одной методикой. Для её осуществления определяется функция , параметры которой определены из условия наилучшего в смысле метода наименьших квадратов описания совокупности экспериментальных точек, и производится подготовка функционалаот этой функции. Алгоритм получения дисперсий, т. е. квадратов погрешностей функционалов от параметризованных кривых, заключается в нахождениикоэффициентов чувствительности функционала к изменению параметров, т. е. частных производных по параметрам , совокупность которых составляет вектор. Дисперсия этого функционала, т. е. квадрат определяемой погрешности, выражается общей формулой:

.

Таким образом, этот алгоритм из подробной информации о погрешности, содержащейся в библиотеке ковариационных матриц погрешностей, выделяет искомую величину погрешности на уровне микро-данных. В итоге, для получения среднего значения функционала и его дисперсии может быть применен метод наименьших квадратов. К полученной погрешности добавляется также расчётная погрешность усреднения ЯФК при получении многогрупповых констант инженерного уровня путём их свёртки в заданное число энергетических групп с применением необходимых алгоритмов их обработки, имеющих свою, уже методическую погрешность. Поэтому к получению величины этой погрешности применимы обычные алгебраические оценки погрешностей используемых алгоритмов.

В итоге единое определение погрешности ядерных данных обеспечивает заданную точность подготовки микро- и, в итоге, макроконстант для расчёта нейтронно-физических характеристик реактора. В качестве примера ниже приводятся оцененные константные составляющие расчетных погрешностей модели реактора БН-600 с активной зоной 01М2 и БН-800.

Корректировка на результаты реакторно-физических экспериментов понижает константную составляющую погрешности уровня микро-данных (а система констант БНАБ-93 была получена прямой переработкой файлов оцененных данных ФОНД-2.2 без использования ковариационных матриц погрешностей), что подтверждают приведенные в таблице результаты расчётов.

Таблица. Оцененные константные составляющие расчетных погрешностей для реакторов БН-600 и БН-800.

Модель реактора	НФХ	без учета макроэкспер. (уровень микроданных)	с учетом макроэкспериментов.
БН-600	Кефф	1.5%	0.3%
	АЗ	5%	4%
	КС-1	4%	3%
	КС-2	7%	3.5%
	НПЭР	0.3% Δk/k	0.2%Δk/k
	Выгорание	0.2% Δk/k	0.1%Δk/k
	Допплер	11%	10%
БН-800	Кефф	1.9%	0.5%
	АЗ	5%	4%
	КС	4%	3%
	НПЭР	0.3% Δk/k	0.2% Δk/k
	Выгорание	0.2% Δk/k	0.15% Δk/k
	Допплер	11%	10%

Методическая погрешность в общем случае является погрешностью применяемых методов расчёта и их приближений для решения уравнения переноса нейтронов. В этом аспекте она является многоуровневой и, в том числе, зависит от величины константной погрешности. Верхним уровнем этой погрешности в расчётном определении физических параметров реактора следует считать разницу между точным и приближённым решениями, как абсолютную, так и относительную. К нижнему уровню методической погрешности следует отнести итоговую погрешность заложенного в программу алгоритма расчёта нейтронно-физических характеристик ядерного реактора, которая определяется как результирующая совокупность абсолютных и относительных погрешностей всех операций вплоть до арифметических вычислений. Рекомендации Ростехнадзора, далее, определяют два основных уровня определения этой погрешности при использовании метода решения, а именно:

а) методическую компоненту погрешности, связанную с применяемым приближением метода решения уравнения переноса, рекомендуется по возможности определять, используя само верифицируемое ПС, т.е. повышая порядок приближения с использованием согласованного константного обеспечения в приближении более высокого порядка;

б) методическую компоненту погрешности, связанную с численной реализацией решения уравнения переноса, рекомендуется определять, используя само верифицируемое ПС (например, путём увеличения числа пространственных точек, энергетических групп).

В этом аспекте достаточно обоснованными следует считать результаты расчёта лишь тех программных алгоритмов, по которым они получены с указанием расчётной величины их погрешности, например:

К_эфф = 1.0±ε, где ε – есть расчётная погрешность.

Качественное влияние погрешностей численных методов расчёта реакторов на результаты их применения наглядно видно на примере зависимости кривых расчёта К_эфф для случая применения схем с разрывом функции, попадающим на границу или середину интервала расчётной сетки.

Анализу погрешностей подлежат получаемые в расчёте параметры реактора:

• величина критичности (параметр k_эфф);

• эффективность органов СУЗ (КС и АЗ);

• эффективная доля запаздывающих нейтронов _эфф и её составляющие;

• изменения реактивности за микрокампанию реактора;

• распределение энерговыделения и др.

Для быстрых реакторов добавляется также анализ следующих погрешностей:

• натриевый пустотный эффект реактивности (НПЭР);

• доплеровский температурный эффект реактивности (ДТЭР).

Общий подход к обеспечению точности расчёта нейтронно-физиче-ских характеристик ядерного реактора заключается в виде допустимых погрешностей, величины которых имеют расчётно-экспериментальное обоснование. Так, для реактора на быстрых нейтронах они равны:

1. расчёт К_эфф и критической массы – погрешность расчёта 1%, (0.5%), исходя из возможности без переделки конструкции реактора скомпенсировать соответствующую ошибку (погрешность изготовления твэлов приводит к этой погрешности). Таким образом, допускается общая погрешность за счёт технологии и ядерных данных, равная;

2. теплофизические расчёты предельной мощности реактора (из экономических соображений) – требуется точность 1%;

3. расчёт МКР и ТКР для безопасной эксплуатации реактора 20%;

4. активность Na, облучённой стали - 20%;

5. нейтронная активность младших актинидов (кюрия 242 и кюрия-244) - 20%;

6. нейтронная активность плутония-236 и плутония-238 - 20% и др.

Требования к точности расчёта параметров должны полностью соответствовать ПБЯ – Правилам ядерной безопасности, список параметров может быть расширен в конкретном случае.

В качестве примера можно привести результаты анализа погреш-ностей, выполненные по результатам расчёта параметров реактора БН-600 с урановой активной зоной и невоспроизводящим стальным экраном. Расчёт был выполнен с помощью программного комплекса TRIGEX, использующего усовершенствованный диффузионный алгоритм и численную схему расчёта. Следует отметить, что поскольку в рассмотренном примере погрешности определялись для конкретного установившегося режима перегрузок конкретного реактора, в котором существует возможностьучитывать систематическое расхождение расчетных и измеренных величин, для снижения погрешности расчета были введены соответствующие поправки, которые определялись на основесравнения с данными эксплуатации топливных загрузок реактора, штатными измерениями эффективности рабочих органов СУЗ на минимальном контролируемом уровне мощности (МКУ), а также расчетами по другим программам (ГЕФЕСТ, JARFR - также реализующим многогрупповое диффузионное приближение, MMKKENO - реализующей метод Монте-Карло), в том числе расчетами специально разработанной нейтронно-физической модели реактора БН‑600, и сравнении с другими экспериментальными данными. В общем случае, когда учет систематической составляющей погрешности расчета невозможен, величины погрешностей расчета как правило выше.

С учетом вышеизложенного можно резюмировать, что в этом случае обеспечивается следующий уровень расчетных погрешностей:

• Параметр критичности k_eff:

• в начале кампании: ±0.6% при значении поправочного фактора 1.007 в режиме смешанной подготовки транспортного сечения и ±0.7% при значении поправочного фактора 1.021 в стандартном режиме подготовки транспортного сечения;

• в конце кампании: ±0.6% при значении поправочного фактора 1.005 в режиме смешанной подготовки транспортного сечения и ±0.7% при значении поправочного фактора 1.019 в стандартном режиме подготовки транспортного сечения.

• Эффективность стержней СУЗ типа КС:

7% при значении поправочного фактора 0.93.

• Эффективность стержней СУЗ типа АЗ:

8% при значении поправочного фактора 0.85.

• eff –эффективная доля запаздывающих нейтронов:

6% при значении поправочного фактора 1.

• НПЭР – натриевый пустотный эффект реактивности:

0.003 абс. ед. k/k при значении поправочного фактора 1.

• Доплеровский эффект реактивности:

10% при значении поправочного фактора 1.

• Локальное энерговыделение в пределах активной зоны:

5% при значении поправочного фактора 1.

• Энерговыделение в стальном отражателе:

25% при значении поправочного фактора 1.

Границы применимости программ. Определение границ применимости, т. е. пригодности (validation) программ для определения физических параметров ядерных реакторов основывается на результатах верификационных (тестовых) расчётов на всех этапах их выполнения с использованием необходимых контрольных задач - бенчмарков. Полученные в итоге расчётов погрешности нейтронно-физических характеристик сравниваются с их допустимыми, разрешёнными величинами и на этом основании определяется пригодность программ для дальнейшего использования в реакторных расчётах.

Определение допустимой величины методической погрешности расчёта является завершающим этапом полномасштабной верификации каждой программы, результаты которой сравниваются со значениями физических величин, полученными в эксперименте и многократно проверяются сопоставлением их с уже известными аналогами. Итогом такого полномасштабного контроля является процедура аттестации программных средств, которая разрешает их использование в проектных работах или в расчётном обеспечении эксплуатации ядерных реакторов АЭС. Свидетельством, подтверждающим этот факт и разрешающим их использование, является аттестационный паспорт, в котором перечислены все характеристики программ, условия выполнения расчётов, реальные расчётные погрешности. Все используемые на действующих АЭС нейтронно-фи-зические программы, с помощью которых осуществляется эксплуатационное сопровождение работы реакторов, снабжены ими. При оценке погрешности результатов расчетов сравнением с измеряемыми величинами рекомендуется установить соответствие рассчитанных и измеренных величин и использовать расчетное моделирование измерений. В процессе расчетного моделирования должна быть описана связь между непосредственно измеряемыми величинами и производными от них величинами, которые используются для сравнения с результатами расчёта.

При оценке погрешностей путём сравнения расчетных величин с измеряемыми необходимо устанавливать и учитывать погрешность измеряемых величин. Для их корректного определения необходимо использовать модели погрешностей измерений, систематика которых по этому вопросу приведена в международных рекомендациях и кратко выражается в следующем. Введены следующие модели измерений:

• физическая модель;

• математическая модель;

• технологическая модель;

• метрологическая модель.

Для математической модели, в частности, должны быть рассмотрены модели случайных и систематических погрешностей, а также аддитивная и мультипликативная модели погрешности. Для выработки единого во всех странах подхода к оценке и выражению погрешностей измерений и оценок неопределённости в 1992 г. было выработано «Руководство по выражению неопределённости в измерении» (ИСО), которое содержит необходимые рекомендации по этому вопросу.

Расчёт коэффициентов чувствительности

параметров ядерного реактора

Расчёт нейтронно-физических параметров реактора осуществляется на основе ядерно-физических данных, которые измеряются с некоторой экспериментальной погрешностью. Следовательно, рассчитываемые на этой основе характеристики реактора предсказываются с некоторой погрешностью в зависимости от степени влияния на эти характеристики физических свойств используемых материалов, которая, в свою очередь, зависит от их количества. В связи с этим необходимо знать чувствительности характеристик реактора к ядерным данным. Знание этих величин позволяет определять чувствительность следующих нейтронно-физических характеристик:

1. среднего числа нейтронов деления;

2. спектра деления в активной зоне реактора;

3. среднего косинуса угла упругого рассеяния;

4. начальной концентрации нуклидов и даже постоянной радиоактивного распада.

Для их получения должны быть рассчитаны коэффициенты чувствительности к следующим микросечениям: деления, упругого и неупругого рассеяния, радиационного захвата, транспортного сечения, а также к микросечениям протекания ядерно-физических реакций. Полученные величины позволяют на основе известных погрешностей констант решать следующие важные задачи:

• производить оценку расчётной погрешности нейтронно-физических характеристик реактора;

• уменьшать погрешность самих характеристик.

Последнее осуществляется согласованием (корректировкой в пределах экспериментальных погрешностей) ядерных данных с интегральными величинами, которые могут быть получены при измерениях на критических сборках и в энергетических реакторах, т.е. с результатами интегральных экспериментов. Наконец, это позволяет определить необходимую точность ядерно-физических констант для достижения требуемой погрешности расчёта нейтронно-физических характеристик реактора.

Исследование проблемы чувствительности может осуществляться на расчётной модели реактора, построенной на основе многогруппового диффузионного приближения, например, для гомогенизированного случая, с расчётом потоков и ценностей нейтронов. Чувствительность зависящих от них функционалов к изменениям ядерно-физических констант в общем случае можно представить в следующем виде:

(1)

где через частные производные обозначены следующие её составляющие:

- функциональная (явная) составляющая от исследуемого функционала, а также неявные его составляющие (- параметр управления изменением функций):

- спектральная составляющая (получаемая при решении уравнения переноса);

- нуклидная (как результат изменения изотопного состава);

- мощностная (из уравнения нормировки потока нейтронов).(не может полная производная равняться сумме частных, либо требуется пояснения)

Анализ результатов расчёта чувствительности Кeff к ядерным данным реактора показывает, что наибольший вклад в чувствительность даёт функциональная составляющая (от 70% до 90%), слабо зависящая от пространственной переменной. Но вкладом неявных составляющих также нельзя пренебрегать, так как эта величина достигает 10%. Важность такого анализа подтверждается необходимостью определения влияния величины чувствительности К_eff на расчётную величину реактивности, определяющую фактор управления ядерным реактором. Решение этой задачи в общем случае требует привлечения сложных подходов обобщенной теории возмущений.

Основным подходом, предложенным П.Н.Алексеевым (РНЦ «КИ») для её решения, является более простой и точный метод оценки коэффициентов чувствительности расчётных значений эффектов реактивности. В этом методе используются коэффициенты чувствительности величины К_eff для двух состояний реактора – исходного и возмущённого, получаемые с помощью классической теории возмущений. При этом предполагается, что отдельно для каждого состояния реактора для оценок коэффициентов чувствительности справедливо приближение теории малых возмущений к изменению технологических параметров и ядерных данных. Тогда произвольный эффект реактивности прямым расчётом определяется как разность величин, обратных К_eff, в двух состояниях:

, (2)

где иесть величинаноминального и возмущённого состояний реактора, соответственно. Предположим, далее, что в исходном реакторе произошло изменение какого-либо технологического параметра, например, концентрации нуклида. Для восстановления критичности в номинальном состоянии величину этого изменения необходимо компенсировать изменением другого технологического параметра, например, обогащением. Тогда, в рамках теории малых возмущений, получаем

, (3)

откуда следует что , где величиныиесть коэффициенты чувствительностик изменению параметрови, соответственно для номинального состояния реактора.

Для изменившегося состояния реактора рассматриваемый эффект реактивности равен:

, (4)

где и- естьневозмущённого и возмущённого изменённого реактора (например, в случае пустотного эффекта реактивности этоисходного и опустошённого от теплоносителя реактора с изменёнными технологическими параметрамии). Выразим изменениевозмущённого реактора с помощью приближения малых возмущений:

. (5)

Тогда вариация эффекта реактивности будет равна:

. (6)

В общем случае и, в итоге, изменение эффекта реактивности полностью выражается через коэффициенты чувствительности величиныи изменение величин технологических параметров, которое необходимо учесть:

. (7)

Рассчитываемый с помощью теории возмущений эффект реактивности является, в общем случае, функционалом от потока и ценности нейтронов. В рассматриваемой задаче его чувствительность может быть определена на основе общего для эффектов реактивности соотношения:

, (8)

где величина есть коэффициент чувствительности эффекта реактивности к изменению параметрапри восстановлении критичности исходного состояния реактора путём изменения параметра. Определённый таким образом коэффициент чувствительности искомого эффекта реактивности будет равен:

. (9)

Возвращаясь к расчёту коэффициентов чувствительности в результате изменения макроскопических свойств реактора, рассмотрим следующую задачу. Внесём в каждую точку реактора возмущение полного макросечения, численно равное обратной скорости нейтронов с обратным знаком, оставляя все другие макросечеения без изменений. Такое возмущение можно интерпретировать как удаление находившегося в нём некоего «идеального» поглотителя, подчиняющегося закону(буквойв этом разделе обозначена скорость). Этому возмущению соответствует некоторый эффект реактивности, численно равный величине:

, (10)

в которой - функционал теории возмущений, определяющий среднее время жизни мгновенных нейтронов в реакторе, ЦНД – ценность нейтронов деления,- поток нейтронов,- ценность нейтронов. Аналогичным образом рассматривая возмущениев точке, равное величине:

(11)

при невозмущённых остальных сечениях, получаем эффект реактивности, равный в соответствии с точной теорией возмущений эффективной доле запаздывающих нейтронов:

. (12)

Методология может быть продолжена в область дробно-били-нейных функционалов (), выражающих отношение эффектов реактивностей. В общем виде вариацию этого выражения можно записать в следующем виде:

. (13)

Воспользовавшись для расчёта вариаций эффектов реактивностей иранее полученным выражением (12), получаем, что

. (14)

Таким образом, коэффициент чувствительности по отношению к изменениюопределяется на основе соотношения:

, (15)

в котором собственно коэффициент чувствительности равен выражению:(16).

Вычисленные коэффициенты чувствительности позволяют оптимизировать не только композицию реактора, но и на этой основе корректировать все параметры управления реактором, уменьшая погрешность расчётного определения реактивностей.

Система контрольных задач

для верификации алгоритмов и программ

нейтронно-физических расчётов

Введение. Основой использования алгоритмов и программ нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов является проверка правильности и точности результатов их практического применения. Проверка осуществляется путём расчёта специальных тестовых или контрольных задач – бенчмарков (benchmarks) проверяемой программой. Бенчмарки широко используются как при работе с уже готовыми программами, так и при создании новых алгоритмов и программ. В процессе проверки работающих программ они применяются при решении следующих задач:

• верификации корректности работы программ и полученных по ним результатов;

• верификации корректности исходных данных, используемых в программах;

• объективного сравнения различных расчетных алгоритмов, заложенных в программы;

• подтверждения, что пользователь правильно работает с программой.

Для каждого типа решаемых задач используются свои специфические бенчмарки, которые покрывают широкую область расчетных задач обоснования проектных характеристик ядерных реакторов различных типов: стационарные расчеты (ячеечные, покассетные, потвэльные), расчеты выгорания и оптимизации загрузки, динамические расчеты (с обратными связями и без них) нормальных режимов работы реакторов и аварийных ситуаций. Таким образом, в целом система бенчмарков предназначена для верификации алгоритмов нейтронно-физических расчетов, оценок погрешностей и покомпонентных ошибок инженерных программ, наконец, для использования в обучении. Важным достоинством системы является полная внутренняя согласованность исходных данных и расчетных моделей для всех бенчмарков.

Второе направление использования вычислительных бенчмарков – развитие алгоритмов и программ. Они позволяют определить места, требующие улучшений и уточнений. Развитие новых компьютерных программ для анализа ядерных реакторов требует сравнения их результатов с оцененными reference-результатами, полученными для хорошо, однозначно определенных задач. Это сравнение позволяет объективно оценить методическую, в том числе и покомпонентную, погрешность проектных программ.

Наконец, в образовательном аспекте использование бенчмарков в обучении позволит глубже изучить такие важные понятия современных вычислительных методов, как погрешность аппроксимации, сходимость к асимптотическому решению и другие, освоить их на практике.

Бенчмарки для контроля программ расчёта реакторов ВВЭР. На сегодняшний день основой атомной энергетики России являются реакторы ВВЭР с последующим переходом к реакторам на быстрых нейтронах.

Здесь рассмотрены задачи в основном для двух существующих типов реакторов: ВВЭР-440 и ВВЭР-1000.

Повышение требований к точности расчетов и увеличение производительности ЭВМ приводит к постепенной замене программ, основанных на упрощенных, инженерных методах, на программы, использующие математически последовательные алгоритмы. Важность вычислительных бенчмарков для реакторов ВВЭР хорошо осознается всеми специалистами, поэтому на их создание и получение прецизионных (reference) решений направлены большие усилия, что отражено в большом количестве публикаций, представленных, прежде всего, в трудах Симпозиумов AER и на ежегодных семинарах «Нейтроника».

Для верификации алгоритмов и программ нейтронно-физического расчета в ГНЦ РФ ФЭИ была создана система взаимосвязанных математических бенчмарков для широкого круга нейтронно-физических расчетов ВВЭР Для большинства тестовых задач получено два независимых решения. Охватываемый системой круг проблем очень широк. Он включает 36 различных задач для каждого из двух типов реакторов ВВЭР. Для каждого бенчмарка очередь для задач нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов, часть задач включает теплогидравлические обратные связи, хотя и весьма упрощенные. Система бенчмарков является результатом коллективных усилий десяти специалистов из пяти российских организаций, вовлеченных в исследования, развитие и проектирование существующих и будущих реакторов ВВЭР и является дополнением уже существующих нейтронно-физических бенчмарков для ВВЭР.

Бенчмарки представляемой системы являются реалистичной моделью для ожидаемого поведения программ расчета реакторов (зависимость от шага сетки, параметров итерационных процессов и других вычислительных параметров), хотя используют они несколько огрубленные по сравнению с реальными расчётные модели и исходные данные. Получаемые с их помощью численные результаты соответствуют физическим и вычислительным тенденциям, известным для реакторов ВВЭР. Они являются представительными для оценки методической точности расчетных программ в том смысле, что они не завышают и не занижают методическую погрешность, в отличие от ряда других математических тестов, моделирующих заведомо более жесткие расчетные условия, чем требуется в реальных расчетах, и поэтому дающих преувеличенное представление о погрешностях инженерных программ.

Этапы разработки бенчмарков. Каждая тестовая задача разделена на 4 последовательных этапа её решения. На этапе 1 формулировалась исходная ситуация (Benchmark Source Situation, BSS). На этапе 2 формулировались расчетные задачи (Benchmark Problem, BP). На этапе 3 вычислялись решения с разумной точностью (Reasonable Accuracy Solutions, RAcS. На этапе 4 вычислялись reference-решения (Reference Solution – RefS.

Отличительные черты системы бенчмарков. Созданные бенчмарки образуют набор взаимосвязанных тестовых задач, т.е. систему бенчмарков. Слово “система” в данном случае использовано только для подчеркивания взаимосвязанности по данным и не несет значения “системы”, т.е. компьютерной оболочки, автоматизации средств доступа и т.п.

1. Все бенчмарки, относящиеся к одному реактору, используют общие геометрические (расположение топлива) данные и макроконстанты. Для каждого типа активной зоны рассмотрены только два состояния АЗ – начальная загрузка (FC, fresh core) и равновесная зона (EC, equilibrium core). Соответственно во всем наборе задач (для каждого типа АЗ) использованы только три набора сечений – два для зоны на полной мощности (H, hot) и один (начальная загрузка ВВЭР-440 и равновесная загрузка ВВЭР-1000) для «холодной» зоны, находящейся на мощности 10% от номинала. Эти три набора макроконстант используются во всем наборе статических и динамических бенчмарков для данной АЗ.

2. Во всех задачах отражатель включен в геометрическое описание.

3. Созданы микроскопические данные для использования в бенч-марках для выгорания.

4. Созданы пространственно-зависимые сечения, адекватно моделирующие изменение физических свойств по высоте для всех соответствующих бенчмарков.

5. Строго математически сформулированы бенчмарки для пространственно-зависимой кинетики с трехмерными пространственно распределенными обратными связями по температуре и плотностью теплоносителя, температуре топлива, концентрации борной кислоты.

6. Математически строго сформулированы бенчмарки по оптимизации загрузки активной зоны и найдены их точные решения.

Бенчмарки для стационарных расчётов активной зоны. Бенчмарки этого раздела представляют собой решение задач на расчёт с вакуумными граничными условиями для двухгрупповых уравнений диффузии без рассеяния вверх. Для «равновесной» активной зоны сечения зависят от высоты. Для потвэльных расчетов геометрия кассеты включает как регулярную гексагональную структуру для твэлов, так и нерегулярную (пятиугольники ТВС на периферии). В качестве основных результатов рассматриваютсяи распределение мощности в кассетах.

Раздел содержит 18 бенчмарков. Восемь в трехмерной геометрии были созданы для верификации программ и методов для стационарного расчета активной зоны. Восемь для потвэльного расчета и два для «свежей» загрузки были сформулированы только в двумерной геометрии. Бенчмарки в двумерной геометрии дают дополнительные возможности верификации методов либо в отдельных задачах, когда 2D-геометрия даёт приемлемые результаты, либо когда требуется очень высокая точность reference-решения.

Решения для двумерной и трехмерной геометрии были получены с помощью программ HEXZ и MAG. Решения по программе HEXZ рассматриваются как RAcS, а решения по программе MAG – как reference-решения. Последние были получены с помощью учащения сетки и представляют собой асимптотические решения, т.е. решения при стремлении шага сетки к нулю. Для потвэльных бенчмарков RAcS были получены с использованием программ MAG и PERMAK. Для всех бенчмарков данного раздела два независимых решения находятся в очень хорошем согласии, отличается менее чем на 0.1 %, покассетные энерговыделения менее чем на 1%, потвэльные распределения имеют различия порядка 1%.

Бенчмарки для гомогенизации. Бенчмарки этого раздела являются задачами на в двумерной шестигранной кассете с условиям отражения на границе. Исходными данными являются описание геометрии кассеты и ядерные плотности. Раздел состоит из двенадцати бенчмарков, соответствующих трем состояниям по выгоранию (свежему топливу, топливу после одной и двух микрокампаний). В качестве ожидаемых результатов требуются, гомогенизированные сечения для диффузионного расчета и потвэльные мощности. Концентрации для топлива после одной и двух микрокомпаний были получены с помощью программы WIMS для 300 и 600 эффективных суток. Решения, полученные с помощью программ МСU (RefS) и WIMS (RAcS) хорошо согласуются между собой.

Бенчмарки для расчёта кампании реактора. Бенчмарки этой секции были созданы для верификации методов и алгоритмов при расчете выгорания. Они включают задачи для выгорания активной зоны, выгорания в отдельной сборке и оптимизации загрузки.

Четыре бенчмарка для выгорания в активной зоне были созданы по аналогии с задачей BSS-19 из работы [6]. Реактор описывается двухгрупповыми уравнениями диффузии в двумерной гексагональной геометрии. Макроскопические сечения для каждого момента времени получаются из уравнений выгорания, коэффициенты которых вычисляются на основе пространственных распределений ядерных концентраций и микроскопических сечений делящихся материалов, ксенона, бора и выгорающих поглотителей. Микроскопические сечения делящихся изотопов либо не зависят от времени либо зависят линейно от выгорания. Критическое состояние активной зоны получается подбором критической концентрации раствора борной кислоты, измеренной в ppm. Концентрация ксенона – равновесная. Длительность микрокампании определяется требованием равенства нулю концентрации борной кислоты в конце топливного цикла. Два реальных начальных цикла использованы при формулировке задач для уранового топлива.

В качестве требуемых результатов рассматриваются:

• концентрации борной кислоты, обеспечивающие критичность;

• распределение покассетных мощностей в начале и конце микрокампаний;

• средние покассетные выгорания в конце микрокампаний;

• средние для типов кассет ядерные концентрации в конце микрокампаний;

• длина микрокампаний в эффективных сутках;

• критические концентрации бора и мощности кассет для реактора без ксенона с введенными органами СУЗ в начале 1-го и 2-го циклов;

• эффекты реактивности для реактора без ксенона с введенными СУЗ в конце микрокампании.

Два независимых «стандартных» решения, полученные по программам MAG и HEXZ, согласуются с приемлемой точностью.

Для бенчмарка выгорания в кассете ВВЭР-440 есть сравнение с экспериментальными данными. Результаты расчетов ядерных концентраций как функция выгорания сравниваются с результатами радиохимического анализа. Ядерные концентрации рассматриваются как основные ожидаемые результаты. Решения задачи получены по программам WIMS и TRIFON.

Два бенчмарка для ВВЭР-440 и ВВЭР-1000 с урановым топливом были созданы для оптимизации перестановки ТВС. Каждый включает две оптимизационные задачи. В первой требуется найти 10 лучших загрузок (расстановок ТВС) обеспечивающих минимальные значения коэффициента неравномерности в начале второго топливного цикла при ограничении на запас реактивности (величину ). Во второй задаче требуется найти 10 лучших загрузок с максимальнымпри ограничении, что коэффициент неравномерности в начале топливного цикла не превосходит 1.45. Рассматриваются задачи частичной оптимизации, т.е. позиции некоторых (свежих) ТВС заданы. Благодаря этому общее количество возможных вариантов около 15000, что позволяет применить прямой перебор всех вариантов для получения точного решения. Исходные данные были взяты из вышеописанных бенчмарков для расчета выгорания в активных зонах.

Получены два независимых решения. Для решения двухгрупповой нейтронной задачи использовалась программа MAG. «Точное» решение было получено прямым перебором, альтернативное с помощью одной из версий генетического алгоритма.

Бенчмарки для кинетики и динамики. Двенадцать бенчмарков были созданы для трехмерных задач пространственной кинетики без обратных связей. В них решается двухгрупповое нестационарное уравнение диффузии с заданной зависимостью макросечений от времени и с шестью группами запаздывающих нейтронов. Геометрия задач соответствует использованной в стационарных бенчмарках. Макросечения подготовлены для «холодной» зоны (10% мощности). Нестационарные процессы инициируются движением СУЗ. Рассмотрены два варианта движения СУЗ – мгновенное и движение с конечной скоростью.

Два независимых решения получены по программам RAINBOW и MAG. Большая часть полученных решений должна рассматриваться как «стандартные», RАcS. Однако для одной из задач решение, полученной по программе MAG с учащением пространственной и временной сеток может рассматриваться как RefS, reference-решение с точностью порядка 1%.

Еще двенадцать бенчмарков были созданы для верификации алгоритмов и программ решения трехмерной пространственной кинетики с обратными теплогидравлическими связями. Геометрия - та же что и в предыдущих задачах. Задана линейная зависимость макросечений от теплогидравлических параметров, а именно от квадратного корня из температуры топлива, температуры теплоносителя и плотности теплоносителя.

Система бенчмарков ориентирована на нейтронику и не предполагает использования реальных теплофизических программ и данных. Для температуры топливаи теплоносителяв каждой точке активной зоны заданы два дифференциальных уравнения

,

,

где , с заданными теплофизическими константами и скоростью движения теплоносителя, которые могут рассматриваться и решаться чисто формально, хотя константы подобраны так, что физика процессов сохраняется.

Нестационарные процессы инициируются движением СУЗ. Рассмотрены два варианта движения СУЗ – мгновенное и движение с конечной скоростью. Предполагается критичность активной зоны в начальный момент времени t=0. Таким образом, для получения начального распределения нейтронов и параметров кинетики необходимо решить связанные уравнения для нейтронов и теплогидравлических связей. В качестве обязательных результатов требуются следующие величины:

- эффективный коэффициент размножения в момент t=0;

- полная нейтронная мощность от времени;

- нормированное покассетное распределение мощности в заданные моменты времени;

- пространственное распределение температур топлива и теплоносителя в заданные моменты времени.

Два независимых «стандартных» решения получены по программам RAINBOW и MAG.

Наконец, 18 бенчмарков были созданы для переходных процессов, инициированных событиями вне активной зоны. Этот тип проблем характеризуется численными свойствами, существенно отличающимися от задач с движением СУЗ. Решаемые уравнения подобны описанным ранее для движения СУЗ с обратными связями, но дополнительно к предыдущему макросечения линейно зависят от концентрации бора в борной кислоте. Плотность борной кислоты на нижней границе активной зоны задается функцией от времени. Два независимых «стандартных» решения получены по программам RAINBOW и MAG и согласуются в пределах 20%.

Заключение. Создана согласованная система взаимосвязанных математических бенчмарков для широкого круга нейтронно-физических расчетов ВВЭР. Для каждой задачи получено два независимых решения. Эти решения хорошо согласуются с результатами расчетов по аттестованным программам. Система доступна на СD и представлена в трудах научных конференций. Перечень бенчмарков приведен в приложении 1. Вследствие реалистичности, в частности, учета пространственной зависимости макроконстант, описание бенчмарков даже с минимальной степенью детальности требует многих страниц текста и поэтому в пособии не приводится. Для более широкого ознакомления могут быть использованы материалы сайтов www.kfki.hu и www.neutronika.ru.

Изложенные в этом разделе материалы были подготовлены И. Р. Сусловым. Цель этого проекта заключается в создании всестороннего взаимосвязанного набора вычислительных бенчмарков для обеспечения контроля расчётов реакторов ВВЭР.

Приложение 1

Список наборов бенчмарков для реакторов ВВЭР- 440 и ВВЭР - 1000.

БЕНЧМАРКИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ РАСЧЕТОВ АКТИВНОЙ ЗОНЫ

Урановое топливо: Стационарный покассетный расчет активной зоны: начальная загрузка Стационарный потвэльный расчет активной зоны : начальная загрузка Стационарный покассетный расчет активной зоны : равновесное состояние Стационарный потвэльный расчет активной зоны : равновесное состояние MOX – топливо: Стационарный покассетный расчет активной зоны: начальная загрузка Стационарный потвэльный расчет активной зоны : начальная загрузка Стационарный покассетный расчет активной зоны : равновесное состояние Стационарный потвэльный расчет активной зоны : равновесное состояние

БЕНЧМАРКИ ДЛЯ ГОМОГЕНИЗАЦИИ

Бенчмарк для гомогенизации кассеты со свежим урановым топливом Бенчмарк для гомогенизации кассеты с урановым топливом после одной микрокампании Бенчмарк для гомогенизации кассеты с урановым топливом после двух микрокампаний Бенчмарк для гомогенизации кассеты со свежим MOX топливом Бенчмарк для гомогенизации кассеты с MOX топливом после одной микрокампании Бенчмарк для гомогенизации кассеты с MOX топливом после двух микрокампаний

БЕНЧМАРКИ ДЛЯ ВЫГОРАНИЯ

Бенчмарк для расчета выгорания первых двух микрокампаний для реактора с урановым топливом Бенчмарк для расчета равновесной микромпании для реактора с MOX топливом. Бенчмарк для расчета оптимизации перегрузки Бенчмарк для расчета выгорания в кассете реактора VVER‑440 (со сравнением с экспериментальными данными)

КИНЕТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ БЕНЧМАРКИ (ТОЛЬКО ДЛЯ УРАНОВОГО ТОПЛИВА)

Кинетический бенчмарк 1: Ступенчатый ввод стержней СУЗ Кинетический бенчмарк 2: Ступенчатый вывод стержней СУЗ Кинетический бенчмарк 3: Непрерывный ввод стержней СУЗ Кинетический бенчмарк 4: Непрерывный вывод стержней СУЗ Кинетический бенчмарк 5: Ступенчатый вывод реактора на мощность Кинетический бенчмарк 6: Непрерывный вывод реактора на мощность Кинетический бенчмарк 7: Ступенчатый ввод стержней СУЗ с учетом обратных связей Кинетический бенчмарк 8: Ступенчатый вывод стержней СУЗ с учетом обратных связей Кинетический бенчмарк 9: Непрерывный ввод стержней СУЗ с учетом обратных связей Кинетический бенчмарк 10: Непрерывный вывод стержней СУЗ с учетом обратных связей Кинетический бенчмарк 11:Ступенчатый вывод реактора на мощность с обратными связями Кинетический бенчмарк 12:Непрерывный вывод реактора на мощность с обратными связями Кинетический бенчмарк 13: Впрыск борной кислоты без обратных связей Кинетический бенчмарк 14: Впрыск борной кислоты с учетом обратных связей Кинетический бенчмарк 15: Разрыв трубопровода парогонератора Кинетический бенчмарк 16: Потеря давления без срабатывания аварийной защиты Кинетический бенчмарк 17: Отключение ГЦН срабатывания аварийной защиты Кинетический бенчмарк 18: Впрыск неборированной воды

Литература

1. ПБЯ РУ АЭС – 89/91.

2. Вознесенский В.А., Шишков Л.К. Состояние работ по уточнению пределов безопасной эксплуатации и эксплуатационных пределов. Чешско-российский-словацкий семинар, Словакия, 28 окт.-01 ноября 2002 г.

3. Цвайфель П. Физика реакторов. М., Атомиздат, 1977 г.

4. Смелов В. В. Лекции по теории переноса нейтронов. М., Атомиздат, 1978 г.

5. Белл Дж., Глесстон С.. Теория ядерных реакторов. Пер. с англ. Под ред. В.Н. Артамкина. М., Атомиздат, 1974 г.

6. Крамеров А.Я., Шевелёв Я.В. Инженерные расчёты ядерных реакторов. М., Энергоиздат, 1984 г.

7. Ганев И. Х. Физика и расчёт реактора. М., Энергоиздат, 1981 г.

8. Рудик А. П. Физические основы ядерных реакторов. М., Атомиздат, 1979 г.

9. Кейз Д., Цвайфель П.. Линейная теория переноса. М. Атомиздат, 1974 г.

10. Забродская С.В., Игнатюк А.В., Кощеев В.Н., Манохин В.Н., Николаев М.Н., Проняев В.Г. РОСФОНД – российская национальная библиотека оцененных нейтронных данных. ВАНТ, серия Ядерные константы, вып. 1-2, 2007 г.

Содержание

Предисловие 3

Нейтронно-физические задачи расчётного обеспечения эксплуатации реакторов АЭС 5

Реактивность и управление ядерным реактором 14

Расчёт эффективности органов регулирования 20

Выгорающие поглотители в управлении энерговыделением 26

Профилирование энерговыделения в стационарном режиме перегрузок ядерного топлива 31

Учёт гетерогенности в расчётах реактора 37

Учёт макрогетерогенности в расчётах реактора 44

Погрешности нейтронно-физического расчёта 47

Расчёт коэффициентов чувствительности параметров ядерного реак- тора 54

Система контрольных задач для верификации алгоритмов и программ нейтронно-физических расчётов 58

Приложение 1. Список наборов бенчмарков для реакторов

ВВЭР- 440 и ВВЭР – 1000 64

Литература 68