- •І. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса1
- •Приклади розв’язання слр методом Гаусса
- •Дослідження слр за методом Гаусса
- •Розв’язати систему лінійних рівнянь
- •1.2. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- •1.4. Мінори. Алгебраїчні доповнення. Теорема про розклад
- •1.5. Теореми заміщення і анулювання
- •Розв’язання
- •За формулами Крамера розв’язати систему
- •1.7.1. Визначники вищих порядків
- •1.7.2. Обчислення визначників за правилом прямокутника
- •1.8. Матриці. Означення. Види матриць
- •1.9. Лінійні дії над матрицями
- •1.10. Множення матриць
- •9. . 10. 11..
- •1. . 2. 3..
- •4. . 5.. 6..
- •7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.
- •1.12. Обернена матриця.
- •Приклади для самостійного розв’язання
- •Приклад 2. Розв’язати матричним способом систему
- •4. . 5.. 6.. 7..
- •1.14.Ранг матриці
- •Знайти ранг матриць
- •1. . 2..
- •3. . 4..
1.10. Множення матриць
Множення матриць розглянемо, починаючи з відомого вже прикладу 3, при підрахунку грошових затрат на виконання робіт по проходці в шахті (метро, тунелі). Нехай в рядках матриці
записані результати роботи за добу кожної із трьох змін: по виїмці породи (перший стовпець) і по кріпленню пройденої виробки (другий стовпець). Як вже згадувалось, при заданій площі поперечного перетину проходки результати робіт можуть вимірюватись в пройденних погонних метрах. Замовнику необхідно знати, яку суму грошей прийдеться виділяти на оплату праці робітників, а яку – на капітальні витрати. Існують норми розцінок на зарплату і капітальні витрати, які представимо у вигляді матриці розцінок
де перший стовпець – норми оплати праці робітників: за 1 погонний метр по виїмці породи і за 1 погонний метр по кріпленню відповідно. Другий стовпець:– відповідні капітальні затрати за 1 погонний метр виїмки і за 1 погонний метр кріплення.
Загальні затрати на зарплату для кожної із змін дорівнюють сумі добутків пройдених кількостей метрів по обох видах робіт на відповідні норми розцінок. Позначимо через сумму грошей зароблену-ю зміною. Аналогічно підраховуються капітальні затратидля-ої зміни по виїмці і кріпленню.
Отримаємо таблицю затрат
Зміни |
Затрати на зарплату по виїмці і кріпленню |
Капітальні затрати по виїмці і кріпленню |
І-а зміна | ||
ІІ-а зміна | ||
ІІІ-я зміна |
Ці дані запишемо у вигляді нової матриці затрат , що отримана з матрицьіза допомогою операції, яку називають множенням матриць, і позначають
Для множення матриці розміруна матрицюрозмірунеобхідна їхузгодженність, тобто, щоб число стовпців матриці (першого співмножника) збігалося з числом рядків матриці(другого співмножника). Так в наведеному прикладі матрицяузгоджується з матрицею(для кожного виду робіт є норми розцінок). Однак матрицяне є узгодженою з матрицею.
Означення 1. Добутком матриці розміруна матрицюрозміруназивається матрицярозміру, елементи якоїдорівнюють сумі добутків елементів-того рядка матриціна відповідні елементи-того стовпця матриці, тобто
.
Із структури елементів зрозуміло необхідність узгодженості матрицьі: кожному елементу в-тому рядку матриці(першого співмножника) повинен відповідати елемент в-тому стовпці матриці(другого співмножника). Число рядків матрицідорівнює числу рядків першого співмножника, а число стовпців- числу стовпців другого співмножника.
Приклад 1. Знайти добуток матриць і, якщо,.
Розв’язання. Матриця має розмір 2х2, розмір матриці- 2х3. Число стовпців матрицідорівнює 2 і збігається з числом рядків матриці. Отже, матриці узгоджені, тому можна множити матрицюна матрицю. В результаті отримаємо матрицюрозміром 2х3, тобто
.
Приклад 2. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що в даному випадку .
Приклад 3. Переконатись, що для даних матриць
Звернути увагу, що добуток двох ненульових матриць може давати нульову матрицю, і, крім того, .
Означення 2. Матриці іназиваються переставними або комутативними, якщо .
Приклад 4.
Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому .
Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо
Можна показати, що множення матриць має такі властивості:
де – число;
.
Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.
Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число , а матрицітакі:
, , С=.
Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.
Означення 3. Квадратом матриці (позначається) називається добуток, тобто.
Аналогічно вводиться .
Приклад 7. Для матриць і, де
, ,
довести, що , та знайти значення виразів.
Означення 4. Якщо - заданий многочлен ідеяка квадратна матриця, то вираз
де - одинична матриця, називається многочленною матрицею.
Приклад 8. Для матриці
Знайти
Обчислити степені квадратних матриць: