Оптическое материаловедение и

41

вал между заполненными и свободными уровнями там ничтожно мал ΔWквази ~ 10-23 эВ.

13.Если валентная зона заполнена не полностью (есть свободные уровни), то кристалл является металлом (проводником). Такая картина наблюдается, например, у металла натрия.

14.В некоторых металлах (Mg, Zn) возможно перекрытие валентной и свободной (зона возникшая из первого возбужденного уровня) зон. В этом случае объединенная зона (зона проводимости) окажется заполненной не полностью, и кристалл будет проводником.

15.Если в кристалле полностью заполненная валентная зона отделена от свободной зоны запрещенной зоной, то в отсутствие внешнего возбуждения (нагревание, облучение и пр.) кристалл не электропроводен. Валентные электроны здесь не являются свободными. Такие кристаллы будут диэлектриками или полупроводниками.

16.Условно принято считать изоляторами (диэлектриками) кристаллы, ширина запрещенной зоны в которых 2W > 3 эВ; полупроводники – это вещества, у которых 4W > 3 эВ. Различие между диэлектриками и полупроводниками количественное. Граница между ними не является четкой. При Т = 0 К полупроводник является диэлектриком.

17.При обычных температурах (Т = 300 К) валентные электроны в кристаллах обладают средней тепловой энергией, примерно равной kТ = 0,025 эВ. В полупроводниках часть электронов имеет энергию, большую средней тепловой и большую ΔW, эти электроны перейдут в свободную зону – полупроводник станет электропроводен. У диэлектриков же ширина запрещенной зоны ΔW слишком велика и практически нет электронов, способных перейти в свободную зону. Диэлектрики при комнатной температуре остаются неэлектропроводными, как и при Т = 0 К.

18.Свет в чистых диэлектриках взаимодействует со структурой диэлектрика упруго, т.е. рассеивается. Поэтому рассеяние в чистых диэлектриках удобно рассматривать на основе классического взаимодействия световой волны и электронных оболочек атомов диэлектрика.

42

19.Взаимодействуя с металлами энергия световой волны полностью идет на создание вихревых токов на поверхности металла и частичное переизлучение в обратном направлении (отражение). Данный процесс удобно описывается в рамках классической теории взаимодействия падающей электромагнитной волны со свободными электронами.

20.В полупроводниках, где запрещенная зона меньше энергии кванта света возникают квантовомеханические эффекты, имеющие большое практическое значение.

Вопросы и задания для самоконтроля по теме:

1.Укажите границы оптического диапазона?

2.Какой вид дефектов в основном определяет взаимодействие света с твердым телом?

3.За счет какого эффекта возникает зонная структура в твердом теле?

4.Чем определяется ширина энергетической зоны?

5.Чем определяется число уровней в энергетической

зоне?

6.Почему ширина энергетической зоны не зависит от числа атомов твердого тела?

7.Почему уровни внутренних электронов не образуют энергетическую зону?

8.Какое строение энергетических эон может быть у проводников?

9.Какое строение энергетических эон может быть у диэлектриков?

10.Какое строение энергетических эон может быть у полупроводников?

11.Какое расстояние между энергетическими уровнями внутри зоны?

12.Почему в полупроводниках и диэлектриках при приложении электрического поля ток не возникает?

13.Каковы размеры энергетических зон у проводников, полупроводников и диэлектриков?

14.Как заполнены энергетические зоны у проводников, полупроводников и диэлектриков?

43

Лекция 5 Фундаментальное взаимодействие

света с диэлектриками. Нормальная и аномальная дисперсии.

5.1. Понятие дисперсии. Действительная и мнимая части показателя преломления.

Зависимость абсолютного показателя преломления среды от частоты падающего на среду света называется дисперсией.

Для удобства рассмотрения абсолютный показатель преломления среды представляется в комплексной форме: n( ) nR ( ) inZ ( ) (5.1) где nR - действительная часть по-

казателя преломления, nZ - мнимая часть показателя преломле-

ния.

Тогда напряженность поля электрической составляющей плоской гармонической электромагнитной волны распространяющейся в направлении Z в веществе можно представить:

E E0 exp i t kz E0 exp i t (nR ( )c inZ ( )) z (5.2)

E0 exp nZc( )z exp i t nRc( ) z

мальной амплитуды с расстоянием пройденным в среде. По-

44

Условно можно считать за глубину проникновения света 1/ в прозрачных диэлектриках она достигает не-

скольких метров, в металлах же всего нескольких сотых мкм.

Мнимая часть показателя преломления определяет поглощение света в веществе.

фазовая скорость распространения волны в среде.

Поэтому часто зависимость фазовой скорости от частоты называют дисперсией, что с учетом комплексного вида показателя преломления является частным определением дисперсии.

Действительная часть показателя преломления определяет зависимость фазовой скорости света от частоты.

Дисперсия в диэлектриках. Модель взаимодействия атомов диэлектрика с падающей световой волной.

Для рассмотрения дисперсии в диэлектриках рассмотрим атом диэлектрика как точечное положительное ядро плавающее в центре недеформирующегося объемного заряда электронов. Точнее электронное облако слегка смещается относительно неподвижного ядра, так как почти вся масса атома сосредоточена в его ядре. В соответствии с этой моделью атома будем считать, что электронное облако образует шар с постоянной плотностью

заряда, где 0. Под действием электрического поля E световой волны тяжелое ядро атома почти не смещается. Смещается только электронная оболочка. При этом со стороны ядра на оболочку действует возвращающая сила.

Составим дифференциальное уравнение для движения электронной оболочки, как целого.

45

Пусть F1 — сила, действующая на электронную оболоч-

ку со стороны светового поля E.

F1 q E , где q — заряд атомного ядра, а q — заряд электронной оболочки.

Пусть F2 — сила, действующая на электронную оболочку со стороны атомного ядра. Гораздо проще найти силу, с которой электронная оболочка действует на ядро. Для этого надо найти электрическое пол однородно заряженного шара с плотностью заряда и умножить его на заряд ядра q .

Электрическое поле шара можно найти по теореме Гаус-

са Dds q, в вакууме

s

0E 4 r2 4 r3

3

Силу, действующую на электронную оболочку со сторо-

ны ядра, мы обозначили, как F2 . Тогда сила, действующая на ядро со стороны электронной оболочки, отличается знаком:

оболочку со стороны ядра, r — вектор, проведенный из ядра в центр масс электронного облака.

Второй закон Ньютона для электронной оболочки атома

примет следующий вид:

F1 F2 mr ,

46

где r — вторая производная от радиус-вектора электронной оболочки по времени или ускорение электронной оболочки.

Подставим значения F1, F2 и получим

В этом уравнении движения центра масс электронной оболочки введем обозначение

Добавим в уравнение движения вязкое трение в виде си-

лы F3 пропорциональной скорости r

F3 2 mr .

Здесь вязкое трение введено вместо потерь энергии электронной оболочки на излучение световых волн. Корректный учет потерь на излучение сделали бы уравнение движения нелинейным и трудным для анализа.

С учетом силы F3 уравнение движения примет следую-

лученное дифференциальное уравнение линейно относительно переменной r , и все коэффициенты уравнения вещественны. В таком случае вещественная часть решения уравнения будет равна вещественному решению уравнения с вещественным световым полем в правой части уравнения:

E Re E Re E0e i t .

Будем искать стационарное решение уравнения с постоянной комплексной амплитудой r0 , решение в виде

r t r0e i t . Подставим это решение в дифференциальное

47

уравнение, сократим уравнение на e i t и получим уравнение для комплексной амплитуды r0 :

комплексная амплитуда колебаний электронной оболочки атома в световом поле с вещественной амплитудой E0 и частотой

.

Колебания электронной оболочки атома относительно ядра атома в поле падающей электромагнитной волны означают колебания дипольного момента атома: p t q r t , где q — заряд электронной оболочки. Такое выражение для дипольного момента получается, если вос-

ординат в ядро атома. В таком случае в сумме остается одно слагаемое для всей электронной оболочки, как целого.

Комплексная амплитуда колебаний дипольного момента примет следующий вид

ризуемость атома на частоте , где q — заряд ядра атома, m

— масса электронной оболочки атома.

При концентрации электронов N комплексная поляри-

зуемость единицы объема диэлектрика:

48

Из этой формулы находится общая зависимость комплексного показателя преломления от частоты. Рассмотрим несколько частных случаев.

5.3. Нормальная и аномальная дисперсия в диэлектриках.

Нормальная дисперсия в конденсированных средах (жидкости, твердые тела).

Наблюдается когда поляризация соседних атомов оказывает влияния на поляризацию атома. В этом случае 0 :

Рис.5.2. Нормальная дисперсия в жидкостях и твердых телах.

Аномальная дисперсия.

В плотных средах из-за взаимодействия атомов сдвигаются (уширяются) возможные значения 0 , а коэффициент растет, т.е. в плотных средах растет затухание света. Вблизи

0 слагаемым 2i пренебречь нельзя, и коэффициент

2

(nRnZ)max р 1. Решая систему уравнений, получаем зави-

симость nR и nZ от частоты в области поглощения:

р2

nR ( ) 1 4 0( 2 2)

(5.13)

р2

nZ ( ) 4 0( 2 2)

Максимум и минимум функции nR ( )достигается при

.

Рис. 5.3. Аномальная дисперсия.

50

В области 0 0 наблюдается обратная зави-

симость nR ( ) это область аномальной дисперсии. Поэтому вблизи 0 показатель преломления среды не может до-

стичь , он конечен. Но свет в этой области не наблюдается - из-за показателя nZ ( ) среда поглощает свет на рассто-

янии c . В спектре светящегося тела (звезд, например)

2nZ

возникают интервалы - линии или полосы поглощения. Они есть у излучения всех веществ вблизи частот 0 ,

Рис. 5.4. Зависимость коэффициента поглощения от частоты. а так как собственных частот может быть много, то наблюдается не одна, а много линий поглощения. Поскольку

контур. Тогда контур линии поглощения ( ) 0L .

Относительная ширина спектрального контура поглощения

51

очень мала 2β/ω0≈10-9-10-6, поэтому контур поглощения обычно

Это уравнение затухающих колебаний, амплитуда которых спадает во времени, как exp(-βt). Дипольный момент атома p пропорционален смещению центра масс электронной оболочки r

p q r .

Напряженность светового поля излучения диполя пропорциональна второй производной по времени от ди-

польного момента и пропорциональна ускорению E ~ p ~ r .

Если 0 , то r ~ r , и напряженность светового поля из-

лучения диполя, как функция времени имеет следующий вид

Рис. 5.5. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени.

52

Эту зависимость напряженности светового поля от времени называют световым цугом.

Цуг излучения – волновое представление излучения

атома.

То есть спектр излучения атома имеет тот же лоренцевский вид, что и контур линии поглощения, и с той же β полушириной на полувысоте.

Одинаковый вид линии поглощения и линии излучения не зависит от модели атома. По этой причине обычно говорят просто о форме спектральной линии, не уточняя, говорят ли о линии излучения или о линии поглощения.

Обсудим теперь неравенство n 1, которое практически всегда справедливо в частотной области прозрачности вещества.

Рассмотрим уровни энергии произвольного атома.

Рис. 5.6. Распределение уровней энергии атома. Обычно атом находится на нижнем уровне энергии E1 .

Поглотив квант света, атом может перейти с этого уровня на

53

один из более высоких уровней энергии. Разность энергий уровней равна энергии кванта света и связана с его частотой :

k1 Ek E1 .

Частоты переходов k1 — это и есть резонансные частоты колебаний электронной оболочки атома, которые входят в выражение для комплексной поляризуемости атома:

e2

Энергии электрона, привязанного к атому, дискретные и отрицательные. При приближении к нулевой энергии уровни энергии сгущаются. Около нулевой энергии находится бесконечное число отрицательных дискретных уровней энергии. Положительные энергии электрона соответствуют отрыву электрона от атома — ионизации атома. Для положительных энергий возможны все значения в непрерывном диапазоне от нуля до бесконечности. В таком случае спектр поглощения атома или зависимость коэффициента поглощения среды от частоты имеет следующий вид:

Рис. 5.7. Зависимость коэффициента поглощении от частоты

Частотная область прозрачности среды — любая область частот вдали от линий поглощения. Как видно из ри-

сунка, для любой частоты света в области прозрачности справа от выбранной частоты всегда много линий поглощения, а слева

— мало.

Рассмотрим влияние одной линии поглощения, расположенной справа k1 , на показатель преломления. Из

54

ð2

nR ( ) 1 4 0 ( 2 2 )

n 1 0 — положительный вклад в показатель преломления от линии поглощения, которая расположена справа от рассматриваемой частоты.

Поскольку справа линий много, то их суммарный вклад в показатель преломления больше, чем вклад линий, расположенных слева, и этот вклад положительный. В результате показатель преломления сдвигается от единичного значения без среды в сторону увеличения. Поэтому n 1. Исключением из правила являются области частот, где одна из левых линий поглощенияk1 достаточно близка к рассматриваемой частоте света

, чтобы ее вклад в показатель преломления nR 1 0 пересилил

вклад всех правых линий поглощения.

Рассмотрим порядок величины вклада в коэффициент поглощения и вклада в показатель преломления при больших относи-

добавка к коэффициенту поглощения γ~1/x2 пренебрежимо мала, и среда прозрачна, а добавка к показателю преломления (nR- 1)~-1/x значительно больше, и поэтому, показатель преломления заметно отличается от единицы в частотной области прозрачности среды.

Выводы:

1. Зависимость абсолютного показателя преломления среды от частоты падающего на среду света называется дисперсией.

57

Лекция 6 Взаимодействие электромагнитных волн

инфракрасного диапазона с колебаниями решетки. Акустическая и оптическая ветви колебаний решетки.

Поляритоны.

До сих пор мы рассматривали только поглощение света, связанное с переходами между электронными уровнями. Электронная составляющая в поглощении может быть существенна в очень широком диапазоне частот, от предельно низких, соответствующих поглощению на свободных носителях, до частот, соответствующих энергии в десятки электрон-вольт. Тем не менее, электронными переходами не исчерпывается все многообразие спектров поглощения твердого тела. В инфракрасной области спектра возникает поглощение света связанное с колебаниями ионов кристаллической решетки. Если эти ионы не электронеитральны, то тепловые колебания приводят к возникновению колебаний плотности дипольного момента, которая взаимодействует с электрическим полем световой волны. Характерные энергии фононов в полупроводниках не превосходят нескольких десятков meV.

6.1. Продольные и поперечные акустические колебания.

В плоской поперечной акустической волне, распространяющейся вдоль оси x вектор смещения частиц Ut перпендикулярен направлению распространения волны, т.е. волновому вектору k. Для такой волны три ортогональные компоненты вектора смещения таковы, что продольная компонента Utx=0, а поперечные компоненты Uty и Utz не зависят от y и z, поскольку плоскость yz является плоскостью постоянной фазы. Таким образом,

С другой стороны, поперечные смещения есть функции x Uty=f(x) и Utz=f(x), поскольку эти смещения представляют собой волну, распространяющуюся вдоль направления x:

58

Поэтому

Итак, поле смещений Ut для поперечной волны таково, что

Такое поле называется соленоидальным и подобно магнитному полю. Условие равенства нулю дивергенции вектора Ut означает, что при распространении поперечной волны не меняется макроскопический объем среды. Наблюдается только смещение объемов среды друг относительно друга, так что среда испытывает деформацию сдвига, которая определяется модулем сдвига G. Поэтому частота поперечной акустической волны и ее скорость связана с величиной модуля сдвига: 2 G.

Для продольной волны вектор смещения Ul=Alexp[i( t–kx)] имеет только проекцию на направление x, т.е. Ul(Ulx,0,0), а сама величина Ulx зависит лишь от координаты x, но не зависит от координат y и z. Поэтому дивергенция вектора продольного смещения divUl 0, что означает, что среда меняет свой объем при распространении волны. Легко показать, что в этом случае rotUl=0. Итак, для поля продольной волны

divUt 0, а rotUt=0

Такое поле называется потенциальным (консервативным) полем и описывается градиентом (grad) некоторой скалярной величины. Поскольку при распространении волны возникает волна сжатия и разряжения, частота продольной акустической волны, а значит и скорость, определяется модулем упругости среды Е (модулем Юнга). Связь между модулем сдвига G и модулем Юнга Е дается соотношением

59

Поэтому G<E и l> t.

Следует отметить, что для высокосимметричных кристаллов существует вырождение двух поперечных волн для большинства направлений в кристалле. В кубических кристаллах, например, направления x, y и z переходят друг в друга при применении операции поворота на угол 120о вокруг направления (111). Поэтому скорости поперечных звуковых волн имеют одинаковые величины в направлениях x, y и z. В других направлениях скорости двух поперечных волн могут и различаться, а в более низкосимметричных кристаллах волны могут и не разделяться на чисто продольные и чисто поперечные. Особенности вырождения поперечных волн в кубическом кристалле представлены в следующей таблице 6.1.

Таблица 6.1.

6.2. Поперечные и продольные оптические колебания.

Оптические колебания при k 0 соответствуют движению соседних (различных) частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте, поскольку можно показать, что уравнение движения mkAk=0. Отсюда следует, что если кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k 0) кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть описана макроскопически. В акустической ветви в

60

волне с k=0 все частицы движутся в фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу m+ и m–, приведенная масса равна = m+m– /m++m–, а величина /V, где V – объем элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно друга будут W

где U+ и U- смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если учесть, что вектор смещения атомов W в волне может быть продольным или поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо учитывать, что W=Wt+Wl. Более того, в некубических кристаллах есть два типа поперечных волн Wt=Wt1+Wt2, однако здесь будут рассмотрены только кубические кристаллы.

При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для вектора смещения W и поляризации P:

P b21W b22E

Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения заряженных частиц; P – поляризация образца; bij – некоторые коэффициенты, физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические уравнения, справедливые для k 0, т.е. для длин волн возбуждений >>a значительно больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения частиц: член b11W – упругая механическая сила; член b12Е – электрическая сила (сила Кулона), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает поляризацию при распространении в