Лаб раб № 1, 19, 2, 3, 4, 5, 6

заряд +q со стороны поля.

F = k Qr2q .

Напряженность поля точечного заряда:

E = Fq = k rQ2 .

Вектор напряженности по направлению совпадает с силой, действующей на положительный пробный заряд в данной точке.

Принцип суперпозиции. Напряженность электростатического поля, созданного системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, созданных каждымGзарядомG в отдельностиG .

E = E1 + E2 + ... + EN .

Поток вектора напряженности электростатического поля через

G G

площадку dS равен скалярному произведению векторов E и dS .

dS = dS·nG,

G G

dÔ = (E dS) = EdScosϕ,

G G

Ô = ∫ (E dS) = ∫ EdScosϕ.

SS

Всистеме СИ:

[Ô] = [Â ì] .

Поток можно считать равным числу силовых линий, проходящих через поверхность.

Силовая линия – это линия касательная в каждой своей точке к вектору напряженности электростатического поля

Теорема Гаусса для зарядов в вакууме. Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Для дискретных зарядов:

Из рисунка видно что если внутри поверхности нет зарядов, то поток вектора напряженности равен нулю. Число входящих силовых линий равно числу выходящих силовых линий.

Физический смысл теоремы Гаусса состоит в том что источниками электростатического поля являются электрические заряды.

2. Потенциал электростатического поля

Потенциальные или консервативные силы – это силы, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только его начальным и конечным положениями (сила тяготения, сила упругости, сила Кулона).

Потенциальная энергия тела в поле потенциальных сил равна работе, которую могут совершить потенциальные силы при перемещении тела из данной точки пространства в точку пространства, выбранную за начало отсчета потенциальной энергии.

Точка начала отсчета потенциальной энергии выбирается произвольно, т.к. физический смысл имеет не абсолютное значение потенциальной энергии, а только ее изменение.

Работа потенциальной силы равна изменению потенциальной энергии со знаком «минус»:

A = −∆Wp = −(Wp,2 − Wp,1 ) = Wp,1 − Wp,2 .

Рассмотрим вывод формулы работы электростатического поля по перемещению точечного заряда и докажем что электростатическое поле потенциально.

Рассмотрим поле точечного заряда Q и найдем работу, совершенную полем при перемещении пробного заряда q.

= kQq 1 − 1 . r1 r2

Мы получили, что работа силы Кулона не зависит от траектории движения пробного заряда q и определяется только его начальным и конечным положениями. Таким образом, мы доказали, что сила Кулона является потенциальной силой.

Следовательно, для силы Кулона можно ввести потенциальную энергию таким образом, чтобы работа силы Кулона была равна изменению потенциальной энергии со знаком «минус».

A = −∆Wp = −(Wp,2 − Wp,1 ) = Wp,1 − Wp,2 ,

где Wp = k Qqr - потенциальная энергия взаимодействия двух то-

чечных зарядов q и Q. В системе СИ Wp = Äæ .

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Wp′ = k dQr + const,

A = −(Wp2 − Wp1 ) = −(Wp2′ − Wp′1 ).

Поэтому физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее только изменение. Выбором произвольного слагаемого в формуле

потенциальной энергии можно перенести начало отсчета потенциальной энергии в произвольную точку. Обычно за начало отсчета берут бесконечно удаленную точку.

Потенциал электростатического поля в данной точке – это физи-

ческая величина, равная потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда, помещенного в данную точку поля.

ϕ = Wqp .

В системе СИ:

[ϕ] = [Â] = Äæ .

Êë

Потенциал поля точечного заряда:

Qq Wp = k r ,

ϕ = Wqp = k Qr .

Работа поля выраженная через разность потенциалов:

A = Wp,1 −Wp,2 ,

Wp = qϕ,

A = q(ϕ1 −ϕ2 ).

Разность потенциалов (или напряжение) равна работе электростатического поля, совершенная при перемещении единичного, положительного, точечного заряда.

ϕ1 −ϕ2 = Aq .

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль произвольного замкнутого контура всегда равна нулю.

∫vEdrG G = 0 .

Найдем связь между напряженностью и разностью потенциалов электростатического поля.

2 G G

ϕ2 −ϕ1 = −∫ Edr.

1

Рассмотрим бесконечно малое переме-

щение dr , тогда E практически можно

считать постоянным.

dϕ = −EdrG = −Edr·cosα = −Erdr, Er = E·cosα,

dϕ Er = − dr .

Проекция вектора напряженности на вектор перемещения равна отношению изменения потенциала вдоль перемещения к величине перемещения.

Рассмотрим перемещение вдоль координатных осей, тогда:

Физический смысл градиента: градиент ска-

лярной функции в данной точке дает направление наибольшего изменения функции.

Вектор напряженности всегда перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям.

3. Проводники в электростатическом поле

Проводники – это материалы, имеющие внутри себя свободные заряды. В металлах свободные заряды – это валентные электроны, в электролитах – ионы, в ионизированных газах – ионы и электроны.

1) Если проводник (металл) поместить в электростатическое поле, то под действием поля отрицательные электроны проводимости будут двигаться против направления поля. В результате перемещения электронов на поверхности металла возникнут некомпенсированные заряды. Там, откуда

электроны ушли, заряд будет отрицательный, куда пришли – положительный. Поверхностные заряды создают дополнительное электростатическое поле, которое внутри металла направлено против внешнего поля. Свободные электроны будут двигаться до тех пор, пока дополнительное поле не скомпенсирует внешнее поле.

65

Выводы.

1)Внутри проводников напряженность результирующего электростатического поля всегда равна нулю.

2)Внутри проводника не может существовать не скомпенсированных зарядов. Заряды могут существовать только на поверхности проводника.

3)Вне проводника напряженность результирующего поля перпендикулярна поверхности проводника. Поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью, т.е. потенциалы всех точек поверхности одинаковые.

Доказательство.

2)Предположим, что электриче-

ское поле не перпендикулярно поверхности проводника. Тогда будет существовать тангенциальная составляющая вектора напряженности, параллельная поверхности. Под дей-

ствием тангенциальной составляющей электроны начнут двигаться по поверхности, произойдет перераспределение поверхностного заряда таким образом, чтобы дополнительное поле скомпенсировало тангенциальную составляющую внешнего поля. В результате останется только составляющая, перпендикулярная поверхности.

3) Предположим, что две точки металла имеют разные потенциалы, следовательно возникнет движение свободных электронов, произойдет перераспределение зарядов так, чтобы потенциалы выбранных точек стали равны.

4. Электроемкость. Конденсаторы

Электроемкость уединенного проводника равна заряду, который необходимо сообщить проводнику, чтобы его потенциал увеличился на один вольт.

C = ϕq .

Конденсатор это два проводника, разделенные слоем диэлектрика. Электроемкость конденсатора это величина, равная заряду, который нужно перенести с одной обкладки конденсатора на другую, чтобы разность потенциалов между обкладками изменилась на один Вольт.

66

Примеры. 1) Электроемкость плоского конденсатора. Предположим, что размеры пластин много больше расстояния меж-

ду ними (d << S). В этом случае пластины можно считать бесконеч-

ными плоскостями, а поле между пластинами можно считать однородным, т.е. одинаковым во всех точках.

2) Электроемкость цилиндрического конденсатора.

3) Электроемкость сферического конденсатора.

Если r2 → ∞ , то получим емкость шара: C = 4πε0εr1 .

5.Последовательное и параллельное соединение конденсаторов.

1)Параллельное соединение.

U = U1 = U2 = U3 , q = q1 + q2 + q3 ,

q = CU,

CU = C1U1 + C2U2 + C3U3 , C = C1 + C2 + C3 .

2) Последовательное соединение.

Энергия конденсатора это энергия электростатического поля, сосредоточенного между обкладками конденсатора или потенциальная энергия одной обкладки конденсатора в электростатическом поле, созданном другой обкладкой.

Плотность энергии электростатического поля это энергия поля в единице объема пространства.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Основные определения и законы постоянного тока

1. Электрический ток. Закон Ома для участка цепи

Электрический ток это упорядоченное движение заряженных частиц.

Сила тока это заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за единицу времени.

I = dqdt - мгновенное значение, I = qt - среднее значение.

В системе СИ: [I] = [A] .

Необходимое условие существования тока:

1)Наличие свободных зарядов (в металлах – электроны, в электролитах – ионы, в ионизированных газах – ионы и электроны).

2)Наличие электростатического поля, создающего упорядоченное движение свободных зарядов.

Проводник это вещество, имеющее свободные заряды (металлы, электролиты, ионизированные газы).

Напряжение (или разность потенциалов) это работа электростатического поля по перемещению единичного, положительного, заряда вдоль проводника.

В системе СИ: [U] = [B] = Äæ .

Êë

Георг Ом исследовал зависимость силы тока в металлических проводниках от напряжения, геометрических размеров проводника, его материала.

Закон Ома. Сила тока в металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению на концах проводника.

I ~ U .

Проводимость это коэффициент пропорциональности между напряжением и силой тока.

I = GU, G = UI = tgα. В системе СИ: [G] = [Ñì] = ÀÂ .

Сопротивление это величина, обратная проводимости (коэффициент пропорциональности между током и напряжением).

U = IR, R = UI = G1 = ctgα.

В системе СИ: [R] = [Îì] = ÂÀ .

Сопротивление проводника равно 1 Ом, если при напряжении 1В, сила тока равна 1А.

Закон Ома для участка цепи. Сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.

I = UR .

Зависимость сопротивления от его материала и геометрических размеров проводника.

R = ρ Sl ,

где ρ - удельное сопротивление. В системе СИ: [ρ] = [Îì ì] .

Зависимость сопротивления от температуры.

R = R0 (1 + αt°) ,

где: α – температурный коэффициент сопротивления. В системе СИ: [α] = Ê−1 ; t – температура в градусах Цельсия; R0 – сопротивление

при нулевой температуре t = 0°C .

Явление сверхпроводимости. При абсолютной температуре, близкой к 0 К сопротивление металлического проводника скачком обращается в ноль.

2.Последовательное и параллельное соединение проводников

1)Последовательное соединение.

I = I1 = I2 = I3 ,

U = U1 + U2 + U3 , U = IR,

IR = I1R1 + I2R2 + I3R3 , R = R1 + R2 + R3 .

2) Параллельное соединение.

G = G1 + G2 + G3 .

3. Закон Ома в дифференциальной форме

За направление электрического тока принимают направление движения положительных зарядов.

Плотность тока это сила тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника.

Предположим что внутри проводника поле однородное.

I = jS, U = El, R = ρ Sl .

4. Простейшая микроскопическая теория электрического тока

Свободные электроны в металлах имеют две составляющие скорости: скорость хаотического движения и скорость упорядоченного движения

Если найти средние скорости за продолжительный промежуток

времени, то <υхаот> = 0 и следовательно <υ> = <υуп>. Упорядоченное движение возникает под действи-

ем электростатического поля. Электроны при движении сталкиваются с узлами кристаллической решетки. За время свободного пробега (от удара до удара) электрон приобретает скорость (кинетическую энер-

гию) и можно считать, что <υ> = aτ, где τ – время свободного пробега.

a = Fêë = qeE , me me

< υ >= qeEτ . me

При столкновении с узлом решетки электрон практически полностью передает свою энергию решетке. Амплитуда колебаний узлов решетки увеличивается, температура тоже увеличивается. Следовательно, при прохождении тока образец нагревается.

Если q = qenSl – общий заряд свободных электронов, проходящих за время t = l / < υ > через поперечное сечение проводника, то:

5. Закон Джоуля - Ленца. Работа и мощность тока

Работа электрического тока равна работа электростатического поля, совершенная при перемещении свободных зарядов в проводнике.

I = qt q = It,

A = UIt.

Если справедлив закон Ома, то

A = UIt = U2 t = I2Rt .

R

Мощность это работа за единицу времени.

P = A = UI = U2 = I2R. t R

В системе СИ: [P] = [Âò] = Äæ .

ñ

В общем случае работа тока идет на нагревание проводников и совершение других видов работ: механической, химической и т.д.

A = Q + Aìåõ + Aõèì + ...

Если не совершается механическая, химическая и другие виды работы, то работа тока полностью идет на нагревание проводника.

Закон Джоуля – Ленца. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени.

Q= I2Rt .

Вобщем случае UIt ≥ I2Rt, òàê êàê Aýë.ò ≥ Q . Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме:

q= Q = E2 t = gE2t , V ρ

w = VtQ = j2ρ .

6. Сторонние силы. ЭДС

Чтобы в проводнике возник электрический ток, необходимо создать электростатическое поле. Электростатическое поле возникает вокруг зарядов. Если зарядить концы проводника, то под действием поля избыточный заряд перейдет с одного конца

на другой, возникнет кратковременный ток. Чтобы ток существовал продолжительное время, нужно переносить положительные заряды с отрицательного конца на положительный против сил электрического поля. Работу по разделению зарядов совершают сторонние силы.

Сторонние силы это любые силы, кроме сил электростатического происхождения, т.е. кроме сил Кулона. Сторонние силы как правило сосредоточены в источнике тока.

ЭДС это работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда.

E = Añò.ñèëû .

q

В системе СИ: [E ] = [B] = ÄæÊë .

Всякий реальный источник тока обладает внутренним сопротивлением r. Если через источник идет ток, источник нагревается.

Q′ = I2rt .

P′ = I2r – мощность, теряемая на нагревание источника тока.

7. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Закон Ома для замкнутой цепи

Aýë.ï. + Añòîð.ñèë = Q + Q′,

Uq +Eq = I2Rt + I2rt,

UIt +EIt = I2 (R + r)t,

U +E = I(R + r).

Закон Ома для неоднородного участка цепи.

нутой цепи.

Закон Ома для замкнутой цепи. Сила тока в замкнутой неразветвленной цепи прямо пропорциональна ЭДС и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.

I = RE+ r .

Введем обозначения:

U = IR – напряжение на зажимах источника тока (напряжение во внешней цепи);

U′ = Ir = E - IR – падение напряжения внутри источника;

E = U + U′ ;

P′ = I2r – мощность, теряемая на нагревание источника тока; P0 = EI – мощность источника (полная мощность);

P = UI – мощность во внешней цепи (полезная мощность);

P0 = P + P′ .

Найдем зависимость полезной мощности от внешнего сопротивления.

E 2

следовательно R = r и Pmax = 4r .

Коэффициент полезного действия (КПД)

это отношение полезной работы к работе затраченной.

При P = Pmax, η = 0,5 .

8. Правила Кирхгофа

Узел – это точка, где соединено более двух проводников. Если ток приходит в узел, берем его со знаком

«плюс», если уходит – «минус».

Если в узле не происходит накапливания заряда, то по закону сохранения заряда:

q1 + q2 −q3 = 0

Первое правило Кирхгофа.

Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

N

∑Ii = 0 .

i=1

Рассмотрим произвольный замкнутый контур. Запишем закон Ома для каждого неоднородного участка цепи.