lek_volna
.pdf
Звуковые волны в газах.
Рассмотрим небольшой объем газа. В результате колебаний объем изменится. p’ – давление после изменения объема.
По второму закону Ньютона:
ρSdx |
d2 |
ξ |
= −S(p'(x + dx) − p'(x)) |
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dp'(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p'(x + dx) = p'(x) + |
dx +... |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разность давлений считаем малой. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ρdx |
d2ξ |
= − |
dp' |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dt 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ρ |
d2 |
ξ |
= − |
dp' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dt |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Колебания происходят настолько быстро, что теплообменом с окружающей средой |
||||||||||||||||||
можно пренебречь, процесс сжатия газа считается адиабатным. |
|
|||||||||||||||||
Уравнение |
|
Пуассона: pV |
γ |
= Const , γ = |
Cp |
= |
i + 2 |
- показатель адиабаты. Cp |
– |
|||||||||
|
|
Cv |
i |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
теплоемкость при p=Const, Cv – теплоемкость при V=Const, i – число степеней свободы молекул газа. Для воздуха: i=5, γ=1,4.
p(Sdx)γ = p'(S(dx + dξ))γ p = p'(1 + dxdξ)γ
dxdξ <<1 - изменение объема мало, по сравнению с объемом. (1+ dxdξ)γ =1+ γ dxdξ +...
p'= |
|
p |
||||
1+ γ |
dξ |
|
|
|||
|
|
|
||||
1 |
dx |
|||||
|
|
|||||
|
≈1 − x (x <<1) |
|||||
1 − x |
||||||
|
|
|
|
|||
p'= p(1− γ dxdξ)
p=Const – давление газа.
dp' |
= −γp |
d2 ξ |
|
|||||||
dx |
dx 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
ρ |
d |
2 ξ |
= pγ |
d2 ξ |
||||||
dt 2 |
|
dx 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
d |
2 ξ |
= |
d2 ξ |
|
||||
υ2 |
dt 2 |
dx 2 |
||||||||
|
||||||||||
υ = γ ρp - скорость звука в газе.
Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона.
pV = |
m |
RT ρ = |
m |
|
p = |
ρ |
RT |
|
|
V |
M |
||||||
|
M |
|
|
|
||||
Отсюда: υ = |
γRT . |
|
|
|
||||
|
|
|
M |
|
|
|
||
Звук это упругиеr волны с частотой от 20 до 20 тысяч Гц.
ξ = ACos(ωt − krr + ϕ0 )
Интенсивность звука определяется квадратом амплитуды I~A2. Высота тона определяется частотой колебаний.
Тембр звука определяется спектром колебаний, т.е. набором частот волн, образующих данный звук.
Человеческое ухо воспринимает громкость звука по логарифмической шкале.
G 2 |
= lg |
I2 |
= 2lg |
A2 |
|
G1 |
I1 |
A1 |
|||
|
|
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.
Вопросы.
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.
1. Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура l равна скорости изменения потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, со знаком «минус».
r |
r |
|
∂ |
r |
r |
r |
r |
= − |
∂B |
||||||
∫Edl |
∂t |
∫BdS |
rotE = − |
∂t |
|||
l |
|
|
S |
|
|
||
rotE равен скорости изменения индукции магнитного поля со знаком «минус». Физический смысл: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.
2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна сумме тока проводимости и тока смещения через поверхность, ограниченную контуром.
r |
r |
r |
+ |
∂Dr r |
r r |
+ |
∂D |
|
∫Hdl |
= ∫(J |
∂t |
)dS |
rotH = J |
∂t |
|||
l |
|
S |
|
|
|
|
||
rotH равен сумме плотности тока проводимости и плотности тока смещения. Физический смысл: магнитное поле порождается током проводимости и переменным
электрическим полем.
Плотность тока смещения это производная по времени от вектора смещения. rJсм = ∂∂Dt
3. Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.
∫BdS = 0 divB = 0
S
divB равна нулю.
Физический смысл: в природе не существует магнитных зарядов, силовые линии магнитного поля замкнуты или приходят и уходят в бесконечность.
4. Поток вектора смещения электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен суммарному заряду внутри объема, ограниченного этой поверхностью.
r |
r |
r |
∫DdS = ∫ρdV |
divD = ρ |
|
S |
V |
|
divD равна плотности электрического заряда.
Физический смысл: источниками электростатического поля являются электрические заряды. Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных зарядах. Или приходят и уходят в бесконечность.
r |
|
ri |
|
|
rj |
|
|
kr |
|
|
|
∂A |
|
|
∂A y |
r |
|
∂A |
|
|
∂A |
r |
∂A y |
|
∂A |
r |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
rotA = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
z |
− |
|
)i |
+ ( |
|
x |
− |
|
z ) j + ( |
|
− |
|
x )k = |
|
|
∂x |
|
|
∂y ∂z |
|
∂y |
∂z |
∂z |
|
∂x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|||||||||||||||
|
Ax |
|
A y |
Az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= rotAx i + rotAy j |
+ rotAz k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
r |
∂A |
x |
|
|
∂A y |
|
|
∂A |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
divA = |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Система дифференциальных уравнений классической электродинамики
1. Уравнения Максвелла. |
|||||||
r |
|
|
r |
|
|
||
|
∂B |
|
|
||||
rotE = − |
|
|
|
|
|
||
∂t |
r |
||||||
|
|
||||||
r |
r |
|
|
|
|||
|
|
∂D |
|||||
rotH = J |
+ |
|
|
|
|
||
|
∂t |
||||||
r |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
divB = 0 |
|
|
|
|
|
||
r |
|
|
|
|
|
||
divD = ρ |
|
|
|
|
|
||
2. Уравнения связи. |
|||||||
r |
r |
|
|
|
|
||
D = εε0 E |
|
|
|
|
|||
r |
r |
|
|
|
|
||
B = μμ0 H |
|
|
|
|
|||
3. Граничные условия. |
|||||||
Eτ1 = Eτ2 |
= σ - электрическое поле. |
||||||
Dn 2 |
− Dn1 |
||||||
Hτ2 |
− Hτ1 |
= Jпов - магнитное поле. |
|||||
Bn1 |
= Bn 2 |
|
|
|
|
||
4. Уравнение непрерывности.
∂∂ρt + divrJ = 0 - ток возникает, если заряды движутся.
5. Закон Ома в дифференциальной форме. |
|||
r |
r |
|
|
J |
= gE |
|
|
6. Микроскопические уравнения. |
|||
r |
r |
|
|
J |
= qnυ |
|
|
r |
r |
r |
r |
F |
= qE + q[υ×B] |
||
7. Начальные условия.
Значения физических величин при t=0.
Волновое уравнение электромагнитного поля. Плоская электромагнитная волна. Скорость электромагнитных волн.
Вопросы.
Электромагнитные волны. Вывод дифференциального уравнения. Скорость электромагнитной волны. Показатель преломления. Уравнения для напряженности электрического поля и индукции (напряженности) магнитного поля. Соотношения между скоростью, напряженностью электрического поля и индукцией (напряженностью) магнитного поля.
|
Электромагнитные волны. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= − |
|
∂B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
rotE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
∂D |
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|||||||||
|
rotH = J |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = εε0 E |
B = μμ0 H |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∂t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divB = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divD = ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
rПредположим, |
|
|
что |
|
волна |
распространяется в |
среде, где нет свободных зарядов |
||||||||||||||||||||||||||
ρ = 0, J |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= −μμ0 |
|
∂H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
rotE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
r∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
∂E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
rotH = εε |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divH = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divE = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
r |
|
r |
r |
r |
||||
|
rot(rotE) |
= −μμ |
|
|
|
|
(rotH) = grad(divE) − 2 E = − |
2 E |
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
= |
∂2 |
+ |
|
∂2 |
|
|
+ |
|
|
|
∂2 |
- набла ( |
= 2 ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
∂x 2 |
|
∂y2 |
|
|
|
∂z |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
= |
2 D |
= εε |
|
∂2 E |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(rotH) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂t |
|
∂t 2 |
|
|
∂t 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
E = μμ |
εε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 ∂t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
c = |
|
1 |
|
|
= 3 108 м |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
μ0 ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n = |
με - показатель преломления. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
υ = nc - скорость света в среде.
|
2 r |
= |
|
1 |
|
|
∂2 E |
|
|
|
|
|
||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
υ2 |
|
∂t 2 |
|
rr |
|
|
|
|||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ϕ0 ) |
|
|
||||
E |
= Em Cos(ωt − kr |
|
|
|||||||||||||||||
Аналогично можно получить для H . |
|
|||||||||||||||||||
|
2 r |
|
|
|
1 |
|
∂2 H |
|
|
|
|
|
||||||||
|
H = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
υ2 |
|
∂t |
2 |
|
|
rr |
|
|
|
|||||||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ϕ0 ) |
|
|
|||
H = Hm Cos(ωt − kr |
|
|
||||||||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
r |
r |
|
|
|||||
E |
= E |
0ei(ωt−kr ) |
|
|
E0 = Em eiϕ0 |
|
|
|||||||||||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
r |
r |
|
|
H = H0ei(ωt−kr ) |
H0 |
= Hm eiϕ0 |
|
|
||||||||||||||||
Подставим E иrH в уравнения Максвелла. |
|
|||||||||||||||||||
|
r |
= −μμ0 |
|
∂H |
|
|
|
|
||||||||||||
rotE |
|
|
|
|
||||||||||||||||
r∂t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
= εε0 |
|
∂E |
|
|
|
|
|
||||||||||
rotH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divH = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
divE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
r |
|
|
|
r |
]ei(ωt |
|
r |
|
|
r |
r |
|
|||||||
−i[k |
×E0 |
−kr) |
|
= −iωμμ0 H |
0 ei(ωt−kr) |
|
||||||||||||||
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
r |
|
|||
−i[k |
×H0 |
]ei(ωt−kr) |
|
= iωεε0 E0ei(ωt−kr) |
|
|||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|||
rotA → −i[k ×A] |
|
|
|
|
||||||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||
[k ×Em ]= ωμμ0 Hm |
|
|
|
|||||||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
[k ×rHm ]= −r |
ωεεr 0 Em |
|
|
|||||||||||||||||
divA → −ikA |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
rr |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
kHm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
rr |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
kEm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|||||||
Следовательно, |
|
электромагнитные волны – поперечные волны. Hm Em |
- из второго |
|||||||||||||||||
уравнения.
kEm = ωμμ0 HmkHm = ωεε0 Em k = ωυ
ωυ Em = ωμμ0 Hm
ω
υ Hm = ωεε0 Em
υ = nc
nc Em = μμ0 Hm
nc Hm = εε0 Em
n = |
|
με c = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ0ε0 |
|
|
|
|
|
|
H |
|
= |
|
εε0 |
E |
|
B |
|
= μμ |
H |
|
= |
Em |
|||
|
m |
|
|
μμ |
0 |
|
|
m |
|
m |
0 |
|
m |
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
m |
= |
|
Em |
|
|
E |
m |
= υB |
m |
|
|
|
|
||
|
υ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Получили однозначную связь между напряженностью электрического поля и индукцией магнитного поля. υ - фазовая скорость электромагнитной волны в среде.