3.2. Кодирование чисел двоичным кодом

Исходные данные представляются обычно в привычных для человека десятичных числах. При программировании используется также и другая позиционная система счисления – шестнадцатеричная, дающая более компактное изображение чисел. Символами 16-ричной системы счисления являются 10 арабских цифр от 0 до 9 и 6 латинских букв: A = 10₁₀, B = 11₁₀, C = 12₁₀, D = 13₁₀, E = 14₁₀, F = 15₁₀, где нижний индекс показывает основание системы счисления, в которой записано данное число. Очевидно, что как для взаимного преобразования, так и обработки таких данных на ЭВМ необходима процедура кодирования.

Кодированием называется преобразование данных из одного алфавита в эквивалентный другой алфавит путём использования символов этого другого алфавита.

Целые десятичные числа кодируются числами системы счисления с основанием Р  10 путём последовательного деления десятичного числа на Р до тех пор, пока частное не окажется меньше Р. Остаток от i-го деления (i = 1, 2, …) при использовании символов Р-ичной системы счисления заносится в (i-1)-й разряд формируемого числа. Последнее частное образует старший (левый) разряд Р-ичного числа.

Дробная часть десятичных чисел представляется в системе счисления с основанием Р  10 путём последовательного умножения на Р. При этом целая часть j-го произведения (j = 1, 2, …) заносится в (-j)-й разряд дробной части Р-ичного числа, а оставшаяся дробная часть произведения вновь умножается на Р и т.д. Указанная процедура повторяется до тех пор, пока не будет обеспечено достаточное количество цифр Р-ичного числа или дробная часть не станет равной нулю.

Понятие веса разряда позволяет легко перейти от Р-ичных чисел к десятичным числам:

N₁₀ = a_m-1P^m-1 + a_m-2P^m-2 + … + a₁P¹ + a₀P⁰ + a_-1P^-1 + a_-2P^-2 + … + a_-sP^-s,

где а_i – значение i-го разряда целой (m-разрядной), а а_-i – (-i)-го разряда дробной (s-разрядной) части числа.

Переход от двоичных чисел к 16-ричным производится по следующему правилу. Двоичное число, начиная с младших разрядов, разбивается на тетрады (четверки символов), каждая из которых записывается символами 16-ричной системы счисления. Если длина числа не кратна четырём, то оно дополняется старшими нулевыми разрядами. Переход от 16-ричных чисел к двоичным производится в обратном порядке.

3.3. Логические основы построения эвм

Для анализа и синтеза (создания) цифровых систем используется математический аппарат алгебры логики. Алгебра логики – это раздел математической логики, все элементы (функции и аргументы) которой могут принимать только два значения: 0 и 1.

Функция, однозначно определяющая соответствие каждой совокупности значений аргументов нулю или единице, называется функцией алгебры логики (ФАЛ). ФАЛ представляет собой алгебраическое выражение, содержащее переменные-аргументы, связанные между собой логическими операциями. Любая ФАЛ состоит из одной или более элементарных ФАЛ. Элементарной называется ФАЛ одного или двух аргументов, в логическом выражении которой содержится не более одной логической операции. Основные из элементарных ФАЛ приведены в табл. 3.2. Старшей является операция инверсии, более младшей – операция конъюнкции, самой младшей – операции типа дизъюнкции.

Технически ФАЛ реализуются специальными электрическими схемами, называемыми логическими элементами. Название и условное графическое обозначение (УГО) логических элементов также приведены в табл. 3.2. Логические элементы изготавливаются в виде интегральных микросхем, причем один корпус микросхемы содержит, как правило, несколько независимых однотипных логических элементов.

С целью упрощения устройств цифровых систем или применения в них однотипных логических элементов, соответствующие ФАЛ преобразовывают, используя при этом законы и тождества алгебры логики:

• сочетательный закон: a(bс) = (аb) с, а(bс) = (аb)с,

а  (b  с) = (а  b)  с;

• переместительный закон: аb = bа, аb = bа, а  b = b  а;

• распределительный закон: а(bс) = (аb)(ас),

а(bс) = (аb)(ас), а(b с) = (аb) (ас);

• закон двойной инверсии: а = а;

• закон двойственности (правила де Моргана): аb = аb, аb = аb;

• закон поглощения: а  ас = а, a(ac) = a;

• закон склеивания: ас  ac = a, (aс)(ac) = a;

• тождества:

1) х  х = х, 4) х  х = 1, 7) х  1 = 1, 10) х  0 = х,

2) х  х = х, 5) х  х = 0, 8) х  1 = х, 11) х  0 = 0,

3) х  х = 0, 6)х  х = 1, 9) х  1 = х, 12) х  0 = х.

Здесь символ  обозначает операцию «дизъюнкция», символ  – операцию «конъюнкция», а символ  – операцию «сумма по модулю два».

Таблица 3.2. Основные функции и операции алгебры логики и их

техническая реализация

Операция	Логический элемент		Правило выполнения операции			Функция
	УГО	Название	a	b	y
Отрицание (инверсия)		НЕ (инвертор)	0 1		1 0	у =
Дизъюнкция		ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1	у = ab
Конъюнкция		И	0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	у = ab
Стрелка Пирса		ИЛИ-НЕ	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 0	у=ab = ab
Штрих Шеффера		И-НЕ	0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0	у=a | b = ab
Сумма по модулю 2		Исключающее ИЛИ	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0	у = a b = ab  ab
Равнозначность		Равнозначность	0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1	у=a∾b = a b = ab  ab