Mat_Analiz_Prokhorov

Лекция 27.

1. Пусть функция f - четная, f (x) f ( x), x . Рассмотрим несобственные интегралы Римана

Какие из следующих условий справедливы

a)сходимость первого интеграла влечет сходимость второго интеграла;

b)сходимость второго интеграла влечет сходимость первого интеграла;

c)оба интеграла сходятся или расходятся одновременно;

d)сходимость первого и второго интегралов не связаны между собой.

2. Пусть функция f - нечетная, f (x) f ( x), x . Рассмотрим несобственные интегралы Римана

Какие из следующих условий справедливы

a)сходимость первого интеграла влечет сходимость второго интеграла;

b)сходимость второго интеграла влечет сходимость первого интеграла;

c)оба интеграла сходятся или расходятся одновременно;

d)сходимость первого и второго интегралов не связаны между собой.

3. Пусть функция f - нечетная, f (x) f ( x), x , и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,b]. Верно ли, что несобственный интеграл Римана

f (x)dx

сходится в смысле главного значения?

4. Пусть функция f непрерывна на полуоси [a, ) и несобственный интеграл Римана

f (x)dx

a

сходится. Верно ли, что обязательно limx f (x) 0 ?

5. Пусть функция f непрерывна и монотонна на полуоси [a, ) и несобственный интеграл Римана

361

f (x)dx

a

сходится. Верно ли, что обязательно limx f (x) 0 ?

6. Пусть периодическая функция f непрерывна на числовой оси и не равна тождественно нулю. Может ли несобственный интеграл Римана

f (x)dx

сходиться?

7. Пусть функция f непрерывна на числовой оси, не равна тождественно нулю и периодична. Может ли несобственный интеграл Римана

f (x)dx

сходиться в смысле главного значения?

8. Пусть f еn 1 n [n 1,n) . Рассмотрим несобственный интеграл Римана

f (x)dx

0

и числовой ряд

е n

Какие из следующих условий справедливы

a)сходимость несобственного интеграла влечет сходимость числового ряда;

b)сходимость числового ряда влечет сходимость несобственного интеграла;

c)несобственный интеграл и числовой ряд сходятся или расходятся одновременно;

d)сходимость несобственного интеграла и числового ряда не связаны между собой.

362

Лекция 28.

1. Пусть для фиксированного a и любого b>a функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,b] и выполняется условие

Верно ли, что это условие является

a)необходимым;

b)достаточным;

c)необходимым и достаточным;

d)ни необходимым, ни достаточным для сходимости несобственного интеграла Римана

f (x)dx .

a

2.Пусть для фиксрованного a и любого b>a функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,b]. Рассмотрим несобственные интегралы Римана

f (x)dx .

a

Какое из следующих утверждений справедливо

a)сходимость первого интеграла влечет сходимость второго интеграла;

b)сходимость второго интеграла влечет сходимость первого интеграла;

c)оба интеграла сходятся или расходятся одновременно;

d)сходимость этих интегралов не связана между собой.

3.Пусть при фиксированном a и любом b>a функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,b]. Верно ли, что

несобственный интеграл Римана

f (x)dx

a

абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходятся несобственные интегралы Римана

aa

4.Пусть функция f непрерывна на [a, ) и несобственный интеграл Римана

363

f (x)dx

a

абсолютно сходится. Верно ли, что несобственный интеграл Римана

f 2 (x)dx

a

обязательно сходится?

5. Пусть функция f непрерывна на [a, )$ и несобственный интеграл Римана

f (x)dx

a

абсолютно сходится. Верно ли, что несобственный интеграл Римана

limx f (x)x log x 1.

Какое из следующих условий справедливо: несобственный интеграл Римана

f (x)dx

a

a)сходится;

b)расходится.

7.Пусть функция f непрерывна на [e, ) и несобственный интеграл Римана

f (x)dx

e

абсолютно сходится. Верно ли, что несобственный интеграл Римана

f (x)dx e log x

обязательно абсолютно сходится?

364

8. Пусть функция f непрерывна на [e, ) и несобственный интеграл Римана

f (x)dx

e

абсолютно сходится. Верно ли, что несобственный интеграл Римана

f (x)log xdx

e

обязательно абсолютно сходится?

365

Лекция 29.

1. Верно ли, что числовой ряд

е n1p

сходится при p > 1 и расходится при p 1? 2. Верно ли, что числовой ряд

е n log1 p n

сходится при p > 1 и расходится при p 1?

3. Пусть несобственный интеграл Римана

f (x)dx

a

условно сходится. Какое из следующих утверждений о несобственных интегралах Римана

f (x)dx и f (x)dx

aa

справедливо

a)оба сходятся;

b)оба расходятся;

c)один сходится, другой расходится;

d)возможны несколько из перечисленных случаев.

4.Пусть первый из несобственных интегралов Римана

f (x)dx и g(x)dx

aa

абсолютно сходится, а второй - условно сходится. Какое из следующих утверждений о несобственном интеграле Римана

( f g)(x)dx

a

справедливо

366

a)абсолютно сходится;

b)условно сходится;

c)расходится;

d)возможны несколько из перечисленных случаев.

5.Пусть оба несобственных интеграла Римана

f (x)dx и g(x)dx

условно сходятся. Какое из следующих утверждений о несобственном интеграле Римана

( f g)(x)dx

a

справедливо

a)абсолютно сходится;

b)условно сходится;

c)расходится;

d)возможны несколько из перечисленных случаев.

6.Пусть функции f и g монотонны на полуоси [a, ) и

Верно ли, что несобственный интеграл Римана

( fg )(x)dx

a

обязательно сходится?

7.Пусть функции f и g монотонны на полуоси [1, ) и числовой ряд

еg(n)

сходится. Верно ли, что несобственный интеграл Римана

( fg )(x)dx

a

обязательно сходится?

8. Пусть функции f и g монотонны и ограничены на полуоси [1, ) и числовой ряд

367

е g(n)

сходится. Верно ли, что несобственный интеграл Римана

( fg )(x)dx

a

обязательно сходится?

368

Лекция 30.

1. Пусть y L2 x; f - интерполяционный многочлен Лагранжа функции f для точек x0 , x1 и x2 . Верно ли, что для всех x R справедливы равенства

L2 x; f L2 x; f , R ,

и

L2 x; f g L2 x; f L2 x; g .

2.Пусть f x ax2 bx c , a 0 , и L2 - интерполяционный многочлен Лагранжа функции f для точек x0 , x1 и x2 . Какое из следующих утверждений справедливо

a)L2 x - многочлен второй степени, совпадающий с f;

b)L2 x - многочлен второй степени, не совпадающий с f;

c)степень многочлена L2 x меньше двух;

d)возможны несколько из перечисленных случаев.

3.Пусть f - четная функция, f x f x , x R, и L2 - ее интерполяционный многочлен Лагранжа для точек -1, 0 и 1. Верно ли, что L2 является четным многочленом?

4. Пусть f- нечетная функция, f x f x , x R , и L2 - ее интерполяционный многочлен Лагранжа для точек -1, 0 и 1. Верно ли, что L2 x kx с некоторым коэффициентом k?

369

Лекция 31.

1. Пусть f - линейная функция, f x ax b . Верно ли, что формула прямоугольников для функции f обязательно дает точное значение интеграла

b

f x dx.

a

2. Пусть f - линейная функция, f x ax b . Верно ли, что формула трапеций для функции f обязательно дает точное значение интеграла

b

f x dx.

a

3. Пусть f - квадратичная функция, f x ax2 bx c . Верно ли, что формула прямоугольников для функции f обязательно дает точное значение интеграла

b

f x dx.

a

4.Пусть f - квадратичная функция, f x ax2 bx c, a > 0 . Какое из следующих утверждений справедливо для погрешности r1n приближенного вычисления интеграла

b

f x dx.

a

по формуле трапеций

a)r11 > 0 ;

b)r11 0 ;

c)r11 0 ;

d)возможны несколько из перечисленных случаев.

370