Mat_Analiz_Prokhorov

Рис. 3. Иллюстрация интерполяционного многочлена первой степени L1, принимающего одинаковое с функцией f значение в точках a и b.

Заменяя под знаком интеграла Римана на отрезке [a, b] функцию f на L1, получим приближенное значение интеграла

Здесь значение (f(a) + f(b))/2(b a) является приближенным значением интеграла от функции f на отрезке [a, b], а r1 выражает погрешность приближения. Формула

311

называется формулой трапеций приближенного вычисления интеграла.

Прежде чем найти оценку погрешности приближения, создадим более общую формулу трапеций. Для этого разобьем отрезок [a, b] на n отрезков равной длины. Пусть P = {x0, x1, x2, ..., xn 1, xn} - такое разбиение,

xk a b n a k, k 0,1,..., n.

На каждом из отрезков k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, применим формулу (3).

Рис. 4. Иллюстрация интерполяционного многочлена первой степени L1, принимающего одинаковое с функцией f значение в точках xk.

312

В результате выводим формулу приближенного вычисления интеграла

ak 1 xk 1

является приближенным значением интеграла от функции f на отрезке [a, b], а r1n выражает погрешность приближения. Формула

также называется формулой трапеций приближенного вычисления интеграла. Именно ее будем принимать основной формулой трапеций.

4. Оценка погрешности формулы трапеций

Оценим погрешность r1n формулы трапеций (4).

313

Теорема 2 Пусть функция f дважды дифференцируема на отрезке [a, b] и на этом отрезке выполняется неравенство f

(x) M. Тогда справедлива следующая оценка погрешности r1n формулы трапеций приближенного вычисления интеграла Римана

r1n M b a 3 .

12n2

Доказательство. Пусть сначала n = 1. Оценим погрешность r1 = r11 формулы трапеций (3). Применяя оценку

погрешности приближения функции f ее интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени L1, произведем оценивание

В последнем интеграле совершим замену переменной по формуле

y x a b

2

Тогда

и интеграл легко вычисляется

314

Подставляя вычисленный интеграл в предыдущую цепочку неравенств, получим оценку r11 12M b a 3 ,

что доказывает теорему 2 для n = 1.

Для произвольного n применим найденную оценку на каждой части k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, отрезка [a, b] с заменой b a на длину k отрезка k, k = (b a)/n. Погрешность r1n формулы трапеций на отрезке [a, b] не превышает суммы погрешностей на каждом из отрезков k. Это соображение позволяет найти оценку

что заканчивает доказательство теоремы 2.

315

Лекция 32.

1. Формула Симпсона приближенного вычисления интегралов

2. Оценка погрешности формулы Симпсона

1. Формула Симпсона приближенного вычисления интегралов

Опишем метод приближенного вычисления интегралов Римана, основанный на замене подынтегральной функции f ее интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени.

Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b]. Середину отрезка [a, b] обозначим через c, c = (a + b)/2. Интерполяционный многочлен второй степени L2, принимающий одинаковые с функцией f значения в точках a, c и b, имеет вид

316

Рис. 1. Иллюстрация интерполяционного многочлена второй степени L2

Заменяя под знаком интеграла Римана на отрезке [a, b] функцию f на L2, получим приближенное значение интеграла

aa

и вычисляем интеграл

317

Формула (1) называется формулой Симпсона приближенного вычисления интеграла. Здесь значение

b a f a 4 f c f b

6

318

является приближенным значением интеграла от функции f на отрезке [a, b], а r2 выражает погрешность приближения.

Прежде чем найти оценку погрешности, создадим более общую формулу Симпсона. Для этого разобьем отрезок [a, b] на n отрезков равной длины. Пусть P = {x0, x1, x2, ..., xn 1, xn} - такое разбиение,

x a b a k, k 0,1,..., n .

Середину каждого из отрезков k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, обозначим через ck,

и на каждом из отрезков k применим формулу (1).

Рис. 2. Иллюстрация применения формулы Симпсона (1) на каждом из отрезков k

319

В результате выводим формулу приближенного вычисления интеграла

является приближенным значением интеграла от функции f на отрезке [a, b], а r2n выражает погрешность приближения. Формула

320