Mat_Analiz_Prokhorov

Лекция 26.

1. Интегрирование по частям в интеграле Римана

2. Замена переменной в интеграле Римана

3. Вторая теорема о среднем значении

1. Интегрирование по частям в интеграле Римана

В теории определенного интеграла мы вывели два метода интегрирования, основанные на обратном прочтении формул дифференцирования произведения и композиции двух функций. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, переведем эти правила в теорию интеграла Римана.

Теорема 1 Пусть функции f и g дифференцируемы на отрезке [a, b] и произведения f g и fg непрерывны на [a, b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям интеграла Римана

b b

( f ' g)(x)dx ( fg)(b) ( fg)(a) ( fg ')(x)dx.

a a

Доказательство. Так как функции f g и fg непрерывны на отрезке [a, b], то согласно формуле Ньютона-Лейбница интегралы Римана от этих функций совпадают с их определенными интегралами. В лекции 19 формула интегрирования по частям была доказана для определенных интегралов. Следовательно, при высказанных условиях на функции f и g она справедлива и для интегралов Римана, что заканчивает доказательство теоремы 1.

2. Замена переменной в интеграле Римана

Таким же образом переведем в теорию интеграла Римана формулу замены переменной, доказанную ранее для определенного интеграла.

Теорема 2 Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x = (t) имеет непрерывную производную на

отрезке [ , ] и отображает отрезок [ , ] на отрезок [a, b] так, что ( ) = a и ( ) = b. Тогда справедлива формула замены переменной в интеграле Римана

261

b

f (x)dx f ( (t)) ' (t)dt.

Доказательство. Дифференцируемая функция x = (t) непрерывна на отрезке [ , ], поэтому композиция f o

непрерывных функций f и и произведение ( f o ) ' непрерывны на [ , ]. Таким образом, оба интеграла в формулировке теоремы 2 существуют и в смысле Римана, и в смысле определенного интеграла. Согласно формуле Ньютона-Лейбница интегралы Римана от этих функций совпадают с их определенными интегралами. В лекции 19 формула замены переменной

была доказана для определенных интегралов. Следовательно, при высказанных условиях на функции f и она справедлива и для интегралов Римана, что заканчивает доказательство теоремы 2.

3. Вторая теорема о среднем значении

Среди элементарных свойств интеграла Римана доказанная в лекции 24 первая теорема о среднем занимает свое место. Более тонкие свойства интеграла Римана выражены в следующей теореме, известной под названием второй теоремы о среднем значении.

Теорема 3 Пусть функция f монотонна на отрезке [a, b], а функция g интегрируема по Риману на этом отрезке. Тогда существует точка [a, b] такая, что справедлива формула

Интегрируемая функция g ограничена, то есть для всех x [a, b] выполняется неравенство g(x) C с некоторым C 0.

Докажем теорему 3 для невозрастающей функции f. В случае неубывающей функции заменим f на невозрастающую функцию f с сохранением всех утверждений.

На первом этапе доказательства предположим, что f(x) 0 для всех x [a, b] и покажем, что существует точка [a, b] такая, что справедлива формула

b

( fg )(x)dx f (a) g(x)dx.

a a

262

Создадим разбиение P = {x0, x1, x2, ..., xn 1, xn} отрезка [a, b] с отрезками k = [xk 1, xk], k = 1, 2, ..., n, одинаковой длины, равной (b a)/n. Благодаря свойствам аддитивности и линейности интеграла Римана

Обозначим

Оценим Sn1

263

C b n a ( f (x1 ) f (x0 ) f (x2 ) f (x1 ) ... f (xn ) f (xn 1 ))

Перейдем в этом неравенстве к пределу при n и увидим, что

lim Sn 0.

n 1

Рассмотрим функцию

G(x) x g(t)dt.

a

Функция G непрерывна на отрезке [a, b], G(a) = G(x0) = 0, и по второй теореме Вейерштрасса достигает на [a, b] своего минимума и максимума. Обозначим

f(x0)G(x1) + f(x1)(G(x2) G(x1)) + ... + f(xn 1)(G(xn) G(xn 1)) =

264

G(x1)( f (x0 ) f (x1 )) G(x2 )( f (x1) f (x2 )) ... G(xn 1)( f (xn 2 ) f (xn 1)) G(xn ) f (xn 1)

n 1

еG(xk )( f (xk 1) f (xk )) G(xn ) f (xn 1 ).

k 1

Пользуясь тем, что f(xk 1) f(xk) 0 и f(xn 1) 0 и что m G(x) M, отсюда получим оценки для Sn2

Если f(a) = 0, то f = 0 тождественно на [a, b] и сформулированное утверждение становится очевидным. Теперь предположим, что f(a) > 0. Тогда поделим последние неравенства на f(a) и получим

Переходя в этих неравенствах к пределу при n , получим

265

Обозначим

b ( fg)(x)dx

a . f (a)

По теореме Коши о промежуточном значении непрерывная функция G принимает на отрезке [a, b] все промежуточные значения между минимальным m и максимальным M. В частности, найдется точка [a, b] такая, что

G( ) = , или иначе

b

( fg )(x)dx f (a)G( ) f (a) g(x)dx,

a a

что доказывает утверждение первого этапа теоремы 3.

На втором этапе рассмотрим общий случай произвольных значений f(x). Пользуясь тем, что f(x) f(b) 0, применим

результат первого этапа к произведению (f(x) f(b))g(x) монотонной функции y = f(x) f(b) и интегрируемой функции y = g(x) и получим

b b

( fg )(x)dx ( f (x) f (b) f (b))g(x)dx

aa

( f (x) f (b))g(x)dx f (b) g(x)dx

266

что заканчивает доказательство теоремы 3.

267

Лекция 27.

1. Несобственные интегралы Римана от нефинитных функций

2. Несобственные интегралы Римана от неограниченных функций

3. Линейные операции над несобственными интегралами Римана

1. Несобственные интегралы Римана от нефинитных функций

Конструкция интеграла Римана с первых шагов предполагала, что рассматриваются лишь финитные ограниченные функции

f, иначе не найдется ступенчатых функций fст таких, что fст f или fст f, с помощью которых строятся нижний или верхний интегралы.

Финитность функции f предполагает, что f =0 вне некоторого отрезка [a, b]. Ограниченность функции f означает выполнение на отрезке [a, b] неравенства f(x) M с некоторым M 0.

Оба ограничения могут быть преодолены операцией предельного перехода. Получающиеся в результате интегралы называются несобственными. Начнем с распространения понятия интеграла на случай функций, принимающих ненулевые значения на полуоси или оси.

Определение 1. Пусть при фиксированном a и любом b > a функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и существует предел

lim b f (x)dx.

b 0 a

Тогда этот предел называется несобственным интегралом Римана от функции f на полуоси [a, ) и обозначается

f (x)dx.

a

В этом случае говорят, что несобственный интеграл Римана сходится. В случае отсутствия предела несобственный интеграл Римана расходится.

268

Таким образом, по определению 1

Пример 1. Пусть a = 1 и f(x) = 1/x2. Одной из первообразных функции f является F(x) = 1/x. Вычислим

Таким образом, несобственный интеграл Римана

1 dx

1 x2

сходится и равен 1.

Рис. 1. Иллюстрация к Примеру 1 Аналогично определим интеграл на полуоси ( , b].

269

Определение 2. Пусть при фиксированном b и любом a < b функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и существует предел

lim b f (x)dx.

a a

Тогда этот предел называется несобственным интегралом Римана от функции f на полуоси ( , b] и обозначается

b f (x)dx .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл Римана сходится. В случае отсутствия предела несобственный интеграл Римана расходится.

Таким образом, по определению 2

Соединим определения 1 и 2 для рассмотрения несобственного интеграла на оси.

Определение 3. Пусть для любых a и b, a < b, функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и существует предел

lim b f (x)dx.

a b a

Тогда этот предел называется несобственным интегралом Римана от функции f на оси ( , ) и обозначается

f (x)dx .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл Римана сходится. В случае отсутствия предела несобственный интеграл Римана расходится.

Таким образом, по определению 3

270