3. Энергия электростатического поля заряженных проводников в вакууме
Энергия We электрического поля в объеме V равна (в СГСЭ)
We =
V
Здесь интеграл по всему объему V пространства вне проводников, т. к. внутри проводника Е = 0. Используем связь E = – grad φ и тогда
We =
V
Используем известное выражение из векторной алгебры для произведения трех векторов a(bc) = c(ab) – b(ac) и тогда получим
We = – +
V V
Полагаем, что в пространстве между заряженными проводниками (вне проводников) зарядов нет, следовательно, div Е = 0 и второй интеграл = 0.
Первый интеграл по объему согласно теореме Остроградского-Гаусса преобразуется в интеграл по поверхностям на проводниках и на бесконечно удаленной от проводников поверхности. Но на последней Е = 0 и потенциал φ на бесконечности принимаем равным нулю, φ∞ = 0.
Тогда, полагая потенциал на каждой поверхности n-ого проводника равным (или просто потенциал проводника) φa (a – 1……N – индекс n-ного проводника), а его заряд равным qа можно записать для We:
We = ,
Sa
Здесь интеграл по замкнутой поверхности проводника с индексом «а» Sa.
Так как, φа = const на поверхности проводника, следовательно, его можно вынести за знак интеграла, а и тогда
We = (3.5)
Можно ввести емкость по аналогии с (3.4)
qa = ,
где Caa – (при b = a) коэффициенты емкости, а Cab – (при b ≠ a) коэффициенты электростатической индукции.
Если ввести обратное выражение для потенциала через заряд, то
φa = ,
где коэффициенты составляют обратную матрицу матрице Cab .
Коэффициенты Cab = Cba , = , Caa > 0 и > 0 , а при a ≠ b Cab и < 0 .
Если меем только два проводника (обычный конденсатор), то полагая потенциал одного проводника равным нулю, например φ1 = 0 , а разность потенциалов φ1 – φ2 = U = φ2 , получим для We
We = C22U2. Известное вам выражение для энергии конденсатора имеет вид We = CU2 . Видно, что C22 = C.