раб.прогр

1.ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.

Целями учебной дисциплины «Математический анализ» является формирование математического мышления и фундаментальная математическая подготовка в области исследования функций и математических процессов на основе дифференциального и интегрального исчисления, рядов, обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений для дальнейшего применения полученных знаний при изучении специальных дисциплин на высоком уровне.

2.МЕСТО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО.

Учебная дисциплина «Математический анализ» относится к циклу

математических и естественнонаучных дисциплин.

3.КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ,

ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБРАЗОВАНИЯ И КОМПЕТЕНЦИИ СТУДЕНТА ПО ЗАВЕРШЕНИИ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ.

3.1. Знать и уметь использовать при изучении специальных дисциплин математические понятия и методы.

3.2.Иметь опыт и навыки решения задач по всем темам учебного материала рабочей программы.

3.3.Иметь представление:

—о формировании и развитии математических понятий и методов как процесса абстрактного отражения и способа математического описания реальных явлений в экономических и социальных отношениях на необходимом уровне управления;

—о применении математического аппарата для получения новых знаний

вобласти своей специальности при проведении научных исследований.

4.СТРУКТУРА И СОДЕРАЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСУИПЛИНЫ

4.1.Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц, 288

часов.

2

4.2.ОБЪЕМ УЧЕБНОЙ ДИСЦИЛИНЫ.

3

4.3.РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ.

4.4.СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ.

Раздел 1

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

1.1.Множества. Операции над множествами. Числовые множества. Грани множеств. Множества в R". Выпуклые множества и их свойства. Соответствие множеств. Счетные и несчетные множества. Отношения. Отношения тождества и упорядоченности.

[1, В, 1.1-1.4], [Доп.5,гл.1,§1, задачи 1-11,§2, задачи 12-22, §3, задачи 23-

30].

1.2. Функция. Функциональное отношение. Соответствие. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

[1, В, 2.1], [2, 10.1, задачи 10.1-10.55,10.2, задачи 10.56-10.851, [5,гл.1],[6,гл.1],[14,§11,12].

4

1.З. Числовые последовательности. Предел числовой

последовательности. Стабилизация десятичных знаков у членов последовательности, имеющей предел.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Свойства сходящихся последовательностей.

П,В, 2.2, 2.31, |2, 11.1, задачи 11.1-11.18], [5, гл.2],[6, гл.2],[14, §17]. 1.4.Алгебраические композиции числовых последовательностей и их пределы. Композиции с неопределенностью. Признаки существования предела монотонной ограниченной последовательности. Первый и второй замечательные пределы. Лемма Кантора. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Признак Больцано-Коши. *

[l,В, 2.4,2.5], [2, 11.2, задачи 11.19-11.31], [5, гл. 3], [6, гл. 3].

1.5. Монотонные функции. Композиция и суперпозиция функций. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Типы разрывов.

[1, В, 3.1, 3.2], |2, 11.3, задачи 11.32-11.45, 11,5, задачи 11.5411.58], [5, гл. 4], [6, гл. 41 |Доп. 5, гл.4, §2, ,задачи 213-305), [14, §13-18], [15, 2.1]

1.6. Сравнение бесконечно малых функций. [2, П.4, задачи 11.46-11.53], [Доп. 5, гл.4, §3, задачи 306-376].

2.7.Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. [1,В,3.3], [5,гл.4], [6, гл.4].

5

Раздел 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Производная функции, ее геометрический смысл и смысл в прикладных задачах (скорость, плотность). Эластичность функции. [1, В, 4.1,

4.3], [Доп. 5, гл.5, §1, задачи 1-10], [14, §19 ].

2.2.Правила нахождения производной. Производная сложной и обратной

функции. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

[1, В, 4.21, [2, 12.1, задачи 12.1-12.75, 12.6, задачи 12.138-

12.149], [Доп. 5, гл.5, §2, задачи 11-145], [14, §20-24].

2.3. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал

функции и его геометрический смысл.

[1, В, 4.4], [Доп. 5, гл.5, §3, задачи 146-161],[5, гл. 5,6], [6,гл. 5,61, [14,

§25,26], [15,2.2].

2.4. Производные и дифференциалы высших порядков.[1, В, 4.5], [2, 12.2, задачи 12.76-12.96, 12.5, задачи 12.115-12.137],[5, гл. 7], [6, гл.7], [14,

§27].

2.5.Теоремы Ферма, Ролл я, Лагранжа. Коши, их применение. Правило Лопиталя.

[1, В, 4.6], [Доп. 5, гл.5,§6, задачи 212-266], [2, 12.7, задачи 12.15012.197], [5, гл. 8],

2.6.Многочлен и формула Тейлора. Представление функций ехр(х), sin(x), cos(x), 1п(1+х) по формуле Маклорена.

[1, В, 4.7], [Доп. 5, гл.5, §6, задачи 2.67-2.79], [2, 12.7, задачи 12.19812.2041, [5, гл. 8], [6, гл. 8],[14, § 30-32].

6

Раздел 3 ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ

ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ

3.1.Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке.

[1, В, 4.8], [2, 12.7, задачи 12.205-12.244], [14, § 33-36].

3.2.Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. [1, В, 4.8], [2, 12.7, задачи 12.245-12.2531, [14, § 37].

3.3. Асимптоты функций.

[1, В, 4.9J, [2, 12.7, задачи 12.254-12.261], [14, § 38].

3.4.Общая схема исследования функции и построения ее графика. [2, 12.7, задачи 12.262-12.290], [5, гл. 9], [6,гл. 9], [14, §39], 415,2.3].

3.5.Уравнение касательной и нормали к плоской кривой в данной точке. [2, 12.3, задачи 12.97-12.109J, [14, § 28].

Раздел 4 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.1.Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов.

[1, В, 6.1], [2, 14.1, задачи 14.1-14.17], [Доп. 5, гл.6, §1], [5, гл. 11], [6, гл. 11], [14, §40], [15, 3.1].

4.2.Методы интегрирования. Замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных выражений, тригонометрических функций, некоторых иррациональных функций. Понятие о неберушихся интегралах.

[1, В, 6.2], [Доп. 2, гл.10, 10.9], [2, 14.2, задачи 14.18-14.154], [5, гл. 11],[6, гл. 111, [Доп. 5. гл.6, §2,задачи 1-253], [14, §41-45], [15, 3.11].

7

Разделе 5 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

5.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства.

[1, В, 7.1, 7.2], [5, гл. 12], [6, гл. 12], [14, §46], [15, З.2.].

5.2.Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для - вычисления определенных интегралов. [1, В, 7.3], [2, 15.1, задачи 15.1-15.21], [14, §47], [15,3.2.2].

5.3.Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям. [1, В, 7.3], [2, 15.2, 15.3. задачи 15.22-15.411,114, §48].

5.4. Приложения определенных интегралов.

[1. В. 7.4], [2, 15.4. задачи 15.42-15.67], [5, гл. 12]. [6, гл. 12], Ц4, §50],[ 15, 3.2.3].

5.5.Несобственные интегралы. Интегрирование неограниченных функций и по бесконечному промежутку. Несобственные интегралы от положительных функций. Признаки сравнения.

[1, В, 8.1-8.3], ]2, 15.5, задачи 15.68-15.104-], [5, гл. 13], [6, гл. 13], [14, §49].

5.6. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисле-''ние кратных интегралов повторным интегрированием.

[1, В, 9.1-9.3], [2, 15.6, задачи 15.105-15.1201, [5, гл. 14], [6. гл. 14],[14,§68,69],[15, 3.4].

Раздел 6 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

6.1.Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.

[1,В, 5.1], [2, 13.1, задачи 13.1-13.21], [5, гл. 10], [6, гл. 10], [14, §511,[15,3.3].

8

6.2.Частные производные. Полный дифференциал, его геометрический

смысл, связь с частными производными, применение в приближенных

вычислениях.

[1, В, 5.2], [2, 13.2, задачи 13.22 - 13.42, 13.3, задачи 43.59-13.76], [14, §52].

6.3.Частные производные и полные дифференциалы выевших порядков. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования. [1, В, 5.3], [2, 13.4, задачи 13.77-13.99], [14, §52].

6.4.Производная по направлению. Градиент и его свойства. [2, 13.2, задачи 13.43-13.58], 15. гл. 10], [6, гл. 10], [14, §53].

6.5.Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области. [1, В, 5.4], [2, 13.5, задачи 13.100-13.107], [14, §53].

6.6.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений. [1, В, 5.4], [2, 13.6, задачи

13.108-13.115], 114, §53].

Раздел 7 РЯДЫ

7.1.Понятие числового ряда и его сходимости. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов.

[1,В, 10.1], [2, 17.1, задачи 17.1-17.14, [14, §58].

7.2. Признаки сходимости рядов: общий признак, признак сравнения, признак Коши, признак Даламбера, интегральный признак Коши. [1, В, 10.2], [2, 17.2, задачи 17.15-17.37], [14, §59], [15, 5.2],

7.3. Понятия знакопеременного ряда, абсолютно сходящегося ряда, условно сходящегося ряда. Теорема Дирихле.Теорема Римана.[1, В, 10.2], [2„ 17.3, задачи 17.38-17.4], [14, §60].

7.4.Понятие знакочередующегося ряда. Признак Лейбница. '"^\[1, В, 10.2], [Доп. 5, гл.8, §3, задачи 86-102], [15, 5.3, 5.4]. Т

9

7.5.Понятие функционального ряда. Область сходимости. Критерий

Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.

[1, В, 11.11, [2, 17.4 задачи 17.47-17.561, ]14, §611.

7.6.Свойства равномерно сходящихся рядов. [1.B, 11-2].

7.7.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и ^способы его определения. Свойства степенных рядов. В, 11.3], [2, 17.5, задачи 17.5717.69], [15,5.5].

7.8.Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

[1, В, 11.4].

7.9. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов к приближенным

вычислениям.

[1, В, 11.5], [2, 17.6, задачи 17.70-17.1011, [14, §62], [15, 5.6, 5.7].

Раздел 8 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

8.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия: определение, решение, общее решение, частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании и единственности решения (без доказательства).

Интегральная кривая. Начальные условия. Задача Коши. Особые точки. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Элементы качественного анализа.

[Доп. 1, гл.18, 18.1], [Доп. 2, гл.12, 12.1, 12.2, 12.3J, [2, 16.1, задачи 16.1- 16.12], [11, 0.1, 0.2; гл. 1, §1-4; гл. 2, §1ъ, [12, 1.1].

8.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Виды уравнений и методы решения. Уравнения с разделяющимися переменными. Неполные уравнения. Линейные уравнения, однородные и неоднородные.

10