Konspekt_SM_3

Внешние нагрузки, действующие на балку, сводятся к сосредоточенным силам Р (кН, МН), парам сил М (кН·м, МН·м) и равномерно или неравномерно распределенным по длине балки нагрузкам с интенсивностью q (рис.4.7, а).

Равномерно распределенные нагрузки характеризуют их интенсивностью q, т.е. величиной нагрузки, приходящейся на единицу длинны балки, и выражают в килоньютонах на метр, мега ньютонах на метр (кН/м, МН/м).

Интенсивность неравномерного распределения нагрузки меняется по длине балки и обозначается q(z).

Способы вычисления опорных реакций изучают в курсе теоретической механики. Поэтому остановимся здесь на некоторых практических вопросах.

1 Опоры обычно обозначают буквами А и В. Три неизвестные реакции можно найти из следующих уравнений равновесия:

а) сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю:

å X =0 или å FKX =0 , откуда находят НА ( или ХА);

б) сумма моментов всех сил относительно шарнира А равна нулю:

åM A =0 , откуда находят RB;

в) сумма моментов всех сил относительно шарнира В равна нулю: å M B =0 , откуда находят RА.

2 Если на балку действует распределенная нагрузка, то для определения реакций её заменяют равнодействующей, которая равна площади эпюры нагрузки и приложена в центре тяжести этой эпюры.

3 Найденные реакции обязательно следует проверить, для чего удобно

использовать или равенство нулю суммы проекции всех сил на вертикальную ось åY =0 , или условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно

какой-либо точки С, отличной от А и В, т.е.

åMC =0 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

При воздействии внешних нагрузок в любом сечении балки, например в сечении I-I (см. рис.4.7, б), могут возникнуть два усилия: поперечная сила Q1 и изгибающий момент M1.

Поперечная сила Q равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных

с одной стороны от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси балки.

Изгибающий момент M равен сумме моментов всех внешних сил с одной стороны от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести этого сечения.

Установим следующие правила знаков для Q и M в балках при изгибе.

Поперечная сила Q в сечении считается положительной, если внешняя

сила стремится повернуть отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 4.8).

Рисунок 4.8

Изгибающий момент M в сечении считается положительным, если он вызывает сжатие верхних волокон балки (рис. 4.9).

Учитывая правила знаков для M , следует подчеркнуть, что эпюру изгибающих моментов строят на сжатых волокнах.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.2 Построение эпюр Q и М в балках

Рассмотрим порядок построения эпюр Q и М для наиболее характерных случаев нагружения балок.

Пример 1. Сосредоточенная сила на свободном конце консоли

Балка (рис.4.10) имеет лишь один участок. Начало координат выбираем в крайней левой точке А балки, ось z направляем вдоль оси балки вправо.

Рисунок 4.10

Вычисляем Q и М в произвольном сечении K с абсциссой z. Справа от рассматриваемого сечения действует только одна сила Р, поэтому

Как видно из этих уравнений, поперечная сила одинакова во всех сечениях балки, поэтому эпюра Q имеет вид прямоугольника. Функция М(z) линейна. Для построения ее графика достаточно получить две точки – в начале и в конце участка:

- при z=0 (сечение А) МА = - Рl; - при z=l (сечение В) МВ = 0.

По этим данным строим эпюру М. Заметим, что положительные ординаты эпюр Q и М откладываем вверх от базы.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

На рис. 4.10 штриховой линией АВ1 показана балка в деформированном состоянии. Как видно из рисунка, сжаты нижние волокна балки. Если совместить базисную линию эпюры изгибающих моментов с осью балки, то эпюра М окажется как бы построенной на сжатых волокнах.

Пример 2. Равномерно распределенная нагрузка на консоли (рис. 4.11)

Поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении К будем вычислять как результат действия распределенной нагрузки, расположенной слева от сечения:

Q(z)= - q × AK = - qz.

M (z)= - q × AK × AK = - q z2 . 2 2

Следовательно, поперечная сила Q(z) изменяется по закону прямой линии, а изгибающий момент M(z) – по параболическому закону. Для построения эпюры Q вычисляем ординаты в двух точках

и соединяем эти точки прямой (см. рис.4.11).

Учитывая, что эпюра М криволинейна, для ее построения вычисляем ординаты в трех сечениях:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

и проводим через полученные три точки кривую – параболу.

Пример 3. Нагрузка, равномерно распределенная по всей длине пролета двухопорной балки (рис. 4.12)

y

Рисунок 4.12

В данном случае необходимо сначала определить опорные реакции, для чего составим уравнения равновесия, а именно суммы моментов всех сил относительно опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна ql, а

линия ее действия проходит через середину балки. Поэтому

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Прежде всего, найдем опорные реакции:

Реакции найдены правильно.

Вычисляем Q и М в произвольном сечении К1, расположенном на участке

АС:

Следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинаковы и эпюра Q имеет вид прямоугольника.

Изгибающий момент М(z) изменяется по линейному закону:

M (z)= RAz1 = Pbl z1.

Для построения эпюры вычисляем ординаты на границах участка:

Как и на участке АС, эпюра Q на участке СВ также имеет вид прямоугольника. Для построения эпюры М находим значения ординат в точках

С и В:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ma

l

Рисунок 4.14

Находим опорные реакции, направив их вверх:

å M B =0; RAl− M =0;

åM A =0; RBl− M =0.

Из уравнений находим RA = − Ml ; RB = Ml .

M M

Сделаем проверку: åY =0; RA + RB =0; − l + l =0.

Реакции найдены правильно.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Меняем направление RA на обратное. Отметив на участках АС н СВ

произвольные сечения К1 и К2, записываем уравнения для функций Q и М : - для участка АС (0 ≤ z1 ≤ a )

Q( z )= - RA = - Ml ; M( z )=- RAz = - Ml z ;

- для участка СВ (a ≤ z2 ≤l)

Q( z )= - RB = - Ml ; M( z )= RB × K2B =- Ml ( l - z ).

На основании этих уравнений строим эпюры Q и М. Эпюра М расположена частично под осью, частично над осью. Поскольку она построена на сжатых волокнах, видим, что на участке АС сжаты нижние волокна балки, а на участке СВ – верхние. Этому соответствует изображенная штриховой линией деформированная ось балки.

Нетрудно видеть, что прямые на эпюре М на участках АС н СВ параллельны. Обратим внимание на то, что там, где приложен внешний момент (сечение С), на эпюре Q изменений нет, а функция М(х) претерпевает разрыв, и на эпюре M получается скачок, равный по величине внешнему моменту.

В частном случае, когда момент приложен в опорном сечении, на основании приведенных выше формул при а=0 получим эпюры, изображенные на рис. 4.15.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5 ИЗГИБ. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР

5.1 Дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки q, поперечной силой Q и изгибающим моментом M

Пусть брус закреплен произвольным образом (рис.5.1) и нагружен в общем случае распределенной нагрузкой интенсивности q = f ( z ).

Принятое направление для q , совпадающее с осью у, будем считать положительным.

Выделим на участке, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый отрезок О1О2 длиной dz (см. рис.5.1, б). Он находится в равновесии под действием внешней нагрузки, а также поперечных сил и изгибающих моментов, приложенных в сечениях О1 и О2.

Поскольку в общем случае внутренние усилия меняются вдоль оси балки, то в сечении О1 примем их равными Q и M , а в сечении О2 несколько большими: Q + dQ , M + dM . Внутренние усилия, как обычно, изобразим в

положительном направлении. В пределах малого отрезка dz будем считать нагрузку q распределенной равномерно.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com