Решение_01

9

Контрольная работа №1

Задание 1.1

Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью =104 н/м, один конец которой закреплен, а на другом находится тело массой =1,1 кг. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого сопротивления =0,64 кг/с. Смещение тела из положения равновесия равно =13 см.

НАЙТИ:

1. амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;

2. частоту и период затухающих колебаний системы;

3. уравнение огибающей кривой колебаний;

4. смещение, скорость и ускорение тела в момент времени =4 с для затухающих колебаний.

Построить графики смещений свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через величину отклонения тела от положения равновесия в произвольный момент времени .

Рассмотрим силы, действующие на колеблющееся тело [1]:

Во-1-х, это – упругая сила пружины , которая пропорциональна величине отклонения тела от положения равновесия и величине жесткости пружины . Знак «–» показывает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению отклонения.

Во-2-х, это – сила вязкого трения , которая пропорциональна величине скорости и коэффициенту вязкого сопротивления . Знак «–» показывает, что сила направлена в сторону, противоположную вектору скорости движения тела.

Тогда уравнение движения тела на основании второго закона Ньютона может быть записано в виде

, (1)

где – ускорение.

Преобразуем уравнение (1), перенося все слагаемые в левую часть, разделив на и введя обозначения:

, .

Получим вместо (1) уравнение

, (2)

Уравнение (2) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Из условий задачи следует, что уравнение (2) нужно решать для начальных условий вида:

(начальное смещение); (3)

(начальная скорость). (4)

В случае отсутствия сопротивления среды () уравнение (2) принимает вид

, (5)

которое описывает свободные колебания механической системы.

Решая дифференциальное уравнение (5) с условиями (3), (4) в системе maxima [2], получим

(%i1) assume(w0>0);

(%o1) [w0 > 0]

(%i2) ode2('diff(x,t,2)+w0^2*x = 0, x,t);

(%o2) x = %k1 sin(t w0) + %k2 cos(t w0)

(%i3) ic2(%o2,t=0,x=x0,'diff(x,t)=0);

(%o3) x = cos(t w0) x0

Откуда следует, что решение задачи (5), (3), (4) имеет вид

. (6)

Выражение (5) представляет собой синусоидальную зависимость с круговой частотой и амплитудой . Подставляя числовые значения исходных данных, получим:

амплитуду свободных колебаний механической системы 0,13 м;

частоту свободных колебаний механической системы

1,5475 Гц;

период свободных колебаний механической системы

0,6462 с.

График функции (6) (смещений свободных колебаний системы) в зависимости от времени представлен на рисунке 1 (значения по оси ординат указаны в м).

Рисунок 1

Решая дифференциальное уравнение (2) с условиями (3), (4) в системе maxima, получим

(%i1) assume(w0>0);

(%o1) [w0 > 0]

(%i2) assume(b>0);

(%o2) [b > 0]

(%i3) assume(w0-b>0);

(%o3) [w0 > b]

(%i4) ode2('diff(x,t,2)+2*b*'diff(x,t)+w0^2*x = 0, x,t);

2 2

- b t t sqrt(4 w0 - 4 b )

(%o4) x = %e (%k1 sin(--------------------)

2

2 2

t sqrt(4 w0 - 4 b )

+ %k2 cos(--------------------))

2

(%i5) ic2(%o4,t=0,x=x0,'diff(x,t)=0);

2 2

- b t t sqrt(4 w0 - 4 b )

(%o5) x = %e (cos(--------------------) x0

2

2 2

2 2 t sqrt(4 w0 - 4 b )

b sqrt(4 w0 - 4 b ) sin(--------------------) x0

2

- -------------------------------------------------)

2 2

2 b - 2 w0

Откуда следует, что решение задачи (2), (3), (4) имеет вид

, (7)

где .

Частота затухающих колебаний системы

1,5468 Гц;

период свободных колебаний механической системы

0,6465 с.

Множитель в выражении (7) представляет собой огибающую кривой колебаний.

Смещение, скорость и ускорение тела в момент времени =4 с для затухающих колебаний получим по выражению (7) в maxima, выполняя дифференцирование выражения (7) (для скорости и ускорении) и подставляя числовые значения параметров:

(%i1) x(t):=exp(-b*t)*x0*(cos(w*t)+b/w0*sin(w*t));

b

(%o1) x(t) := exp((- b) t) x0 (cos(w t) + -- sin(w t))

w0

(%i2) define(x1(t),diff(x(t),t));

- b t b w cos(t w)

(%o2) x1(t) := %e (------------ - w sin(t w)) x0

w0

- b t b sin(t w)

- b %e (---------- + cos(t w)) x0

w0

(%i3) define(x2(t),diff(x(t),t,2));

2

- b t b w sin(t w) 2

(%o3) x2(t) := %e (- ------------- - w cos(t w)) x0

w0

2 - b t b sin(t w)

+ b %e (---------- + cos(t w)) x0

w0

- b t b w cos(t w)

- 2 b %e (------------ - w sin(t w)) x0

w0

(%i4) k:104; m:1.1; mu:0.64; x0:0.13; T:4;

(%i5) w0:sqrt(k/m); b:mu/(2*m); w:sqrt(w0^2-b^2);

(%i6) x(T);

(%o6) 0.01669190247989552

(%i7) x1(T);

(%o7) - 0.3648095917332507

(%i8) x2(T);

(%o8) - 1.365890653818048

Таким образом, смещение, скорость и ускорение тела в момент времени =4 с для затухающих колебаний соответственно равны:

0,0167 м, –0,3648 м/с, –1,3659 м/с².

График функции (7) (смещений затухающих колебаний системы) в зависимости от времени представлен на рисунке 2 (пунктиром показана огибающая кривой колебаний).

Рисунок 2

ОТВЕТ:

1. 0,13 м; 1,547 Гц; 0,646 с;

2. 1,5468 Гц; 0,6465 с;

3. ;

4. 0,0167 м, –0,3648 м/с, –1,3659 м/с².

Задание 1.2

Подводная лодка водоизмещением =1170 т движется горизонтально со скоростью 22 км/ч на глубине 260 м. Средняя плотность лодки кг/м³. В момент лодка начинает всплытие. Сопротивлением воды пренебречь.

ОПРЕДЕЛИТЬ:

1. время , когда лодка всплывет на поверхность моря;

2. расстояние , которое пройдет лодка в горизонтальном направлении в момент всплытия;

3. вертикальную скорость лодки;

4. траекторию движения подводной лодки в координатах ;

5. тип соответствующей кривой.

Плотность воды принять равной  кг/м³. Сделать чертеж.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через объем подводной лодки в м³. Тогда , где – плотность воды. Масса лодки во время всплытия может быть определена произведением . На лодку вертикально вверх действует выталкивающая сила Архимеда [3] , где – ускорение свободного падения. Также в вертикальном направлении – но уже вниз – на лодку действует сила тяжести (вес лодки) . Положительная разность сил и обеспечивает подъем лодки в вертикальном направлении . Уравнение движения лодки по координате может быть записано в виде

, (1)

где – ускорение движения лодки в вертикальном направлении ( отсчитывается от поверхности моря вглубь моря). То, что показывает, что лодка должна всплывать.

Перенесем отсчет времени на момент и запишем задачу Коши для уравнения (1) в виде

,

или , (1)

, (вертикальная скорость в начальный момент). (2)

Решим задачу (1), (2) в математическом пакете maxima [2]:

(%i1) ode2('diff(h,t,2) =(r1-r0)/r1*g, h,t);

2

(r1 - r0) t

(%o1) h = ------------ g + %k2 t + %k1

2 r1

(%i2) ic2(%o1,t=0,h=H,'diff(h,t)=0);

2

(r1 - r0) t

(%o2) h = H + ------------ g

2 r1

Откуда, следует, что выражение глубины погружения в зависимости от скорректированного времени имеет вид

. (3)

Момент времени , когда лодка всплывет на поверхность моря, определим по значению из выражения (3) при котором . Решая уравнение

,

получим . Подставляя числовые значения параметров, получим

17,3 с. (4)

Таким образом, 17,3 с.

На рисунке 3 показан график зависимости при изменении времени от до .

По горизонтали лодка перемещается равномерно со скоростью . Следовательно, зависимость от времени можно представить линейной связью

. (5)

Подставляя в (5) время всплытия , получим расстояние , которое пройдет лодка в горизонтальном направлении от начала до окончания этапа всплытия

22000/3600 ∙ 17,3105,7 м.

Рисунок 3

Для нахождения вертикальной скорости лодки достаточно продифференцировать по выражение (3)

–1,7 м/с (6)

(отрицательное значение показывает, что глубина с течением времени уменьшается).

Выражая из (5) время через координату и подставляя это выражение в (3), получим связь между глубиной и горизонтальным расстоянием от точки начала всплытия

. (7)

Подставляя числовые значения параметров, получим

. (8)

Форма зависимостей (7), (8) показывает, что график соответствующей кривой имеет форму параболы. На рисунке 4 представлен этот график в интервале изменения от 0 до .

Рисунок 4

ОТВЕТ:

1. 17,3 с;

2. 105,7 м;

3. –1,7 м/с;

4. ;

5. тип кривой – парабола.

Список литературы

1. Кингсеп, А.С. Основы физики: Курс общей физики : Учебник для вузов. Т.1. Механика,электричество и магнетизм,колебания и волны,волновая оптика / А.С. Кингсеп, Г.Р. Локшин, О.А. Ольхов.– М. : Физматлит, 2001.– 560с.

2. URL: http://maxima.sourceforge.net/documentation.html

3. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика : Учеб.пособие:В 10 т. Т.VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц – М. : Физматлит, 2001.– 736с