metritchni_proct

будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть d(xn+p, xn) < < 3ε, а також iснує номер n2 такий, що для всiх n > n2 вико-

нується нерiвнiсть d(xn, yn) < 3ε. Нехай n◦ = max(n1, n2). Тодi

для будь-якого n > n◦ i будь-якого натурального p одночасно виконуються три нерiвностi

а отже,

d(yn, yn+p) ≤ d(yn, xn) + d(xn, yn+p) ≤

≤d(yn, xn) + d(xn, xn+p) + d(xn+p, yn+p) < ε.

Аце й означає, що послiдовнiсть (yn) фундаментальна.

1.130. Вказiвка. Використати необхiдну i достатню умову збiжностi числового ряду i нерiвнiсть трикутника.

1.131. Вказiвка. Послiдовнiсть (xk) = (xk1, xk2, . . . , xkn) точок простору Rn з евклiдовою метрикою фундаментальна тодi i тiль-

слiдовнiсть (n); д) повний; е) повний. Вказiвка. У цьому просторi фундаментальними є тiльки фiнально сталi послiдовностi; є) повний. Вказiвка. Нехай (nk) — фiнально стала послiдовнiсть натуральних чисел, тобто iснує k◦ таке, що для всiх

261

k ≥ k◦ nk◦ = . . . = n◦. Тодi для будь-якого k > k◦ i будь-якого натурального p d(nk+p, nk) = 0, тобто така по-

слiдовнiсть фундаментальна, а отже, збiжна. Якщо ж у послiдовностi (nk) для будь-якого k◦ iснують k > k◦ i натуральне p

1

такi, що nk =6 nk+p, то d(nk, nk+p) = 1 + nk + nk+p > 1, тобто така послiдовнiсть нефундаментальна. Звiдси маємо, що кожна

фундаментальна послiдовнiсть збiжна, i простiр повний; ж) неповний. Вказiвка. Розглянути послiдовнiсть (n); з) повний; и) повний.

1.133. Умови накладенi на функцiю f є гарантом того, що композицiя d◦f є метрикою (див. 1.2) Позначимо її через d1. Оскiльки функцiя f зростаюча i неперервна на промiжку [0; +∞), причому f(0) = 0, то обернена функцiя f−1 буде зростаючою i неперервною i f−1(0) = 0 (у точцi x = 0 мова йде про неперервнiсть справа). Тодi для будь-якого ε > 0 iснує δ > 0 таке, що для всiх x, якi задовольняють нерiвнiсть 0 ≤ x < δ, виконується нерiвнiсть f−1(x) < ε. Нехай (xn) довiльна фундаментальна послiдовнiсть точок простору (R, d1), де d1 = d◦f. Тодi для обраного δ iснує номер n◦ такий, що для будь-якого n > n◦ i будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть d1(xn, xn+p) < δ. Звiдси одержимо, що

d(xn, xn+p) = f−1(f(d(xn, xn+p)) = f−1(d1(xn, xn+p)) < ε,

тобто послiдовнiсть (xn) буде фундаментальною у просторi (R, d). А оскiльки простiр (R, d) повний, то послiдовнiсть (xn)

Цим повнота простору (R, d1) доведена.

1.134. Вказiвка. Перевiрити, що з фундаментальностi послiдовностi точок простору (R2, di) випливає фундаментальнiсть

262

послiдовностей вiдповiдно перших i других координат i скористатись повнотою простору R з природною метрикою.

1.135. Вказiвка. Показати, що простiр (R2, dϕ) i простiр R з евклiдовою метрикою iзометричнi.

1.136. Нехай (fn) — фундаментальна послiдовнiсть точок простору B(E). Тодi для будь-якого ε > 0, зокрема для 2ε, iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ i будь-якого натурального p виконується нерiвнiсть d(fn, fn+p) < 2ε. А оскiльки для кожного x◦ E

то кожна числова послiдовнiсть (fn(x◦)) є фундаментальною, а

отже, збiжною, тобто iснує lim fn(x◦). Позначимо через f◦(x)

n→∞

Залишається показати, що f◦ B(E). Нехай n обрано так, що

sup |fn(x) − f◦(x)| < ε, i нехай для всiх x E |fn(x)| ≤ M.

x E

Тодi для всiх x E

|f◦(x)| ≤ |f◦(x)−fn(x)|+|fn(x)| ≤ sup |f◦(x)−fn(x)|+M ≤ ε+M,

x E

тобто функцiя f◦(x) обмежена. Отже, кожна фундаментальна послiдовнiсть точок простору B(E) є збiжною.

1.137. Розв’язання. Розглянемо послiдовнсiть точок з l2

1 x1 = ln2 2, 0, 0, . . . ,

263

1.138. Розв’язання. Розглянемо послiдовнiсть (fn) точок метричного простору C[a; b], де

264

c = a +2 b. Покажемо, що вона фундаментальна. Справдi,

iнтегровна на вiдрiзку [a; b], i для кожного n функцiя fn(x)

265

− ϕ(x)|dx, причому

Однак для граничної функцiї f◦

b

Z

|f◦(x) − ϕ(x)|dx 6= 0,

a

бо останнiй iнтеграл дорiвнюватиме нулю тодi i тiльки тодi, коли f◦(x) ≡ ϕ(x) на вiдрiзку [a; b], що неможливо в силу неперервностi функцiй f◦(x) i розривностi функцiї ϕ(x). Скориставшись нерiвнiстю Мiнковського, маємо для кожного n

Z Z

|f◦(x) − ϕ(x)|dx = |f◦(x) − fn(x) + fn(x) − ϕ(x)|dx ≤

266

Якщо в останнiй нерiвностi перейти до границi при n → ∞, то одержимо що

тобто lim d(fn, f◦) 6= 0, що суперечить нашому припущенню.

n→∞

Таким чином у просторi C[a; b] немає точки, яка була б границею фундаментальної послiдовностi (fn).

1.139. Неповний. Вказiвка. Розглянути послiдовнiсть многочленiв

i скористатись тим фактом, що вона на вiдрiзку [a; b] рiвномiрно збiгається до функцiї ex.

1.140. Неповний у першому випадку i повний у другому. Вказiвка. Розглянути послiдовнiсть

умовi метрикою скористатись тим фактом, що коли на вiдрiзку [a; b] рiвномiрно збiгаються послiдовностi (fn(x)) i fn0 (x)), то

1.141. Розв’язання. Припустимо, що iснує метричний простiр X i у ньому повний пiдпростiр F , який не є замкненою множиною. Очевидно, що F 6= X. Тодi iснує гранична точка x◦ множини F , яка їй не належить. Для цiєї точки iснує послiдовнiсть

267

(xn) точок множини F , яка збiгається до x◦. Ця послiдовнiсть є фундаментальною у просторi X, а отже, i у пiдпросторi F . В силу повноти останнього кожна його фундаментальна послiдовнiсть є збiжною, i тому x◦ F . Одержане протирiччя свiдчить про те, що наше припущення невiрне. А отже, всi граничнi точки множини F їй належать. Обернене твердження невiрне. Для обгрунтування цього факту досить взяти будь-який неповний метричний простiр X i F = X.

1.142. Вказiвка. Як приклад, вiзьмiть метричний простiр R з природною метрикою i множину Q.

1.143. Вказiвка. Скористатись тим, що фундаментальна послiдовнiсть обмежена, а замкнена куля, яка мiстить всi її точки, компактна.

1.144. Вказiвка. Скористатись тим, що для будь-якого ε > 0 множина

є ε—сiткою для простору Rn. Показати, що для обмеженої множини A iснує гiперкуб виду

такий, що A Qa, i переконатись, що Nε ∩ Qa є скiнченною ε-сiткою для множини A.

1.145. Вказiвка. Дивись приклад 8 у параграфi 7. n потрiбно

P

k=n+1 4

1.146. Розв’язання. Необхiднiсть. Нехай K — компактна множина, то вона обмежена i для неї iснує скiнченна 3ε—сiтка, тобто скiнченна множина

268

Таким чином, для довiльної, але фiксованої точки (xk) з множини K iснує точка (xik) Nε така, що

t

Тодi для будь-якого n > n◦

v

u∞

X

u

tx2k = d (xk), (x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .) ≤

k=n+1

≤ d (xk), (xik) + +d (xik), (xi1, xi2, . . . , xin, 0, 0, . . .) +

269

I цим обгрунтовано, що для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для будь-якого (xk) K i будь-якого n > n◦ викону-

Достатнiсть. Нехай K обмежена i замкнена множина точок простору l2, причому для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий,

n o

Kn = (x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .) | (x1, x2, . . . , xk, . . .) K .

Тодi множина Kn iзометрична множинi

n o

Kn= (x1, x2, . . . , xn) | (x1, x2, . . . , xk, . . .) K

точок метричного простору Rn з евклiдовою метрикою. Мно-

А тому

d((xk), (ai1, ai2, . . . , ain, 0, . . .) ≤ d((xk), (x1, x2, . . . , xn, 0, . . .))+

270