metritchni_proct

приводять до того, що множина E1 ∩E2 подається як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин. Останнє неможливо в силу зв’язностi множини E1 ∩ E2. Нехай, наприклад, F1 ∩E2 = . Тодi E1 E2 = (F1 F2) E2 = F1 (F2 E2), причому F1 ∩(F2 E2) = (F1 ∩F2) (F1 ∩E2) = i множини F1 i F2 E2 замкненi. Таким чином множина E1 E2 подається як об’- єднання двох непорожнiх, неперекривних, замкнених множин, що неможливо в силу зв’язностi множини E1 E2. Одержане протирiччя доводить, що саме припущення про те, що E1 незв’язна, невiрне. Точно у такий саме спосiб доводиться, що E2 зв’язна множина.

1.109. Розв’язання. Необхiднiсть. Нехай E1, E2, E1 E2 зв’язнi

множини. Припустимо, що (E1 ∩ E2) (E1 ∩ E2) = , а отже, i

E1 ∩ E2 = , i E1 ∩ E2 = . Це означає, що множини E1 i E2 роз’єднанi, i зв’язна множина E1 E2 подається як їх об’єднання. Одержане протирiччя свiдчить про те, що наше припущення невiрне.

Достатнiсть. Нехай E1 i E2 зв’язнi i (E1 ∩ E2) (E1 ∩ E2) 6= . Доведемо, що E1 E2 зв’язна. Якщо E1 ∩ E2 6= , то згiдно з теоремою 1.6.5 E1 E2 зв’язна. Нехай E1 ∩ E2 = . В силу

умови або E1 ∩ E2 6= , або E1 ∩ E2 6= . Нехай, наприклад,

E1 ∩ E2 6= . Оскiльки E1 ∩ E2 = , a E1 ∩ E2 6= , то принаймнi одна гранична точка, яка не належить E1, належить E2. Припустимо, що E1 E2 незв’язна. Тодi має мiсце подання E1 E2 = A B, де A i B — непорожнi роз’єднанi множини. Покажемо, що нi E1, нi E2 не можуть мати спiльних точок з обома множинами A i B. Справдi, якщо припустити, що, наприклад, E1 ∩ A 6= i E1 ∩ B 6= , то, врахувавши, що

(E1 ∩ A) (E1 ∩ B) = E1 ∩ (A B) = E1 ∩ (E1 E2) = E1,

мали б подання зв’язної множини E1 як об’єднання непорожнiх роз’єднаних множин, що неможливо. Отже, A = E1 i B = E2. Звiдси випливає, що незв’язна множина E1 E2 подається як

251

об’єднання непорожнiх роз’єднаних множин E1 i E2, а отже, E1 ∩ E2 = , тобто жодна точка дотикання множини E1 не мiститься в E2. Одержане протирiччя свiдчить про те, що наше припущення невiрне.

1.110. Розв’язання. Нехай маємо зростаючу послiдовнiсть

(En) (E1 E2 · · · En · · ·) зв’язних множин у метри-

∞

S

чному просторi X, i нехай E = En. Вiзьмемo двi довiль-

n=1

нi точки x i y з множини E. Тодi x En1 , y En2 . Якщо n◦ = max(n1, n2), то x, y En◦ . А оскiльки En◦ зв’язна, то iснує зв’язна пiдмножина E◦ цiєї множини, яка мiстить точки x i y. Зрозумiло, що E◦ є пiдмножина множини E. Отже, для будьяких точок x, y з множини E iснує зв’язна пiдмножина E, яка мiстить цi точки. А це й означає, що E зв’язна.

1.111. Розв’язання. Оскiльки кожен член послiдовностi (Kn)

жнi, неперекривнi, замкненi у просторi K множини F1 i F2 такi, що K = F1 F2. Але тодi iснують у просторi X неперекривнi вiдкритi множини G1 i G2 такi, що F1 G1, F2 G2. Оскiльки послiдовнiсть (Kn) спадна, то iснує n◦ таке, що для всiх n > n◦ Kn G1 G2. Але за умовою для кожного n Kn

— зв’язна множина. Тодi (див.1.106) або K Kn G1, або K G. Якщо, наприклад, K G1, то K F1 i F2 6= . А це й означає, що K зв’язна (див. 1.105).

1.112. Нехай маємо сiмейство множин {Eλ | λ Λ} зв’язних

T

у просторi X, i нехай Eλ 6= . Доведемо, що множина

λ Λ

S

E = Eλ зв’язна. Справдi, нехай x, y довiльнi точки з множи-

λ Λ

ни E. Тодi у заданому сiмействi знайдуться множини Eλ1 , Eλ2

такi, що x Eλ1 , y Eλ2 . Нехай z Eλ1 ∩ Eλ2 . Тодi iснує зв’я- зна множина A, яка мiстить точки z i x (в силу зв’язностi Eλ1 ),

252

i зв язна множина B, яка мiстить точки y i z ( в силу зв’язностi Eλ2 ). А оскiльки A ∩ B 6= , то A B — зв’язна множина,

S

причому A B Eλ1 Eλ2 Eλ = E. А це й означає, що E

λ Λ

—зв’язна множина.

Упросторi R2 з евклiдовою метрикою кожна з множин

Fn = {(x, y) | (x, y) R2, 0 ≤ x ≤ 1, y ≥ 4nx(1 − x)}

є замкненою i зв’язною множиною, однак

∞

\

Fn = {(x, y) | x = 0 або x = 1}

n=1

є незв’язною множиною.

1.113. Вказiвка. Дивись теорему про перехiд митницi.

1.114. Розв’язання. Необхiднiсть. Припустимо, що iснує зв’я- зна множина E точок простору R, яка має бiльше одного елемента, i точки x, y, z такi, що x, y E, x < y < z, однак z / E.

Нехай A = E ∩ (−∞; z) i B = E ∩ (z; +∞). Тодi A i B непорожнi (x A, y B),

A ∩ B = {x | x E, x < z} ∩ {x | x E, x ≥ z} = ,

A ∩ B = {x | x E, x ≤ z} ∩ {x | x E, x > z} = ,

тобто A i B непорожнi роз’єднанi множини такi, що E = A B. Останнє означає, що множина E незв’язна, що суперечить умовi. Одержане протирiччя свiдчить про те, що наше припущення невiрне, а отже, коли множина E зв’язна, то з того, що x, y E i x < z < y випливає, що z E.

Достатнiсть. Припустимо, що iснує множина E, для якої з того, що x, y E i x < z < y випливає, що z E, однак E незв’язна. Тодi E подається як об’єднання двох непорожнiх, неперекривних, вiдкритих у просторi E множин G1, G2. Вiзьмемо з кожної з цих множин по однiй точцi x G1, y G2, i, для означеностi,

253

будемо вважати, що x < y. Нехай A = G1 ∩ [x; y], i z = sup A. Оскiльки y G2, то z [x; y], причому z / G1, бо в силу вiдкритостi множини G1 z не могло б бути sup A. Аналогiчно z / G2, бо в силу вiдкритостi множини G2 z не могло б бути sup A. Врахувавши, що E = G1 G2, маємо три точки x, y, z такi, що x, y E, x < z < y, однак z / E. Одержане протирiччя i доводить достатнiсть.

1.115. Розв’язання. Достатнiсть очевидна. Необхiднiсть. Нехай G – вiдкрита зв’язна множина, i нехай (x◦, y◦) деяка її точка. Позначимо через G◦ множину всiх точок множини G, якi можна сполучити з точкою (x◦, y◦) ламаною, яка лежить у множинi G i кожен вiдрiзок якої паралельний однiй з координатних осей. Очевидно, що G◦ 6= ((x◦, y◦) G◦). Покажемо, що множини G◦ i G \ G◦ вiдкритi. Нехай (x, y) G◦. Оскiльки за умовою G вiдкрита, то iснує куля B((x, y), r), яка є пiдмножиною G. Тодi кожну точку (x0, y0) з кулi B((x, y), r) можна сполучити з центром кулi ламаною, яка лежить у B((x, y), r) i складається не бiльше, нiж двох вiдрiзкiв, паралельних однiй з координатних осей (один вiдрiзок, якщо x = x0 або y = y0, два вiдрiзки, якщо x 6= x0, y 6= y0). Якщо цими вiдрiзками доповнити ламану, яка сполучає точку (x, y) з точкою (x◦, y◦), то одержану ламану, яка сполучає точку (x0, y0) B((x, y), r) з точкою (x◦, y◦), лежить в G, i кожний вiдрiзок якої паралельний однiй з координатних осей. Отже, B((x, y), r) G◦, тобто G◦ вiдкрита. Нехай точка (x, y) G \ G◦. Оскiльки (x, y) G, то iснує куля B((x, y), r), яка є пiдмножиною G. Якщо припустити, що у кулi B((x, y), r) iснує точка (x0, y0), яка не належить G \G◦, то (x0, y0) належала б G◦, а оскiльки (x0, y0) можна сполучити ламаною заданого типу з точкою (x, y), то i (x, y) мала б належати G◦. Таким чином, кожна точка множини G \G◦ внутрiшня, а отже, вона вiдкрита. Звiдси випливає, що множина G подається як об’єднання двох неперекривних вiдкритих множин G◦ i G \ G◦. В силу її зв’я- зностi одна iз них має бути порожньою. А оскiльки G◦ 6= , то

254

G \ G◦ = i G = G◦. А це й означає, що будь-якi двi точки вiдкритої зв’язної множини можна сполучити ламаною, яка лежить у множинi G, i кожен вiдрiзок якої паралельний однiй з координатних осей.

1.116. а); б); г); є); ж); з). 1.117. а); б); г); д); ж); и). 1.118. а); б); в); д); є); ж). Вказiвка. Лiнiєю перетину конуса i площини, яка не проходить через його вершину i не є паралельною нi його осi, нi будь-якiй з твiрних, є елiпс; з) Вказiвка. Лiнiєю перетину конуса i площин, яка не проходить через його вершину i перпендикулярна площинi xOy, є гiпербола; и) Вказiвка. Лiнiєю перетину конуса i площин, яка паралельна однiй з твiрних (i не мiстить її), є парабола. 1.119. Розв’язання. Килимом Серпiнського називають множину, яка будується у такий спосiб. Нехай маємо одиничний квадрат Q = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Подiлимо його прямими x = 13, x = 23, y = 13, y = 23 на дев’- ять квадратiв i вилучимо центральний вiдкритий квадрат, тобто множину {(x, y) |13 < x < 23, 13 < y < 23} (pис.28). Тi вiсiм квадратiв, якi залишились, назвемо замкненими квадратами першого рангу, а їх об’єднання позначимо через F1, а вилучений вiдкритий квадрат — вiдкритим квадратом першого рангу i позначимо його через G1. Пiсля цього кожен з квадратiв першого рангу дiлимо на дев’ять рiвних квадратiв i вилучаємо з кожного центральний вiдкритий квадрат. Наприклад, з

тами другого рангу, i їх об’єднання позначимо через F2, а 8 вилучених квадратiв — вiдкритими квадратами другого рангу, i їх об’єднання позначимо через G2. Продовжимо цю процедуру необмежено. На n-му кроцi з кожного замкненого квадрата

255

n − 1-го рангу вилучаємо центральний вiдкритий квадрат. 8n

1

замкнених квадратiв (сторона кожного дорiвнює 3n ) назвемо

замкненими квадратами n-го рангу, i їх об’єднання позначимо через Fn, a 8n−1 вилучених квадратiв – вiдкритими квадратами n-го рангу, i їх об’єднання позначимо через Gn.

Рис. 28

∞

T

Перетин E := Fn i називається килимом Серпiнського. До-

n=1

ведемо, що множина E зв’язна. У послiдовностi (Fn)

F1 = Q \ G1, F2 = F1 \ G2, . . . , Fn = Fn−1 \ Gn, . . . ,

кожен член є замкнена (як доповнення вiдкритої множини Gn до замкненої Fn−1) множина, причому F1 F2 . . . Fn . . .,

оскiльки для кожного n Fn Q, то кожен член послiдовностi

∞

T

є компактна множина. Тодi E = Fn є обмеженою, замкне-

n=1

ною, а отже, компактною множиною. Покажемо, що E зв’язна. Розглянемо множину Fn. Очевидно, що для будь-яких двох замкнених квадратiв n-го рангу iснує ламана, вiдрiзками якої є сторони таких квадратiв, яка сполучає будь-яку з вершин першого з будь-якою вершиною другого. Тепер, якщо (x1, y1) i (x2, y2) двi довiльнi точки з Fn, то iснують замкненi квадрати

256

n-го рангу Fn1 i Fn2 , якi мiстять цi точки. Для того, щоб потрапити з цих точок у вершину вiдповiдного квадрата потрiбно не бiльше, нiж два вiдрiзки, кожен з яких паралельний однiй з координатних осей. Таким чином для будь-яких двох точок множини Fn iснує ламана, яка сполучає цi точки, лежить у множинi Fn i кожен вiдрiзок якої паралельний однiй з координатних осей. А це й означає (див. задачу 1.115), що для кожного n множина Fn зв’язна. Отже, послiдовнiсть Fn є спадною послiдовнiстю зв’язних компактних множин, а тодi перетин всiх членiв цiєї послiдовностi (див. задачу 1.111) є зв’язною множиною.

1.120. Розв’язання. Гребiнцем Кантора називають множину точок площини xOy, координати яких задовольняють умови: x [0; 1], y C◦, де C◦ — канторова множина, тобто множина

[0; 1] × C◦.

1.121. Вказiвка. Скористатись або означенням фундаментальної послiдовностi, або обгрунтувати її збiжнiсть. Послiдовностi а), б), в), г), д) є послiдовностями часткових сум збiжних

1.122. Вказiвка. Скористатись або означенням нефундаментальної послiдовностi, або довести необмеженiсть. а); б); е); є) необмеженi. в) Розв’язання. Якщо обрати n непарне, а p

257

259