metritchni_proct

T

простору A = A ∂A, A = F , тобто замикання A

F A

множини A є перерiз всiх замкнених множин, якi мiстять

A, A = { x| x X, d(x, A) = 0}.

1.52 Довести, що для будь-якої множини A точок метрично-

внутрiшнiсть A◦ множини A є об’єднання всiх вiдкритих множин, якi мiстяться в A.

1.53Довести, що для будь-яких множин A i B точок метричного простору

diamA = diamA, d(x◦, A) = d(x◦, A),

d(A, B) = d(A, B) = d(A, B) = d(A, B).

Чи завжди будуть мати мiсце рiвностi

d(x◦, A) = d(x◦, A◦), d(A, B) = d(A◦, B◦) ?

ни ∂A ∂B .

1.55Довести, що коли G – вiдкрита, а F – замкнена множини точок метричного простору, то G \ F – вiдкрита множина.

1.56Дослiдити, до якого класу множин належать множини

81

1.57 Нехай маємо метричний простiр C[0;1] з рiвномiрною метрикою. До якого класу множин належать множини:

1.58 Нехай на множинi X задано двi метрики d1 i d2, причому iснує λ > 0 таке, що для будь-яких x, y X d2(x, y) ≤ λd1(x, y). Довести, що:

а) будь-яка множина точок з X вiдкрита вiдносно метрики d2 є вiдкритою вiдносно метрики d1 ;

б) будь-яка множина точок з X замкнена вiдносно метрики d2 є замкненою вiдносно метрики d1 .

1.59Нехай на множинi X задано двi метрики d1 i d2, причому iснують додатнi числа λ1 i λ2 такi, що для будь-яких x, y X

λ1d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ λ2d1(x, y).

Довести, що

а) будь-яка множина точок з X вiдкрита вiдносно однiєї метрики є вiдкритою i вiдносно другої ;

б) будь-яка множина точок з X замкнена вiдносно однiєї метрики є замкненою i вiдносно другої .

1.60Нехай на множинi R2 задано три метрики

p

а) d1 (x1, y1), (x2, y2) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2;

82

б) d2 (x1, y1), (x2, y2) = |x1 − x2| + |y1 − y2|;

в) d3 (x1, y1), (x2, y2) = max(|x1 − x2|, |y1 − y2|). Довести, що

а) будь-яка множина точок з R2 вiдкрита вiдносно однiєї з цих метрик є вiдкритою i вiдносно двох iнших ;

б) будь-яка множина точок з R2 замкнена вiдносно однiєї з цих метрик є замкненою i вiдносно двох iнших.

4 Збiжнi послiдовностi у метричних просторах

Джерело iдей. Аналiзу числових функцiй однiєї змiнної, як правило, передує вивчення числових послiдовностей (власне функцiй, але натурального аргумента), з яких видiляється клас збiжних послiдовностей, тобто клас послiдовностей, кожна з яких має границю. Якщо множину дiйсних чисел R розглядати як метричний простiр з евклiдовою метрикою, то означення границi числової послiдовностi (xn)

" lim xn = a := ( ε > 0) ( n◦ N) ( n > n◦) (|xn − a| < ε)"

n→∞

можна перефразувати у такий спосiб:

"Точка a метричного простору R називається границею послiдовностi (xn) точок цього простору, якщо для будьякого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ виконується нерiвнiсть d(xn, a) < ε",

тобто означення границi числової послiдовностi формулюється тiльки через поняття вiдстанi, а отже, його можна перенести у довiльний метричний простiр. Отож будемо дiяти за схемою: означимо поняття послiдовностi точок метричного простору, видiлимо клас збiжних послiдовностей i перенесемо на них всi тi

83

властивостi числових послiдовностей, у формулюваннi яких фiгурує тiльки вiдстань.

Нехай маємо метричний простiр (X, d).

Означення 4.1. Вiдповiднiсть, яка кожному натуральному числу вiдносить точку метричного простору X, називається послiдовнiстю точок цього метричного простору i позначається або (xn), або x1, x2, . . . , xn, . . ., або {xn}.

Означення 4.2. Послiдовнiсть (xn) називається обмеженою, якщо iснує куля, яка мiстить всi точки цiєї послiдовностi.

Означення 4.3. Точка a метричного простору X називається границею послiдовностi (xn), якщо для будь-якого ε > 0 iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦ виконується нерiвнiсть d(xn, a) < ε.

Про послiдовнiсть, яка має границю, кажуть, що вона збiгається (є збiжною), i за границею залишається стандартне позначення

lim xn = a

n→∞

I Очевидно, що lim xn = a тодi i тiльки тодi, коли

n→∞

lim d(xn, a) = 0, тобто перевiрка збiжностi послiдовностi (xn)

n→∞

точок метричного простору (X, d) до точки a зводиться до перевiрки того факту, що числова послiдовнiсть d(xn, a) є нескiнченно малою.

Щодо питання єдиностi границi, то воно розв’язується так само, як i для числових послiдовностей.

Теорема 4.1. Якщо послiдовнiсть точок метричного простору має границю, то вона єдина.

84

Доведення. Нехай iснує метричний простiр (X, d) i у ньому

послiдовнiсть точок (xn), для якої lim xn = a i lim xn = b,

n→∞ n→∞

причому a 6= b. Оскiльки lim xn = a, то для будь-якого ε > 0,

n→∞

такий, що для всiх n > n2 виконується нерiвнiсть

1

d(xn, b) < 3 d(a, b).

Нехай n◦ = max(n1, n2). Тодi для всiх n > n◦ одночасно виконуються обидвi цi нерiвностi. А отже, взявши конкретне n > n◦, маємо:

2

d(a, b) ≤ d(a, xn) + d(xn, b) < 3 d(a, b).

Одержане протирiччя спростовує наше припущення, тобто не iснує такого метричного простору i у ньому збiжної послiдов-

точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою збiгається до точки (1, 2).

85

рiвномiрною метрикою.

Розв’язання. Покажемо, що кожен член послiдовностi

x2

x + (−1)n n

належить кулi B(x, 2). Справдi, для будь-якого n

довiльна куля. Тодi або вона не мiстить жодного члена послiдовностi (nx), або є член (n◦x), який належить цiй кулi. Врахувавши, що для будь-якого n

d(nx, n◦x) = max |nx − n◦x| = |n − n◦|,

86

то для будь-якого n > n◦ + 2r маємо:

d(f, nx) ≥ d(nx, n◦x) − d(n◦x, f) = n − n◦ − d(n◦x, f) >

> n◦ + 2r − n◦ − r = r.

Отже, якою б не була куля B(f, r), знайдуться члени послiдовностi (nx), якi цiй кулi не належать. А це й означає, що ця послiдовнiсть необмежена.

Доведемо, що послiдовнiсть (nx) не має границi. Припусти-

мо, що у C[0;1] знайдеться функцiя f◦ така, що lim nx = f◦(x).

n→∞

Звiдси випливає, що для ε = 1 iснує n◦ таке, що для всiх n > n◦ d(nx, f◦) < 1. Нехай

r > max(d(f◦, x), d(f◦, 2x), . . . , d(f◦, n◦x), 1).

Тодi для всiх n d(f◦, nx) < r, тобто куля B(f◦, r) мiстить всi члени послiдовностi. Останнє неможливо в силу

кою є збiжнi i обмеженi послiдовностi, а також необмеженi i розбiжнi. Виявляється, що обмеженiсть є необхiдною умовою збiжностi (як це мало мiсце для числових послiдовностей) у будь-якому метричному просторi.

Теорема 4.2. Кожна збiжна послiдовнiсть точок метри-

87

n d(xn, a) < r або xn B(a, r). Отже iснує куля така, що мiстить всi точки даної послiдовностi. А це й означає, що збiжна послiдовнiсть обмежена. Проаналiзуємо, як збiжнiсть характеризує саму вiдстань i

класи множин, якi були видiленi у попередньому параграфi.

Теорема 4.3. Якщо послiдовностi (xn) i (yn) точок метричного простору збiгаються, то числова послiдовнiсть (d(xn, yn)) збiгається, причому

послiдовностi d(xn, a)) i d(yn, b)) є нескiнченно малими, а отже, числова послiдовнiсть (d(xn, a) + d(yn, b)) є нескiнченно малою. Якщо врахувати, що за нерiвнiстю чотирикутника для будьякого n

|d(xn, yn) − d(a, b)| ≤ d(xn, a) + d(yn, b),

то очевидно, що i числова послiдовнiсть d(xn, yn) − d(a, b) є

нескiнченно мала. А це й означає, що lim d(xn, yn) = d(a, b)

n→∞

Можна довести, що точка x◦ є точкою дотикання множини A тодi i тiльки тодi, коли iснує послiдовнiсть (xn) точок цiєї множини збiжна до точки x◦, зокрема x◦ гранична точка множини A тодi i тiльки тодi,коли iснує не фiнально стала послiдовнiсть, збiжна до точки x◦ (вiднесено у задачi).

Теорема 4.4. Множина A точок метричного простору є замкненою тодi i тiльки тодi, коли для будь-якої збiжної послiдовностi (xn) точок множини A

lim xn A.

n→∞

Доведення. Необхiднiсть. Нехай множина A замкнена, i нехай (xn) є збiжна послiдовнiсть точок множини A. Якщо послiдовнiсть (xn) фiнально стала, тобто iснує номер n◦ такий, що

88

для всiх n ≥ n◦, xn◦ = xn◦+1 = . . . = a, то lim xn = a i зрозу-

n→∞

мiло належить A. Якщо ж послiдовнiсть (xn) не фiнально стала,

тобто мiстить нескiнченне число рiзних членiв, i lim xn = a, то

n→∞

будь-яка куля B(a, r) мiстить хоч один член послiдовностi, вiдмiнний вiд a. А це й означає, що точка a є граничною для множини A i, в силу замкненостi останньої, належить A.

Достатнiсть. Нехай для будь-якої збiжної послiдовностi

(xn) точок з множини A lim xn A. Тодi з припущення, що

n→∞

множина A не є замкненою, тобто що iснує гранична точка множини A, яка їй не належить, випливає, що iснує збiжна послiдовнiсть точок множини A, границя якої не належить A.

Теорема 4.5. Множина A точок метричного простору X скрiзь щiльна в X тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого x X iснує послiдовнiсть (xn) точок з A така, що

lim xn = x.

n→∞

Доведення. Необхiднiсть. Нехай множина A скрiзь щiльна в X, i нехай x X. Тодi будь-яка куля B(x, r) мiстить точки

кулi B(x, 12), . . ., xn точка з A, яка належить кулi B(x, n1 ), . . .

Покажемо, що так побудована послiдовнiсть збiгається до x. Справдi, оскiльки xn B(x, n1 ), то d(xn, x) < n1 , i числова по-

слiдовнiсть (d(xn, x)) нескiнченно мала. А це й означає, що

lim xn = x.

n→∞

Достатнiсть. Нехай x X i x A. Тодi за умовою iснує

послiдовнiсть (xn) точок множини A така, що lim xn = x. А

n→∞

отже, будь-яка куля B(x, r) мiстить точки множини A, тобто

89

точка x є граничною точкою множини A. Таким чином, кожна точка простору X належить замиканню множини A. А оскiльки A X, то A = X. А це й означає, що множина A скрiзь щiльна у просторi X. З’ясуємо характер збiжностi послiдовностей точок деяких

метричних просторiв.

Нехай маємо простiр Rn з евклiдовою метрикою. Послiдовностi точок цього простору будемо записувати у виглядi

(xk1, xk2, . . . , xkn) точок метричного простору Rn збiгалась, необхiдно i достатньо, щоб були збiжними числовi послiдовностi (xk1), (xk2), . . . , (xkn), причому для збiжної послiдовностi має мiсце рiвнiсть

Доведення. Необхiднiсть. Нехай послiдовнiсть

(xk) = (xk1, xk2, . . . , xkn)

t

90