metritchni_proct

для будь-яких (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn), (z1, z2, . . . , zn) Rn

маємо:

n1

X

+ |zi − yi|p p = d((x1, x2, . . . , xn)), (z1, z2, . . . , zn)) +

i=1

+d((z1, z2, . . . , zn)), (y1, y2, . . . , yn)).

Таким чином задана функцiя задовольняє всi три аксiоми вiдстанi, тобто надiляє множину Rn метрикою. Зауваження. З наведеного у прикладi 3 класу метрик найважливiшими є три: а) при p = 1, б) при p = 2, в) границя при

p → ∞.

Якщо ввести позначення

x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), то згаданi метрики мають вигляд

Очевидно, що першi двi коментарiв не потребують. А стосовно третьої, то для x 6= y маємо:

n1

21

+ max |xi − zi| = d3(x, z) + d3(z, y).

i=1,n

Приклад 4. Нехай p ≥ 1. Довести, що функцiя

надiляє метрикою множину lp.

Розв’язання. Виконуванiсть перших двох аксiом вiдстанi очевидна. Далi, скориставшись нерiвнiстю Мiнковського (1.7), для будь-яких послiдовностей (xn), (yn), (zn) lp маємо

22

= d((xn), (zn)) + d((zn), (yn)).

Таким чином задана функцiя задовольняє всi три аксiоми вiдстанi, а отже, надiляє множину lp метрикою. Зауваження. У класi метрик, наведених у прикладi 4, oсобливе мiсце посiдає метрика при p = 2. Як з’ясується пiзнiше, метричний простiр l2, найближчий за своїми властивостями до скiнченномiрного евклiдового простору. Можна сказати i так: геометрiя простору l2 найближча за своїми властивостями до

евклiдової геометрiї.

Приклад 5. Нехай p ≥ 1 i C[a;b] - множина всiх неперервних на вiдрiзку [a; b] функцiй.Довести, що функцiя

b

a

надiляє метрикою множину C[a;b].

Розв’язання. Для будь-яких двох визначених i неперервних на вiдрiзку [a; b] функцiй f i g функцiя |f(x) −g(x)| неперервна на вiдрiзку [a; b], а отже, iнтегровна на ньому, тобто функцiя (1.18) визначена на C[a;b] × C[a;b]. Оскiльки для будь-яких неперервних на вiдрiзку [a; b] функцiй f i g

b

Z

|f(x) − g(x)|pdx ≥ 0,

a

то функцiя d невiд’ємна, причому d(f, g) = 0, якщо f = g. Якщо ж d(f, g) = 0, тобто

b

Z

|f(x) − g(x)|pdx = 0,

a

23

то в силу невiд’ємностi i неперервностi пiдiнтегральної функцiї остання рiвнiсть можлива тiльки у випадку, коли

|f(x) − g(x)|p ≡ 0

на вiдрiзку [a; b]. А це можливо тiльки тодi, коли f(x) = g(x) на вiдрiзку [a; b]. Таким чином функцiя (1.8) задовольняє першу аксiому вiдстанi. Виконуванiсть другої аксiоми очевидна. Далi, оскiльки C[a;b] R[a; b], то, скориставшись нерiвнiстю Мiнковського (1.12), для будь-яких функцiй f, g, h з C[a;b], маємо:

b

= d(f, h) + d(h, g).

Таким чином задана функцiя задовольняє всi аксiоми вiдстанi, а отже, надiляє множину C[a;b] метрикою. Зауваження. Претендентом на вiдстань мiж елементами множини C[a;b] може виступати вiдстань мiж значеннями функцiй у деякiй точцi x◦ [a; b]. Принцип найкоротшої вiдстанi

наштовхує нас на думку розглянути функцiю

d(f, g) := min |f(x) − g(x)|

x [a;b]

Проте легко переконатись, що вже перша аксiома вiдстанi не виконується (наприклад, для двох рiзних функцiй f i g, для

24

яких iснує точка x◦ [a; b] така, що f(x◦) = g(x◦)

min |f(x) − g(x)| = f(x◦) − g(x◦) = 0.

x [a;b]

Неважко з’ясувати, що не буде задовольняти аксiоми вiдстанi i будь-яка функцiя виду

d(f, g) := |f(x◦) − g(x◦)| < max |f(x) − g(x)|

x [a;b]

А от функцiя

x [a;b]

задовольняє всi три аксiоми вiдстанi, а отже, надiляє метрикою множину всiх неперервних на вiдрiзку [a; b] функцiй. У цьому випадку кажуть, що множина C[a;b] надiлена рiвномiрною метрикою. Найбiльш вживаними при аналiзi неперервних функцiй є якраз рiвномiрна метрика (1.19) та евклiдова метрика

v

u b

Z u

d(f, g) := u (f(x) − g(x))2dx (1.20) t

a

На завершення зауважимо, що коли (X, d) — метричний простiр i Xb пiдмножина множини X, то звуження db функцiї d на множину Xb × Xb задовольняє всi три аксiоми вiдстанi. Отже, (X,b db) — метричний простiр, про метрику якого кажуть, що вона iндукована метрикою d.

Задачi для практичних занять i самостiйного розв’язування

1.1Нехай d : R × R −→ [0; +∞).Чи буде d вiдстанню в R, якщо d(x, y) за означенням дорiвнює

25

1.2Чи буде функцiя d(x, y) = d((x1, x2), (y1, y2)) вiдстанню в R2, якщо d(x, y) за означенням дорiвнює

p

e)2(x1 − y1)2 + 3(x2 − y2)2;

p

є) max (|x1 − y1|, |x2 − y2|);

p

ж) 2(x1 − y1)2 + (x1 − y1)(x2 − y2) + (x2 − y2)2;

p

з) (x1 − y1)2 + 2(x1 − y1)(x2 − y2) + (x2 − y2)2;

26

2 p p

и) |x1 − y1| + |x2 − y2| ?

1.3 Чи буде функцiя d(x, y) = d((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn))

вiдстанню в Rn, якщо d(x, y) за означенням дорiвнює

i = 1, n ?

1.4Чи буде функцiя d(f, g) вiдстанню в C[0;1], якщо d(f, g) за означенням дорiвнює

числа m i n (m 6= n), для яких d1(m, n) = d2(m, n)?

1.6 Довести, що функцiя

d(x, y) = d((x1, x2), (y1, y2)) :=

27

r

=(x1 − y1)2 + 2(x1 − y1)(x2 − y2) + (x2 − y2)2 ,

α+ 1 2α + 1

де α > 0, задає вiдстань у множинi R2.

1.7 Дослiдити, при яких значеннях p, q функцiя

d(x, y) = d((x1, x2), (y1, y2)) :=

p

=(x1 − y1)2 + p(x1 − y1)(x2 − y2) + q(x2 − y2)2

задає вiдстань у множинi R2.

1.8 Дослiдити, при яких значеннях p, q, r функцiя d(x, y) = d((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) :=

p

=p(x1 − y1)2 + q(x2 − y2)2 + r(x3 − y3)2

задає вiдстань у множинi R3. 1.9 Довести, що функцiя

d(x, y) = d((x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4)) :=

4

X

=(xi − yi)2 + 2(x1 − y1)(x2 − y2) cos ϕ +

i=1

1

+2(x3 − y3)(x4 − y4) cos ϕ 2

де 0 < ϕ < π, задає вiдстань у множинi R4.

28

1.10 Довести, що функцiя

d(x, y) = d((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn)) :=

n1

де p ≥ 1, qi > 0 (i = 1, n), задає вiдстань у множинi Rn. 1.11 Довести, що функцiя

b

1.12Довести, що у множинi c (множинi всiх збiжних послiдовностей дiйсних чисел) вiдстань можна задати у такий спосiб

d((xn), (yn)) = sup |xn − yn|

n

1.13Довести, що у множинi s (множинi всiх послiдовностей дiйсних чисел) вiдстань можна задати у такий спосiб

∞

P

де αn будь-який збiжний ряд з додатними членами.

29

i знайти вiдстань мiж послiдовностями

Чому дорiвнює

sup d((xn), (yn)) ?

(xn),(yn) K◦

1.15Надiлiть координатну площину (система координат декартова прямокутна) метриками di (i = 1, 5) такими, що множина точок M(x, y), вiдстань яких до початку координат дорiвнює 1, є

1)колом з центром у початку координат ;

2)елiпсом з центром у початку координат i пiвосями 2, 3;

3)квадратом з центром у початку координат;

4)ромбом з центром у початку координат i гострим кутом

60◦ ;

5)ромбом з центром у початку координат i вiдношенням дiагоналей 2:3.

1.16Надiлiть координатну площину (система координат де-

картова з кутом ϕ мiж координатними осями) метриками di (i = 1, 5) такими, що множина точок M(x, y), вiдстань яких до початку координат дорiвнює 1, є

1) колом з центром у початку координат;

30