metritchni_proct

метричних просторах (наприклад, послiдовнiсть (n) розбiжна i у метричному просторi (R, d1), де d1 – природна метрика, i у метричному просторi (R, d2), де d2(x, y) = min(1, |x − y|)); б) послiдовнiсть (xn) збiгається в одному просторi, а у дру-

гому розбiгається (наприклад, послiдовнiсть n1 збiгається у

метричному просторi (R, d1), де d1 – природна метрика, i розбiгається у метричному просторi, де збiжними є тiльки фiнально сталi послiдовностi); в) послiдовнiсть (xn) збiгається в обох ме-

тричних просторах (наприклад, послiдовнiсть n1 збiгається i

у просторi (R, d1), де d1(x, y) = |x − y|, i у просторi (R, d2), де d2(x, y) = min(1, |x − y|)).

Означення 4.4. Двi метрики d1 i d2, заданi на множинi X, називаються еквiвалентними, якщо для будь-якої послiдовностi (xn) точок множини X умова

lim d1(xn, x) = 0

n→∞

виконується тодi i тiльки тодi, коли виконується умова

lim d2(xn, x) = 0.

n→∞

Доведення. Нехай послiдовнiсть (xn) точок з множини X

збiгається вiдносно метрики d1, причому lim xn = x◦. Тодi для

n→∞

будь-якого ε > 0, зокрема для ε , iснує номер n◦ такий, що c2

101

для всiх n > n◦ виконується нерiвнiсть

ε

d1(xn, x◦) < c2 .

Врахувавши праву частину нерiвностi (4.8), маємо, що для всiх n > n◦

d2(xn, x◦) ≤ c2d1(xn, x◦) < ε,

тобто послiдовнiсть (xn) збiгається i вiдносно метрики d2. Нехай послiдовнiсть (xn) збiгається вiдносно метрики d2.

Тодi для будь-якого ε > 0, зокрема для c1ε > 0, iснує номер n◦ такий, що для всiх n > n◦

d2(xn, x◦) < c1ε.

Врахувавши лiву частину нерiвностi (4.8), маємо, що для всiх n > n◦

1

d1(xn, x◦) ≤ c1 d2(xn, x◦) < ε,

тобто послiдовнiсть (xn) збiгається i вiдносно метрики d1. Цим доведення еквiвалентностi метрик d1 i d2 завершено.

Приклад 6. Довести, що метрики

d1(x, y) = max |xi − yi|,

i=1,n

визначенi на множинi Rn, еквiвалентнi.

102

Розв’язання. Оскiльки для будь-яких x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) з Rn

n

X

=|xi − yi| ≤ n max |xi − yi|,

i=1,n

i=1

то метрики d1 i d2 задовольняють нерiвнiсть (4.8) при c1 = 1, c2 = n , i, згiдно з теоремою (4.8) вони еквiвалентнi, а метрики d1 i d3 теж задовольняють нерiвнiсть (4.8) при c1 = 1, c2 = n , що свiдчить про їх еквiвалентнiсть. З еквiвалентностi метрик d1 i d2 i метрик d1 i d3 в очевидний спосiб випливає еквiвалентнiсть метрик d2 i d3.

Приклад 7. Довести, що метрики

v

u 1

Z

u

d1(f, g) = (f(x) − g(x))2dx,

u

t

0

d2(f, g) = max |f(x) − g(x)|

0≤x≤1

(4.9)

визначенi на множинi C[0;1], не еквiвалентнi.

Розв’язання. Вiзьмемо послiдовнiсть (xn) точок множини C[0;1]. Оскiльки

103

то числова послiдовнiсть (d1(xn, 0)) є нескiнченно мала. А отже, обрана послiдовнiсть збiгається до функцiї f◦(x) ≡ 0 вiдносно метрики d1. З другого боку, для будь-якого n i p = 2n у точцi

тобто для послiдовностi (xn) не виконується критерiй рiвномiрної збiжностi. Останнє означає, що послiдовнiсть (xn) у метричному просторi C[0;1] з рiвномiрною метрикою розбiгається.

Задачi для практичних занять i самостiйного розв’язування

1.61Довести, що коли послiдовнiсть точок метричного простору збiгається, то збiгається до тiєї самої границi i будь-яка її пiдпослiдовнiсть.

1.62Довести, що якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) збiгається, то для будь-якої точки x◦ X числова множина {d(xn, x◦) | n N} обмежена.

1.63Довести, що якщо послiдовнiсть (xn) точок метри-

чного простору (X, d) збiжна, то числова множина {d(xm, xn) | m, n N} обмежена.

1.64Довести, що якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) збiжна, i A будь-яка непорожня пiдмножина множини X, то числова послiдовнiсть (d(xn, A)) збiгається, причому

lim d(xn, A) = d( lim xn, A).

n→∞ n→∞

104

1.65 Довести, що якщо послiдовнiсть (xn) точок метричного простору (X, d) збiгається до точки a, а послiдовнiсть (yn) точок цього ж простору збiгається до точки b, то числова послiдовнiсть (d(xn, yn)) збiгається, причому

lim d(xn, yn) = d(a, b).

n→∞

1.66Довести, що точка x◦ є точкою дотикання множини A тодi i тiльки тодi, коли iснує послiдовнiсть (xn) точок цiєї множини, границя якої є точка x◦. Яку додаткову умову треба накласти на послiдовнiсть (xn), щоб точка x◦ була граничною ?

1.69Довести,що послiдовнiсть n +n 1, n +n 1 точок метричного простору R2 вiдносно метрик:

p

d1((x1, y1), (x2, y2)) = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2,

105

d2((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 − x2| + |y1 − y2|,

d3((x1, y1), (x2, y2)) = max(|x1 − x2|, |y1 − y2|),

збiгається, а вiдносно метрики

|y1 − y2|, якщо x1 = x2,

d4((x1, y1), (x2, y2)) =

|y1| + |y2| + |x1 − x2|, якщо x1 6= x2

розбiгається.

1.70Знайти границi послiдовностей точок метричного простору R2 з евклiдовою метрикою:

106

1.73Знайти границi послiдовностей точок метричного простору C[a;b] з рiвномiрною метрикою:

rr

107

f◦(x) ≡ 0 на вiдрiзку [0; 1].

1.75Довести, що якщо послiдовнiсть (fn) точок множини C[a;b] збiгається вiдносно рiвномiрної метрики, то вона збiгається i вiдносно евклiдової метрики.

1.76Знайти границi послiдовностей точок метричного простору C[a;b] з евклiдовою метрикою:

а) (x2n), x2n C[0;1];

ss

1.77Описати всi збiжнi послiдовностi метричного простору N з метрикою: для будь-яких m, n N

d(m, n) = |m − n|. mn

108

1.78Нехай маємо метричний простiр (X, d). Довести, що функцiї

є метрики, еквiвалентнi метрицi d.

1.79Нехай маємо сiмейство метричних просторiв (C[0;1], dp), де для будь-яких f, g C[0;1]

1

а) Довести, що кожна послiдовнiсть точок з C[0;1] збiжна у рiвномiрнiй метрицi буде збiжною у середньому при будьякому p.

б) Побудувати послiдовнiсть точок з C[0;1], яка збiгається

усередньому при будь-якому p, але не збiгається рiвномiрно.

в) Побудувати послiдовнiсть точок з C[0;1], яка збiгається

усередньому при p = 1 i розбiгається у середньому при p = 2.

г) Побудувати послiдовнiсть точок з C[0;1], яка збiгається

усередньому при p = 1 i розбiгається у кожнiй точцi вiдрiзка [0; 1].

1.80Нехай C[0;1]n – множина всiх функцiй, якi є неперервними разом з своїми похiдними до n-го порядку включно на вiдрiзку [0; 1]. Довести, що функцiї

n

X

d1(f, g) = max |f(k)(x) − g(k)(x)|,

0≤x≤1

k=0

109

є еквiвалентними метриками.

5 Компактнi множини у метричних просторах

Ключова iдея. В аналiзi числових функцiй ряд властивостей неперервних функцiй iстотно залежить вiд структури областi, на якiй вони визначенi. Маємо на увазi властивостi неперервних функцiй, визначених на вiдрiзку.

Зрозумiло, що поняття вiдрiзка

([a; b] := {x, | x R, a ≤ x ≤ b})

у довiльному метричному просторi ввести неможливо, оскiльки вiн надiлений тiльки вiдстанню i у ньому немає лiнiйного порядку. Разом з тим бажано було б i тут видiлити множини, на яких неперервнi функцiї мають такi ж властивостi, що й на числових вiдрiзках. Природно, що характеристичною має бути така властивiсть, яка виконується для точок вiдрiзка i може бути перенесена на будь-який метричний простiр. Такими властивостями є, наприклад, обмеженiсть i замкненiсть. Однак (як буде з’ясовано пiзнiше) є метричнi простори, на певних обмежених i замкнених множинах точок яких можна побудувати функцiї неперервнi на них, але необмеженi.

Звернемо увагу на одну теорему, яка досить часто використовувалась в аналiзi числових функцiй, а саме на теорему Больцано-Вейєрштрасса, у якiй стверджується, що з кожної

110