Лабораторная работа № 1
Разработка экономико-математических моделей оптимизации производственной программы предприятия и оптимального использования ресурсов
Краткие теоретические сведения
Под моделью будем понимать условный образ какого либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка.
В экономико-математических моделях таким объектом является экономический процесс (например, использование ресурсов, распределение изделий между различными типами оборудования и т.п.). а языком - классические и специально разработанные математические методы.
Экономико-математическая модель – это математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта.
Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить области экономической информации, интенсифицировать экономические расчеты.
Согласно теории линейного программирования каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования.
Постановка задач
|
Прямая задача |
Двойственная задача |
|
|
|
,
(1)
,
(2)
, (3)
,
(4)
,
(5)
, (6)
Прямой задаче линейного программирования вида (1) – (3) соответствует двойственная ей задача линейного программирования (4) – (6).
Задание
Составить экономико-математические модели и определить оптимальные решения для следующих задач.
ЗАДАЧА № 1.
Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях)
Имеется два вида корма, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2 и S3 . Содержание числа единиц питательных веществ в 1кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице 1 (цифры условные).
Таблица 1
Исходные данные к задаче № 1
|
Вариант задачи |
Пита- тельное вещество |
Необходимый минимум питательных веществ |
Число единиц питательных веществ в 1 кг корма 1 вид 2 вид |
|
|
1 |
S1 |
9 |
3 |
1 |
|
S2 |
8 |
1 |
2 |
|
|
S3 |
12 |
1 |
6 |
|
|
2 |
S1 |
10 |
3 |
2 |
|
S2 |
9 |
2 |
2 |
|
|
S3 |
11 |
1 |
5 |
|
|
3 |
S1 |
7 |
1 |
2 |
|
S2 |
9 |
2 |
2 |
|
|
S3 |
10 |
3 |
3 |
|
|
4 |
S1 |
5 |
3 |
2 |
|
S2 |
6 |
5 |
2 |
|
|
S3 |
7 |
2 |
5 |
|
|
5 |
S1 |
8 |
4 |
2 |
|
S2 |
9 |
8 |
3 |
|
|
S3 |
14 |
3 |
5 |
|
|
6 |
S1 |
10 |
2 |
3 |
|
S2 |
9 |
1 |
3 |
|
|
S3 |
5 |
1 |
3 |
|
|
7 |
S1 |
11 |
2 |
1 |
|
S2 |
8 |
1 |
3 |
|
|
S3 |
9 |
2 |
2 |
|
|
8 |
S1 |
10 |
1 |
3 |
|
S2 |
9 |
2 |
2 |
|
|
S3 |
13 |
3 |
1 |
|
|
9 |
S1 |
12 |
1 |
3 |
|
S2 |
9 |
2 |
2 |
|
|
S3 |
9 |
2 |
1 |
|
|
10 |
S1 |
12 |
2 |
3 |
|
S2 |
14 |
5 |
2 |
|
|
S3 |
20 |
2 |
4 |
|
Стоимость 1 кг корма 1-го и 2-го соответственно равна 4 и 6 руб.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.
ЗАДАЧА № 2.
Задача оптимального использования ресурсов
Для составления плана выпуска четырех видов продукции P1, P2, P3, и P4 на предприятии используют три вида сырья S1, S2 и S3 . Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль, полученная в результате выпуска каждого вида продукции приведены в таблице 2.
Таблица 2
Исходные данные к задаче № 2
|
Вариант задачи |
Вид сырья |
Запасы сырья |
Вид продукции |
||||
|
|
|
|
Р1 |
Р2 |
Р3 |
Р4 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
1 |
S1 |
35 |
4 |
2 |
2 |
3 |
|
|
S2 |
30 |
1 |
1 |
2 |
3 |
||
|
S3 |
40 |
3 |
1 |
2 |
1 |
||
|
Прибыль |
14 |
10 |
14 |
11 |
|||
|
2 |
S1 |
40 |
4 |
2 |
1 |
2 |
|
|
S2 |
35 |
2 |
1 |
3 |
4 |
||
|
S3 |
50 |
3 |
1 |
2 |
5 |
||
|
Прибыль |
11 |
12 |
15 |
10 |
|||
|
3 |
S1 |
55 |
1 |
3 |
3 |
2 |
|
|
S2 |
25 |
2 |
2 |
3 |
6 |
||
|
S3 |
47 |
2 |
2 |
2 |
5 |
||
|
Прибыль |
14 |
10 |
20 |
25 |
|||
|
4 |
S1 |
67 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
S2 |
46 |
3 |
4 |
1 |
5 |
||
|
S3 |
32 |
2 |
2 |
3 |
4 |
||
|
Прибыль |
13 |
15 |
23 |
20 |
|||
|
5 |
S1 |
23 |
1 |
2 |
3 |
3 |
|
|
S2 |
17 |
3 |
5 |
2 |
5 |
||
|
S3 |
25 |
4 |
3 |
4 |
1 |
||
|
Прибыль |
10 |
9 |
17 |
19 |
|||
|
6 |
S1 |
27 |
3 |
2 |
4 |
3 |
|
|
S2 |
34 |
3 |
5 |
2 |
5 |
||
|
S3 |
43 |
2 |
6 |
4 |
2 |
||
|
Прибыль |
19 |
20 |
18 |
21 |
|||
|
7 |
S1 |
35 |
4 |
3 |
5 |
4 |
|
|
S2 |
47 |
3 |
5 |
3 |
5 |
||
|
S3 |
54 |
5 |
7 |
4 |
3 |
||
|
Прибыль |
23 |
19 |
21 |
25 |
|||
|
8 |
S1 |
98 |
4 |
3 |
5 |
5 |
|
|
S2 |
76 |
5 |
6 |
7 |
5 |
||
|
S3 |
59 |
4 |
9 |
4 |
3 |
||
|
Прибыль |
70 |
51 |
67 |
46 |
|||
|
9 |
S1 |
76 |
4 |
3 |
4 |
2 |
|
|
S2 |
45 |
1 |
5 |
7 |
5 |
||
|
S3 |
53 |
3 |
7 |
2 |
3 |
||
|
Прибыль |
55 |
43 |
76 |
67 |
|||
|
10 |
S1 |
56 |
4 |
2 |
4 |
3 |
|
|
S2 |
76 |
2 |
5 |
5 |
5 |
||
|
S3 |
47 |
5 |
1 |
3 |
5 |
||
|
Прибыль |
37 |
42 |
39 |
35 |
|||
Необходимо составить экономико-математическую модель задачи оптимального использования ресурсов на максимум прибыли.
ЗАДАЧА № 3.
Планирование выпуска продукции пошивочным предприятием
Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется: 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат.
Требуется определить оптимальное число костюмов каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль предприятию, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. единиц, а от мужского костюма - 20 ден. единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов и обеспечить прибыль не менее 1400 денежных единиц.
ЗАДАЧА № 4.
Задача размещения производственных заказов
В планируемом периоде необходимо обеспечить производство 300 тыс. однородных новых изделий, которые могут выпускаться на четырех филиалах предприятия. Для освоения этого нового вида изделия нужны капитальные вложения. Разработанные для каждого филиала предприятия проекты освоения нового вида изделия характеризуются величинами удельных капитальных вложений и себестоимостью единицы продукции в соответствии с таблицей 3.
Таблица 3
Исходные данные к задаче № 4
|
Вариант задачи |
Показатель |
Филиал предприятия |
|||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
83 |
89 |
95 |
98 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
120 |
80 |
50 |
40 |
|
|
2 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
67 |
45 |
91 |
89 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
110 |
85 |
65 |
45 |
|
|
3 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
35 |
67 |
78 |
81 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
100 |
25 |
55 |
97 |
|
|
4 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
79 |
34 |
60 |
90 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
90 |
60 |
45 |
95 |
|
|
5 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
75 |
50 |
65 |
70 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
125 |
120 |
140 |
165 |
|
|
6 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
100 |
65 |
67 |
76 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
120 |
110 |
100 |
125 |
|
|
7 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
70 |
65 |
65 |
65 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
99 |
100 |
90 |
110 |
|
|
8 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
75 |
55 |
60 |
57 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
80 |
90 |
95 |
100 |
|
|
9 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
67 |
75 |
65 |
50 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
90 |
95 |
97 |
105 |
|
|
10 |
Себестоимость производства изделия, грн. |
80 |
87 |
90 |
95 |
|
Удельные капитальные вложения, грн. |
120 |
85 |
55 |
45 |
|
Себестоимость производства и удельные капитальные вложения для каждого из филиалов условно приняты постоянными, т.е. потребность в капитальных вложениях и общие издержки будут изменяться пропорционально изменению объемов производства изделий.
На освоение 300 тыс. новых изделий предприятие может выделить 18 млн.грн..
Необходимо найти такой вариант распределения объемов производства продукции и капитальных вложений по филиалам, при котором суммарная стоимость изделий будет минимальной.
ЗАДАЧА № 5.
Задача оптимального плана выпуска изделий
Фабрика выпускает три вида тканей, причем суточное плановое задание составляет не менее указанного в таблице 4 по каждому виду ткани. Суточные ресурсы по единицам оборудования и цена 1 м ткани также представлены в таблице 4.
Необходимо определить, сколько метров тканей каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была минимальной.
Таблица 4
Исходные данные к задаче № 5
|
Вариант задачи |
Наименование ресурса
|
Суточный ресурс |
Расход ресурса на 1 м ткани вида |
||
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
1 |
Оборудование |
680 |
2 |
3 |
4 |
|
Сырье |
850 |
1 |
4 |
5 |
|
|
Электро-энергия |
790 |
3 |
4 |
2 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
80 |
70 |
60 |
||
|
Плановое задание |
90 |
70 |
60 |
||
|
2 |
Оборудование |
500 |
3 |
4 |
5 |
|
Сырье |
300 |
3 |
4 |
2 |
|
|
Электро-энергия |
250 |
3 |
3 |
1 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
30 |
45 |
55 |
||
|
Плановое задание |
10 |
15 |
30 |
||
|
3 |
Оборудование |
550 |
3 |
4 |
5 |
|
Сырье |
430 |
2 |
2 |
3 |
|
|
Электро-энергия |
270 |
4 |
5 |
2 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
45 |
55 |
50 |
||
|
Плановое задание |
20 |
25 |
30 |
||
|
4 |
Оборудование |
670 |
2 |
3 |
4 |
|
Сырье |
830 |
2 |
5 |
6 |
|
|
Электро-энергия |
750 |
3 |
4 |
3 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
40 |
50 |
45 |
||
|
Плановое задание |
10 |
45 |
35 |
||
|
5 |
Оборудование |
650 |
3 |
4 |
4 |
|
Сырье |
800 |
2 |
7 |
6 |
|
|
Электро-энергия |
770 |
3 |
5 |
3 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
45 |
47 |
40 |
||
|
Плановое задание |
20 |
25 |
35 |
||
|
6 |
Оборудование |
600 |
2 |
3 |
5 |
|
Сырье |
870 |
3 |
7 |
7 |
|
|
Электро-энергия |
790 |
4 |
5 |
9 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
37 |
43 |
39 |
||
|
Плановое задание |
25 |
20 |
30 |
||
|
7 |
Оборудование |
690 |
3 |
3 |
1 |
|
Сырье |
870 |
1 |
4 |
5 |
|
|
Электро-энергия |
800 |
3 |
1 |
1 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
80 |
72 |
60 |
||
|
Плановое задание |
90 |
70 |
60 |
||
|
8 |
Оборудование |
670 |
3 |
1 |
1 |
|
Сырье |
765 |
2 |
1 |
5 |
|
|
Электро-энергия |
795 |
3 |
3 |
1 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
87 |
76 |
63 |
||
|
Плановое задание |
95 |
75 |
65 |
||
|
9 |
Оборудование |
650 |
1 |
2 |
2 |
|
Сырье |
740 |
2 |
5 |
1 |
|
|
Электро-энергия |
780 |
1 |
1 |
1 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
65 |
60 |
57 |
||
|
Плановое задание |
85 |
65 |
75 |
||
|
10 |
Оборудование |
600 |
3 |
1 |
1 |
|
Сырье |
750 |
2 |
1 |
1 |
|
|
Электро-энергия |
820 |
2 |
5 |
1 |
|
|
Цена 1 м ткани (ден.ед.) |
50 |
56 |
67 |
||
|
Плановое задание |
80 |
70 |
60 |
||