Лабораторная работа № 3 Моделирование динамики развития экономических систем

Цель лабораторной работы: приобретение практических навыков разработки и исследования математических моделей динамики развития экономических систем.

Краткие теоретические сведения

В большинстве исследований динамических явлений в экономике в качестве важнейшего фактора, определяющего развитие экономической системы в модели, вводится временной фактор (тренд). Процедура экстраполяции тенденций предполагает построение трендовых моделей прогнозирования.

Методика построения экстраполяционных моделей прогнозирования

товарных рынков

Основные этапы:

1 Выбор аппроксимирующего полинома и его параметров для данного временного ряда объемов производства готовых изделий.

2 Оценка выбранного полинома (тренда U_t) и нахождение случайной составляющей E_t

.

3 Проверка соответствия распределения остаточной компоненты нормальному закону распределения.

4 Проверка равенства математического ожидания значения остаточной компоненты нулю.

5 Проверка независимости значений ряда остаточной компоненты (оценка наличия автокорреляции)

6 Проверка точности модели.

Краткое описание основных этапов

1 Выбор аппроксимирующего полинома и его параметров для данного временного ряда объемов производства готовых изделий.

1.1.Предположим, что между переменными существует линейная зависимость:

(3.1)

Параметры aиbопределяем методом наименьших квадратов:

(3.2)

Результаты расчета рекомендуется представить в виде таблицы 3.1.

Таблица 3.1

Процедура расчета показателей модели при линейной аппроксимации

N п/п	ti	Xi	ti2	Xiti
…	…	…	…	…	…
-					-

В результате решения системы уравнений (3.2), вычислим значения параметров aиb и получим полином при линейной аппроксимации.

1.2.Предположим, что между переменными существует параболическая зависимость:

(3.3)

Параметры а₀; а₁; а₂определяем по методу наименьших квадратов при решении системы уравнений:

(3.4)

Результаты расчета рекомендуется представить в виде таблицы 3.2.

Таблица 3.2

Процедура расчета показателей при аппроксимации параболической зависимостью

N п/п	ti	Xi	ti2	ti3	ti4	Xiti	Xiti2
…	…	…	…	…	…	…	…	…
-								-

В результате решения системы уравнений (3.4), вычислим значения параметров а₀; а₁; а₂и получим полином при параболической аппроксимации.

Проведем основанное на методе наименьших квадратов сравнение значений , полученных путем применения каждого из полиномов. Сущность метода наименьших квадратов заключается в том, что сумма квадратов отклонений, полученного значения(аппроксимирующего значения) от заданного значенияX_i, должна быть минимальной.

Наиболее точный полином, соответствующий эмпирическим (заданным) значениям X_i, должен дать наименьшее значение этой суммы.Для сравнения рекомендуется построить таблицу 3.3.

Таблица 3.3

Сравнительная оценка моделей

ti
	Xi				Xi
…	…	…	…	…	…	…	…	…
-	-	-	-		-	-	-	

2 Оценка выбранного полинома (тренда U_t) и нахождение случайной составляющей E_t

.

Предположим, что исследуемый ряд может быть записан следующим образом:

, (3.5)

где U_t– выбранный полином;E_t– случайная составляющая.

Компонента U_t будет считаться найденной правильно только тогда, когда случайная компонента E_t удовлетворяет следующим условиям, доказывающим, что она действительно носит случайный характер. Этих условий несколько:

а) условие случайности,

б) условие нормальности,

в) условие равенства нулю математического ожидания,

г) условие независимости.

Рассмотрим эти условия, подтверждающие адекватность выбранного полинома (тренда) и случайный характер составляющей E_t, а также характеристики точности модели.