- •Росжелдор
- •Задание 1.
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •Задание 4.
- •Задание 5.
- •Задание 6.
- •Задание 7.
- •Задание 8.
- •Образец выполнения семестровой расчетно-графической работы Задание 1.
- •Решение.
- •Задание 2.
- •Задание № 3
- •Решение.
- •Задание № 4 (класс «в»)
- •Решение.
- •Задание № 4 (класс «а»)
- •Задание № 7.
- •Решение.
- •Решение.
- •Задание № 8.
- •Решение.
- •Библиографический список
- •Содержание
Задание № 7.
Задача 1. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Область существования функции: . Имеется единственная точка разрыва
Функция не является ни четной, ни нечетной, так как , поэтому условие четностии условие нечетностине выполняются. Функция непериодична.
Найдем точки пересечения графика с координатными осями.
- не существует,
Найдем интервалы знакопостоянства функции. Очевидно, что функция всюду в области определения положительна.
Найдем асимптоты функции.
Вертикальной асимптотой будет прямая (ось ординат). Для определения наклонной асимптотывоспользуемся формулами
Тогда
Таким образом, асимптотой будет горизонтальная прямая
Найдем точки экстремума и интервалы монотонности функции. Находим первую производную:
.
Из условия найдем- стационарную точку. Построим таблицу
+ |
|
- |
0 |
+ | |
возрастает |
Не существует |
Убывает |
0 |
Возрастает |
Очевидно, что.
Найдем точки перегиба графика функции и его интервалы выпуклости и вогнутости. Так как
, - абсцисса точки перегиба.
1,5 | |||||
+ |
|
+ |
0 |
- | |
Не существует |
Строим график функции
Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Область существования функции , так каксуществует при положительных значениях, а условиюсоответствует. Точка разрыва.
Функция не является ни четной ни нечетной, так как не определена. Функция непериодична.
Точек пересечения функции с координатными осями нет. Интервалы знакопостоянства функции:
Функция положительна, когда , и отрицательна, когда.
Найдем асимптоты:
Вертикальная асимптота: .
Наклонные асимптоты определяются по формуле , где.
Тогда
,
причем последний предел определяют по формуле Лопиталя. Так как один из коэффициентов равен бесконечности, то наклонных асимптот функция не имеет.
Определим экстремумы функции и интервалы монотонности. Найдем сначала первую производную
.
Критическую точку находим, решив уравнение .
- |
|
- |
0 |
+ | |
убывает |
Не существует |
Убывает |
Возрастает |
Функция имеет минимум в точке = , ( ) = .
6. Найдем точки перегиба графика функции и его интервалы выпуклости и вогнутости. Так как ,
- абсцисса точки перегиба.
- |
|
+ |
0 |
- | |
Не существует |
7. Построим график функции.
Задание № 8.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.
Решение.
Найдем сначала критические точки, принадлежащие интервалу :
.
Теперь вычислим значения заданной функции в критических точках и на концах отрезка:
Сравнивая полученные значения функции, заключаем, что