- •Росжелдор
- •Задание 1.
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •Задание 4.
- •Задание 5.
- •Задание 6.
- •Задание 7.
- •Задание 8.
- •Образец выполнения семестровой расчетно-графической работы Задание 1.
- •Решение.
- •Задание 2.
- •Задание № 3
- •Решение.
- •Задание № 4 (класс «в»)
- •Решение.
- •Задание № 4 (класс «а»)
- •Задание № 7.
- •Решение.
- •Решение.
- •Задание № 8.
- •Решение.
- •Библиографический список
- •Содержание
Задание № 3
Даны вершины треугольника: . Найти:
1) длину стороны ;
2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;
3) угол В в радианах;
4) уравнение высоты и ее длину;
5) уравнение медианы ;
6) координаты точки пересечения высоты и медианы .
Решение.
1) Найдем длину стороны по формуле
2) Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид .
Тогда уравнение стороны :
,
а угловой коэффициент
Аналогично, уравнение стороны:
Внутренний угол В заметается вращением стороны ВС против часовой стрелки до совпадения с АВ, поэтому, используя формулу , надо в ней считать за первую прямую ―ВС, а за вторую ― АВ. Тогда 1,11.
Отметив, что угловые коэффициенты иперпендикулярных прямых связаны зависимостью, т.е., используем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку:. Отсюда уравнение высотыимеет вид
.
Расстояние от точки до прямой можно определить по формуле
Найдем координаты точки - середины отрезка :
.
Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, получим уравнение медианы :
.
Точку пересечения высотыи медианы, находим, решив систему уравнений,
Задание № 4 (класс «в»)
Дано уравнение линии второго порядка: .
Требуется:
1) привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду;
2) исследовать, будут ли пересекаться эта линия и прямая , если да, то найти координаты точки их пересечения;
3) сделать чертеж.
Решение.
1) Преобразуем заданное уравнение к виду
Получили уравнение окружности с центром в точке и радиусом
Подставим значение в заданное уравнение. Получим уравнение
, корни которого . Соответствующие значения.
Таким образом, получили две точки пересечения заданных окружности и прямой: и.
3) Точки пересечения окружности с осью оy найдем, решив систему:
получим Решив систему найдем точки пересечения с осьюоx: . Строим окружность с центром в точке,радиусом и прямую .
Задание № 4 (класс «а»)
Исследовать квадратичную функцию и построить ее график.
Решение.
Выписываем коэффициенты: а=2, в=-3, с=-2. Так как а=2>0, то ветви параболы направлены вверх.
Находим координаты вершины .
; .
Находим точки пересечения с осями координат. С осью оx при , решая уравнение , находим 2 корня: ,
С осью оy при x=0: y=-2.
Задание № 5
Вычислить пределы функций.
Решение.
1).
2) .
3)
.
4) .
При решении использовали первый специальный предел и теоремы о применении эквивалентных бесконечно малых в пределах.
5) .
При решении использовали второй специальный предел, а также .
6) .
При решении использовали второй специальный предел, предварительно сделав замену
. Отметим, что условию соответствует.
7) .
Задача решается аналогично задаче 5.
8)
.
9)
Задание № 6.
Найти производные.
Решение.
1)
2)
3)
4)
5)
Предварительно прологарифмируем по основанию e обе части равенства:
Теперь продифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменнойТогда
6)
В данном случае функция задана неявно. Чтобы найти производную следует продифференцировать пообе части заданного уравнения, считая при этом функцией , а затем полученное уравнение разрешить относительно искомой производной.
Имеем:
,
откуда
.
7)
Зависимость между переменными изадана параметрическими уравнениями. Искомая производная определяется по формуле.
Имеем:
Откуда
2. Вычислим производные второго порядка:
.
2)
Продифференцируем обе части равенства по переменной :
.
Продифференцируем снова обе части первого полученного равенства по переменной :
3)
Величины
Зависимость между переменными изадана параметрическими уравнениями. Найдем сначала первую производную.
Имеем:
откуда
Тогда
Используя , получим