2.2 Временные характеристики

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция, или переходная характеристика, h(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 2.3). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается х₁ (t) = 1 (t), что соответствует x₁ = 0 при t ≤ 0 и x₁ = 1 при t > 0. Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена.

Если входное воздействие представляет собой неединичную ступен­чатую функцию , выходная величина будет равна.

Более строго переходную функцию можно определить как отношение выходной величины звена к высоте ступенчатого скачка на его входе, т. е.. При этом размерность h(t) соответ­ствует размерности передаточной функции звена.

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид вход­ного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгно­венное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возраста­ние нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот входного валика сле­дящей системы и т. п.

Умножение какой-либо функции времени х (t) на единичную ступенча­тую функцию 1 (t) означает, что функция времени х (t) будет существовать только при , приона обращается в нуль. Это иллюстрируется рис. 2.4.

Функция веса представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис. 2.5). Единичная импульс­ная функция, или дельта-функция, представляет собой производную от еди­ничной ступенчатой функции: . Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности.

Рис. 2.3 Рис. 2.4 Рис. 2.5

Основное свойство дельта-функции заключается в том, что

(2.3)

т. е. она имеет единичную площадь.

Из последнего выражения следует, что размерность единичной дельта-функции равна [сек^-1].

Дельта-функция может быть представлена как предел некоторого выра­жения, например:

Рис. 2.6

Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса с площадью = 1, прикладываемого при t = 0 (рис. 2.6). Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями и , прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени. Тогда выходная величина звена будет равна

(2.4)

Будем теперь увеличивать высоту импульса N, одновременно уменьшая его ширину , но так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице, т.е.. Помножив и поделив правую часть равенства (2.4) на и перейдя к пределу, получим функцию веса

(2.5)

Таким образом, функция веса может быть получена дифференцированием во времени переходной функции.

В случае, если на вход звена поступает нееди­ничная импульсная функция , на выходе звена получится.

Более строго функцию веса можно определить, как отношение выходной величины звена х₂ (t) к площади поданного на его вход импульса , т. е. . При этом размер­ность соответствует размерности передаточной функции звена, деленной на время.

Импульсная функция также представляет собой распространенный вид входного воздействия в авто­матических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратко­временный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. п. В действительности реальные импульсные воз­действия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если их продолжительность весьма мала по сравнению с временем переходного процесса звена или автоматиче­ской системы, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.

Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразо­ванием Лапласа, а именно: передаточная функция есть изображение функции веса и связана с ней интегральным преобразование

(2.6)

В свою очередь переходная функция звена связана с его передаточной функцией преобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное преоб­разование

(2.7)

Для входного воздействия произвольного типа, прикладываемого в момент t = 0, переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть определен на основании интеграла Дюамеля – Карсона по переходной функции

(2.8)

или по функции веса:

(2.9)

где τ – вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нуля до рассматриваемого текущего момента времени t.

Более подробно методика нахождения переходного процесса при произвольном входном воздействии будет рассмотрена в главе 7.