3.7 Уравнения следящей системы

Рассмотрим следящую систему, принципиальная схема которой изображена на рис. 3.18. Задающим устройством является командная ось КО, вращаемая извне по произвольному закону . Этот угол должен повторяться на управляемом объектеУО, ось которого является исполнительной осью ИО. Мощность, требуемая для вращения командной оси ничтожна, так как с командной осью сцеплен только движок потенциометра П₁. Мощность, которую может потреблять для своего вращения управляемый объект, значительно выше и обеспечивается установкой двигателя Д соответствующей номинальной мощности. В этом, а также в дистанционности явления заключается смысл использования подобной следящей системы воспроизведения угла поворота.

Рис. 3.18

Сравнение углов поворота командной и исполнительной осей осуществляется при помощи двух потенциометров П₁ и П₂. Если углы поворота командной и исполнительной осей не равны, , то возникает напряжение рассогласованияu, которое поступает на вход первого электронного усилителя . Далее усиленный сигнал после прохождения через два электронных усилителя подводится к обмотке возбуждения генератора ОВГ, привод которого не показан на схеме. Якорь генератора Г соединен с якорем двигателя Д, обмотка которого (ОВД) подключена к постоянному напряжению. В результате при появлении рассогласования двигатель начи­нает вращаться в сторону уменьшения ошибки до согласования двух осей. Задающим воздействием здесь является угол поворота. В качестве возмущающего воздействия рассмотрим момент нагрузки М (t) на оси управ­ляемого объекта.

Для улучшения динамических качеств следящей системы в ней пре­дусмотрена отрицательная обратная связь по напряжению тахогенератора (ТГ).

Будем считать, что все звенья системы линейны, за исключением электро­машинного усилителя (генератора), у которого электродвижущая сила е связана с током возбуждения i_В нелинейной кривой намагничивания генера­тора. Однако и здесь при сравнительно небольших напряжениях якоря (примерно до половины номинального) можно зависимость между е и i_В считать также линейной.

Таким образом, в рассматриваемой системе отпадает необходимость линеаризации и можно сразу приступить к составлению уравнений. Для этой цели разобьем систему на динамические звенья и найдем их передаточные функции.

Чувствительный элемент. Напряжение на выходе первого потенциометра будет и на выходе второгогдекрутизна или коэффициент передачи потенциометра. Напряжение на выходе чувстви­тельного элемента равно разности

(3.101)

Это дает передаточную функцию чувствительного элемента

(3.102)

Электронные усилители. Считая усилители безынерционными, можно записать их передаточные функции в виде

(3.103)

(3.104)

где и – коэффициенты усиления по напряжению первого и второго усилителей.

Обмотка возбуждения генератора. Дифференциальное уравнение можно записать на основе второго закона Кирхгофа:

(3.105)

где и– суммарные сопротивление и индуктивность цепи возбуждения с учетом выходного каскада усилителя.

Приведем это уравнение к стандартному виду:

(3.106)

где постоянная времени цепи возбуждения.

Отсюда находим передаточную функцию обмотки возбуждения:

(3.107)

Генератор. Для прямолинейной части характеристики намагничивания можно положить

(3.108)

где k₅ – коэффициент пропорциональности между э.д.с. генератора и током возбуждения в линейной части характеристики. Отсюда получаем передаточную функцию генератора:

(3.109)

Двигатель. Так как при фиксированном возбуждении двигатель имеет две степени свободы, то необходимо иметь для него два исходных дифференциальных уравнения. Первое уравнение может быть получено, если записать закон Кирхгофа для цепи якоря:

(3.110)

Второе уравнение представляет собой закон равновесия моментов на валу двигателя:

(3.111)

В эти уравнениях и – индуктивность и сопротивление цепи якоря (суммарные), и – коэффициенты пропорциональности, J – приве­ди к оси двигателя суммарный момент инерции, Ω – угловая скорость двигателя, Ф – поток возбуждения, М – момент нагрузки, приведенный к валу двигателя.

Так как поток возбуждения двигателя Ф = const, то можно положитьи.

Вводя оператор дифференцирования и решая уравнения (3.110) и (3.111) совместно, получаем

(3.112)

Здесь введены две постоянные времени двигателя:

электромеханическая постоянная времени

(3.113)

и постоянная времени якорной цепи

(3.114)

Коэффициенты пропорциональности С_Е и С_М могут быть найдены из отношений

и и– номинальные значения напряжения и якорного тока двигателя,и– номинальный вращающий момент и скорость идеального холостого хода двигателя.

Учитывая эти соотношения, электромеханическую постоянную времени можно представить в другом виде:

(3.115)

(3.113)

где номинальное сопротивление якоря двигателя, М_кз – момент короткого замыкания двигателя (вращающий момент заторможенного двигателя).

В формуле (3.115) перейдем к углу поворота двигателя α, который связан с угловой скоростью Ω и зависимостью Ω = рα.

(3.116)

Из последнего выражения, сравнивая его с формулой (3.9), можно полу­чить передаточную функцию двигателя, связывающую его угол поворота α с э. д. с. генератора:

(3.117)

и передаточную функцию по возмущению, связывающую угол поворота α с моментом М, приложенным к его оси:

(3.118)

Редуктор. Считая редуктор линейным безынерционным звеном, запишем его передаточную функцию в виде

(3.119)

где i > 1 – передаточное отношение редуктора.

Рис. 3.19

Тахогенератор. Передаточная функция тахогенератора, в соответствии с § 4.7, соответствует идеальному дифференцирующему звену:

(3.120)

где k₈ – коэффициент пропорциональности между э.д.с. генератора и ско­ростью его вращения.

Все звенья рассматриваемой системы, кроме тахогенератора, включены последовательно. Это отображено на структурной схеме рис. 3.19. Тахогенератор включен в цепь местной обратной связи.

Размыкая главную цепь системы, как показано на рис. 3.16 (так, чтобы не нарушать включения местной обратной связи), получаем передаточную функцию разомкнутой системы

(3.121)

После подстановки выражений для передаточных функций звеньев получаем

(3.122)

Здесь введен общий коэффициент усиления цепи регулирования без учета действия местной обратной связи

(3.123)

коэффициент усиления по цепи местной обратной связи

(3.124)

Выражение (3.122) можно переписать в ином виде:

(3.125)

где

(3.126)

Результирующий коэффициент усиления основной цепи с учетом действия местной обратной связи, называемый также добротностью по скорости будет

(3.127)

Найдем операторные выражения для регулируемой величины ₂ и ошибки общим формулам (3.15) и (3.16). Для этого необходимо найти переда­точную функцию по возмущению, связывающую угол поворота ₂ с возмущением М при разомкнутой главной цепи, но замкнутой цепи местной обратной связи. Из структурной схемы (рис. 3.19) при разомкнутой главной обратной связи и при разомкнутой местной обратной связи будет

(3.128)

где i – передаточное отношение редуктора.

При замыкании местной обратной связи в соответствии с формулой (5.59) получаем

(3.129)

откуда искомая передаточная функция по возмущению

(3.130)

где,a, b и с определяются формулами (3.124) и (3.126).

Имея теперь значения передаточных функций W (р) и W_f (р), по общим формулам (3.15) и (3.16) находим операторное выражение для регулируемой величины

(3.131)

и для ошибки

(3.132)

Из (3.132) можно, в частности, получить установившуюся ошибку в неподвижном положении при и. Для этого необходимо в(3.175) положить р=0:

(3.133)

Здесь введено понятие так называемой добротности по моменту (или крутизны по моменту), которая равна отношению приведенного к оси двигателя момента нагрузки к возникающей при этом статической (моментной) ошибке:

. (3.134)

Из формулы (3.133) видно, что в неподвижном положении ошибка опре­деляется только моментом нагрузки (возмущающим воздействием). Это означает, что рассматриваемая система обладает астатизмом относительно управляющего воздействия и статизмом относительно возмущающего воздействияМ.

Заметим, что в формулу (3.133) входит момент нагрузки, приведенный к валу двигателя. Поэтому в эту формулу не вошло передаточное отношение редуктора. Если перейти к моменту нагрузки оси управляемого объекта, то в знаменателе последнего выражения (3.133) появится в качестве множите­ля i. В соответствии с этим можно сформулировать другое понятие добротно­сти по моменту, как отношение момента нагрузки на оси управляемого объекта к установившейся ошибке.

При движении с постоянной скоростьюи; из (3.132) получается установившаяся ошибка

(3.134)

Здесь можно ввести понятие добротности по скорости, которая является коэффициентом пропорциональности между скоростью движения следящей системы и возникающей при этом установившейся ошибкой (при отсутствии возмущения). В данном случае она равна общему коэффициенту усиления по разомкнутой цепи:

при