- •3 Уравнения динамики и динамические характеристики сау
- •3.1 Общий метод составления исходных уравнений
- •3.2 Передаточные функции систем автоматического регулирования
- •3.3 Законы регулирования
- •3.4 Структурные схемы и графы
- •3.5 Многомерные системы регулирования
- •3.6 Управляемость и наблюдаемость
- •3.7 Уравнения следящей системы
- •3.8 Линеаризация уравнений
- •3.9 О записи линеаризованных уравнений звеньев
3.6 Управляемость и наблюдаемость
Рассмотрим n-мерное пространство состояния X, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат.
Пусть в пространстве состояния X заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление , определенное на конечном интервале времени , которое переводит изображающую точку в пространстве X из подобласти в подобласть Г2.
Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояния X в начало координат. Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.
От пространства состояния X перейдем к другому пространству X посредством неособого преобразования , причем , где R – матрица коэффициентов п×п.
Тогда вместо (3.87) будем иметь
(3.91)
Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:,,,и.
Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования приводит к эквивалентным системам различной структуры.
При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (3.91) или часть фазовых координат не участвует в формировании выхода у. В первом случае в система будет не полностью управляемой, а во втором – не полностью наблюдаемой.
В случае не полностью управляемой системы ее исходные уравнения могут быть представлены в виде
(3.92)
Это иллюстрирует рис. 3.15. Набор фазовых координат х1 соответствует управляемой части фазовых координат, а набор х2 неуправляемой части.
Рис. 3.15 |
Рис. 3.16 |
Р. Калманом [50] был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность v управляемой части системы, то есть порядок первой группы уравнений (3.91), совпадает с рангом матрицы
(3.93)
При = п система полностью управляема, при 0 < <п не полностью управляема и при = 0 полностью неуправляема.
На рис. 3.16, а изображен простейший пример. Если рассматривать выходную величину у (t) при ненулевых начальных условиях, то можно записать
(3.94)
где, и , С1, С2 и С3 определяются начальными условиями до приложения входного сигнала ,а – вынужденная составляющая. Система устойчива при а>0, b>0 и с>0.
Если начальные условия до приложения были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции
(3.95)
В этом случае по интегралу Дюамеля – Карсона
(3.96)
Как следует из выражений (3.95) и (3.96), система во втором случае описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при а < 0.
Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, что п = 3, а = 2.
При введении второй составляющей управления система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточных функций по управлению
В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде
(3.97)
Рис. 3.17
Эти уравнения отличаются от (3.87) тем, что фазовые координаты группы х2 не входят ни в выражения для у и и, ни в первое уравнение, куда входят только фазовые координаты группы х1. Группа фазовых координат х2 относится к ненаблюдаемым. Это иллюстрирует рис. 3.17.
Р. Калманом [50] показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы
(3.98)
При =п система полностью наблюдаема, при 0 < < п – не полностью наблюдаема в при = 0 полностью ненаблюдаема.
На рис. 3.16, б изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.
В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат: управляемую, но ненаблюдаемую часть х1, управляемую и наблюдаемую часть х2, неуправляемую и ненаблюдаемую часть х3 и неуправляемую, но наблюдаемую часть х4.
Исходные уравнения системы (3.87) в этом случае можно для самого общего случая записать следующим образом:
(3.99)
Левая часть характеристического уравнения (3.88) системы в этом случае содержит четыре сомножителя:
(3.100)
Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.