3.3 Законы регулирования

Под законом регулирования или – в более общем случае – законом понимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которыми управляющее устройство формирует управляющее воздействии и (t). Эта зависимость может быть представлена в виде

(3.29)

где F – некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х задающая воздействии g и возмущающего воздействия f. а также от их производственных и интегралов по времени.

Формула (3.29) обычно может быть записана следующим образом:

(3.30)

Первое слагаемое (5.30) соответствует регулированию по отклонению (принцип Ползунова – Уатта), второе и третье – регулированию по внешнему воздействию (принцип Понселе).

Здесь мы рассмотрим только линейные законы, когда управляющее вырабатывает величину и (t) в функции ошибки в соответствии c линейной формой

(3.31)

или в операторной записи

(3.32)

Регулирование по внешнему воздействию будет рассмотрено в § 9.2.

Предположим вначале, что регулируемый объект представляет собой звено статического типа. Это означает, что в установившемся состоянии между регулируемой величиной и управляющим воздействием существует пропорциональная зависимость, вытекающая из (3.8) при равенстве нулю возмущающих воздействий:

где коэффициент передачи объекта.

1. Пропорциональное регулирование. В случае пропорционального регу­лирования выражение (3.7) для простейшей безынерционной цепи регули­рования (см. рис. 3.1) приобретает вид

(3.33)

Передаточная функция может иметь более сложный вид, например:

где А (р) и В (р) – некоторые полиномы от оператора р.

Однако существенным здесь является то обстоятельство, что цепь регулирования представляет собой позиционное (статическое) звено и припередаточная функция где –коэффициент передачи цепи регулирования ¹).

В связи с изложенным здесь и далее ради облегчения анализа рассмат­ривается упрощенное выражение (3.33), которое является справедливым, по крайней мере, для медленных изменений величины х.

Передаточная функция разомкнутой системы

В установившемся состоянии передаточная функция стремится к зна­чению

(3.34)

Эта величина называется общим коэффициентом усиления разомкнутой системы. Коэффициент усиления является безразмерной величиной, так же как и передаточная функция разомкнутой системы. Это вытекает из соотно­шения (3.11).

Коэффициент усиления разомкнутой цепи (рис. 3.1) физически представ­ляет собой отношение установившегося значения регулируемой величины к постоянному значению ошибки х = х₀,, если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом рассматривать как некоторый усилитель, на входе которого действует сигнал в виде ошибки х, а на выходе – усиленный сиг­нал у. Таким образом, для коэффициента усиления можно записать

Для установившегося состояния замкнутой системы при постоянном задающем воздействии из формулы (3.16) может быть получено следующее соотношение:

(3.35)

где установившаяся (статическая) ошибка,установившееся значение ошибки от возмущающих воздействий в объекте без регулирования.

_____________

1. Заметим, что режимсоответствует установившемуся режиму, так как приравнивание оператора дифференцирования нулю означает приравнивание нулю всех производных.

Таким образом, пропорциональное регулирование позволяет уменьшить установившиеся ошибки в объекте в 1 + К раз. Регулирование в этом случае статическим, так как при любом конечном значении коэффициента цепи установившаяся ошибка будет отличной от нуля.

Передаточная функция разомкнутой системы (3.10) для этого случая может быть представлена в виде

(3.36)

где

2. Интегральное регулирование. При интегральном регулировании осуществляется пропорциональная зависимость между скоростью изменения него воздействия и ошибкой:

(3.37)

при этом регулирующее воздействие получается пропорциональным интегралу от ошибки по времени:

(3.38)

В операторной форме это можно записать в виде

(3.39)

Интегральное регулирование может быть осуществлено при помощи каких-либо интегрирующих звеньев, которые были рассмотрены в главе 4.

Аналогично изложенному выше (при рассмотрении пропорционального регулирования) передаточная функция цепи регулирования может иметь сложный вид, например:

Однако существенным здесь является то, что цепь регулирования представляет собой или имеет в своем составе интегрирующее звено. Поэтому (3.39) будет справедливым по крайней мере для медленных измерений ошибки х.

Передаточная функция разомкнутой системы регулирования

(3.40)

В установившемся состоянии (р = 0) передаточная функция стремится к бесконечности:. В результате первая составляющая ошибки (3.16) обращается в нуль. Вторая составляющая, определяется наличием возмущающих воздействий, может не обращаться в нуль, так как в установившемся состоянии числитель ее может также стремиться к бесконечности. Поэтому должен быть найден предел выражения при:

(3.41)

который может быть как равным нулю, так и отличным от нуля.

Таким образом, при интегральном регулировании получается система, астатическая по отношению к задающему воздействию. Она может быть при этом как статической, так и астатической по отношению к возмущающим воздействиям.

Передаточная функция разомкнутой системы для случая интегрального регулирования может быть представлена в виде

(3.42)

где коэффициент усиления разомкнутой системы. Физически он представляет собой отношение установившейся скорости изменения регу­лируемой величины к постоянной по величине ошибке в разомкнутой системе (рис. 3.1):

(3.43)

если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом представить себе в виде некоторого усилителя с входной величиной х и выходной у.

Коэффициент часто называют добротностью по скорости системы регулирования. В дальнейшем, при рассмотрении вопросов точности, будет показано, что он равен отношению постоянной скорости изменения задающего воздействия

к установившейся ошибке:

(3.44)

что и определило подобное название.

Регулирование может осуществляться и по второму интегралу от ошибки по времени:

(3.45)

или

(3.46)

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид

(3.47)

где коэффициент усиления разомкнутой системы, представляющий собой отношение установившегося ускорения изменения регулируемой величины к постоянной по величине ошибке в разомкнутой системе (рис. 3.1):

(3.48)

В этом случае установившееся значение (р = 0) передаточной функции . Система также будет обладать астатизмом относительно задаю­щего воздействия. Однако это будет уже астатизм второго порядка. Ошибка, определяемая задающим воздействием в (3.16), будет равна нулю не только при , но и при изменении задающего воздействия с постоянной

Аналогичным образом можно получить астатизм третьего и выше поряд­ков, вводя регулирование по третьему и высшим интегралам, т. Е. осуществляя регулирование по закону

(3.49)

где r – порядок астатизма.

Случай пропорционального регулирования (3.30) можно рассматривать частный случай астатизма при r = 0.

Повышение порядка астатизма приводит к увеличению установившейся точности системы регулирования, но одновременно делает систему более замедленной в действии, т. е. снижает ее быстродействие, а также приводит к ухудшению устойчивости. Последнее будет показано ниже в главе, посвященной устойчивости.

Рис. 3.2

Для иллюстрации появления замедленности действия систем с интегральным регулированием рассмотрим рис. 3.2. Предположим, что ошибка в системе регулирования начинает возрастать по линейному закону x = at. В системе пропорционального регулирования по такому же закону начнет создаваться регулирующее воздействие. В системе интегрального регулирования регулирующее воздействие будет создаваться по закону . При t = 0 в этом случае в системе интегрального регулирования не только регулирующее воздействие равно нулю, но равна нулю также и его первая производная, чтообусловливает весьма медленный рост и в первые моменты времени. В системепропорционального регулирования рост и в первые моменты времени происходит более интенсивно, так как наличие ошибки сразу дает появление регулирующего воздействия, в то время как в системе интегрального регулирования должно пройти некоторое время, пока не «накопится» интеграл .

Если перейти к регулированию по второму интегралу, то снижение быстродействия станет еще более заметным.

3. Изодромное регулирование. При изодромном регулировании осуществляется регулирование по пропорциональному и интегральному законам:

(3.50)

В этом случае прир = 0 и регулирование оказывается астатическим относительно задающего воздействия. Изодромное регулирование может осуществляться при помощи использования двух параллельных ветвей в цепи регулирования или при помощи установки изодромных звеньев, рассмотренных в главе 4.

Изодромное регулирование сочетает в себе высокую точность интегрального регулирования (астатизм) с большим быстродействием пропорциональности регулирования. В первые моменты времени при появлении ошибки система изодромного регулирования работает как система пропорционального регулирования. Это определяется первым слагаемым в правой части закона (3.50). В дальнейшем система начинает работать как система интегрального регулирования, так как с течением времени преобладающее значение начинает приобретать второе слагаемое (3.50).

4. Регулирование по производным. При регулировании по первой про­изводной от ошибки осуществляется зависимость

(3.51)

Регулирование по производной не имеет самостоятельного значения, так как в установившемся состоянии производная от ошибки равна нулю и регулирование прекращается. Однако оно может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогатель­ного средства, так как такое регулирование позволяет учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к росту или уменьшению ошибки. При осуществлении регулирования по закону

(3.52)

в системе образуется регулирующее воздействие даже в том случае, когда х = 0, но . Так, например, в рассмотренном выше случае (рис. 3.2) при х = аt регулирующее воздействие, определяемое вторым слагаемым в правой части (3.52), возникает уже при t = 0. В результате введение регу­лирования по производной от ошибки увеличивает скорость реакции системы регулирования, повышает ее быстродействие, что приводит к снижению ошибок в динамике.

В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться произ­водные более высоких порядков – вторая, третья и т. д. Это еще больше улучшает динамические качества системы автоматического регулирования. Однако в настоящее время техническая реализация производных выше второго порядка встречает значительные трудности.

В общем случае закон регулирования может иметь сложный вид и содер­жать кроме члена, пропорционального ошибке, также интегралы (для улуч­шения точности) и производные (для улучшения динамических свойств) от ошибки. Так, например, часто используется изодромное регулирование с введением первой производной

(3.53)

Таким образом, передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем общем виде:

(3.54)

где коэффициент усиления разомкнутой системы, r – степень астатизма.

Для последующего использования при анализе и синтезе передаточную функцию разомкнутой системы удобно представлять в виде произведения сомножителей типа (1 + Тр):

(3.55)

Если знаменатель или числитель (3.54) содержит комплексные корни то в (3.55) появятся сомножители вида

которые характерны, например, для звеньев колебательного типа.

Формула (3.55) особенно удобна при использовании логарифмических частотных характеристик, так как исоответствуют сопрягающим частотам асимптотической л. а. х., которая при известных и может достроена без вычислительной работы.