4.1. Теоретические основы подобия

Теория физического подобия базируется на трех теоремах, которые кратко могут быть сформулированы в следующем виде.

Первая теорема подобия. Подобные явления имеют одинаковые критерии подобия. Под критериями подобия подразумевают безразмерный комплекс физических величин. Например, закон Ньютона, описывающий движение материальной точки при действии силыF, записывается в виде формулы:

F = m · a, (4.1)

где m– масса материальной точки, кг;

а - ускорение точки, м/с².

a= ,

где V– скорость, м/с;

t– время, с.

Деля левую часть выражения (4.1) на правую, получим критерий подобия Ньютона, характеризующий отношение силы, приложенной к точке массы m:

. (4.2)

Данный критерий представляет собой безразмерную величину:

.

Кроме комплексов (критериев), могут быть использованы симплексы. Симплексы – это отношение одинаковых физических величин. Например, для оценки геометрической формы подшипника скольжения можно использовать симплекс l_n/d_n, являющийся отношением длины к диаметру. Обозначая критерий через π, получим для подобных явлений π =idem(idem– одно и тоже). Так,, т.е. при геометрическом подобии отношение ширины подшипника к диаметру (наружному или внутреннему) для образца и модели должно быть одно и то же, а их отношение равно единице. Критерии, как и симплексы, можно умножать или делить друг на друга или на один из них, а также на постоянную величину, возводить в степень, получая новые критерии с разным физическим смыслом.

Символы дифференцирования и интегрирования, входящие в исходные уравнения, поскольку они не имеют размерности, могут быть при установлении подобия отброшены и заменены выражениями:

;. (5.3)

Например:

, тогда,

где S– пройденный точкой путь (м) под действием силыF(Н) за промежуток времениt, с.

Ne– критерий подобия Ньютона.

Следует также учитывать, что геометрически подобные тела и движения (траектории), тригонометрические функции при преобразованиях тождественно равны, т.к. имеют одинаковые углы, представляющие геометрически подобные фигуры, например:

при.

Вторая теорема подобия.Всякое уравнение физического процесса может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, т.е.

, (4.4)

где 1,2,…, S…n– число критериев, определяющих физический процесс.

Согласно π – теореме [1,2,7] из mпараметров (физических величин), входящих в уравнение связи, можно оставить не болееm–k=nкритериев подобия, гдеk– число параметров независимой размерности.

К критериям независимой размерности или первичным относят такие, которые можно непосредственно измерить. Их называют основными единицами: сила, путь, время, температура и т.д. Остальные величины, значения которых вычисляются, - вторичные, или производные: скорость, давление, масса и т.д. Система первичных величин и основных единиц выбирается произвольно.

Из первой и второй теорем следует, что подобные физические процессы должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями.

Согласно третьей теореме подобия подобными явлениями будут те, которые имеют одинаковые определяющие критерии и подобные условия однозначности (или краевые условия).

Определяющими (независимыми переменными) являются такие критерии, содержащие физические величины (параметры), которые входят в условия однозначности изучаемого явления. Эти критерии характеризуют процесс в отличие от определяемых (зависимых переменных), они могут быть заранее измерены или вычислены.

Условия однозначности, или краевые условия изучаемых явлений бывают: геометрические, характеризующие форму и размеры тел, в которых протекают процессы;физические, характеризующие физические свойства среды и окружающих тел;граничные, характеризующие особенности протекания процесса на границах тел;временные, характеризующие особенности протекания изучаемого процесса во времени.

Таким образом, если первые две теоремы устанавливают отношения между параметрами заведомо подобных явлений, то третья теорема определяет признаки подобных явлений.

Из изложенного следует, что постановка и задача эксперимента на основе теории подобия значительно упрощается, так как в этих случаях находится функциональная связь между целыми комплексами физических величин (критериями), описывающими то или иное явление. Кроме того, в известных границах имеется возможность распространения результатов единичного опыта на подобные системы, в том числе и на геометрически уменьшенные (или увеличенные) модели.