Задача 6

Гірничо-збагачувальний комбінат виробляє товарну продукцію – концентрат, який реалізує на внутрішній і зовнішній ринки збуту. При продажу тон концентрату на внутрішній ринок витрати на реалізацію складаютьгрн., а при продажутон концентрату на зовнішній ринок -грн.

Визначити, яку кількість концентрату (тон) необхідно продавати на внутрішній і зовнішній ринки, щоб витрати на реалізацію були мінімальними, якщо за рік реалізується 10000 тис. тон концентрату.

Розв’яжемо задачу за допомогою методу множників Лагранжа

Складемо економіко-математичну модель задачі. Цільова функція економіко-математичної моделі має вигляд

,

де - витрати на реалізацію концентрату, грн.

при обмеженнях

Складемо функцію Лагранжа

.

За необхідною умовою існування екстремуму функції, знайдемо частинні похідні функції за змінними, прирівняємо їх до нуля та одержимо систему рівнянь

Після елементарних перетворень одержуємо

Звідки тис. тон;тис. тон.

Перевіримо одержані значення на оптимальність. Використаємо достатню умову екстремуму функції двох змінних.

Одержуємо, Звідси,, тому у точці (5000; 5000) існує екстремум функції. Приодержуємо, що у досліджуваній точці існує мінімум функції, значить, мінімальні витрати на реалізацію концентрату дорівнюють

грн.

Задача 7

Для виробництва двох видів продукції виробів А і В підприємство використовує три типи технологічного обладнання. Кожен із виробів повинен пройти обробку на кожному з типів обладнання. Час обробки кожного з виробів, витрати, що пов’язані з виробництвом одного виробу, задано у таблиці

Тип обладнання	Витрати часу на обробку одного виробу, час.
	А	В
І	2	8
ІІ	1	1
ІІІ	12	3
Витрати на виробництво одного виробу, тис. грн.	2	3

Обладнання І і ІІІ типів підприємство може використовувати не більше 26 і 39 годин відповідно, обладнання ІІ типу доцільно використовувати не менше 4 год.

Визначити, скільки виробів кожного виду треба виробити підприємству, щоб середня собівартість одного виробу була мінімальною.

Позначимо - кількість виробів виду А;- кількість виробів виду В. Загальні витрати на їх виробництво складаютьтис. грн., а середня собівартість одного виробу дорівнює, тому математична модель задачі має вигляд

при обмеженнях

Побудуємо область припустимих розв’язків – трикутник АВС.

Із цільової функції виразимо

Значить кутовий коефіцієнт прямої зростає, тобто пряма обертається проти годинникової стрілки і у точці С є мінімум, а у точці А – максимум.

Знайдемо координати точки С

.

Тому підприємство повинно випускати 3 вироби виду А і 1 виріб виду В, при цьому середня собівартість буде складати 2,25 грн.

Задача №8

Наведена таблиця міжгалузевих зв’язків для 3 галузей промисловості. Необхідно визначити обсяги випуску продукції кожної галузі, якщо кінцевий продукт буде змінюватися і дорівнювати відповідно 40, 30 і 50 млн. грн.

Галузь промисловості	Обсяг продукції, млн. грн.	Міжгалузеві потоки в галузях, млн. грн.
		№1	№2	№3
1	200	40	60	50
2	320	100	100	80
3	400	80	120	100

Для розв’язання застосуємо задачу про складання міжгалузевого балансу Леонтьєва

Складемо матрицю технології виробництва, використовуючи формулу

.

Знайдемо матрицю , обернену до матриці (), визначник якої

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці ():

Тоді матриця коефіцієнтів сумісного споживання має вигляд

Обсяги продукції, які необхідно виробляти кожній галузі будуть дорівнювати

Таким чином, випуск продукції в першій галузі необхідно зменшити до 140,65 млн. грн., у другій – до 219,39 млн. грн., а у третій – до 251,36 млн. грн.