Лабораторна робота 2 аналіз рядів розподілу і вибіркових даних

1. Завдання

За даними 10% вибіркового обстеження підприємств щодо обсягів товарної продукції (табл. 1), проведеного безповторним відбором, необхідно побудувати інтервальний варіаційний ряд, поділивши дані на п’ять рівних інтервалів.

Визначити показники центру розподілу (середній обсяг товарної продукції, структурні середні: моду та медіану аналітично і графічно).

Розрахувати показники варіації (середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, лінійний та квадратичний коефіцієнти варіації).

Обчислити коефіцієнт асиметрії.

Зобразити інтервальний ряд графічно у вигляді гістограми, також побудувати кумуляту розподілу підприємств за обсягом товарної продукції.

З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться середнє значення обсягу товарної продукції у генеральній сукупності.

За отриманими результатами зробити висновки.

Вихідні дані у табл. 2.1 формуються відповідно до номера N студента за списком групи

Таблиця 2.1

Обсяг товарної продукції

№ підприємства	Обсяг товарної продукції, тис. грн.	№ під-при-ємс-тва	Обсяг товарної продукції, тис. грн.		№ підпри-ємства	Обсяг товарної продукції, тис. грн.	№ підпри-ємства	Обсяг товарної продукції, тис. грн.	№ підпри-ємства	Обсяг товарної продукції, тис. грн.
1	2	3		4	5	6	7	8	9	10
1	145+5N	11		370+5N	21	705+5N	31	565+5N	41	635+5N
2	185+5N	12		600+5N	22	665+5N	32	485+5N	42	475+5N
3	305+5N	13		515+5N	23	445+5N	33	390+5N	43	285+5N
4	430+5N	14		180+5N	24	320+5N	34	825+5N	44	615+5N
5	200+5N	15		670+5N	25	375+5N	35	770+5N	45	450+5N
6	405+5N	16		475+5N	26	800+5N	36	185+5N	46	290+5N
7	535+5N	17		465+5N	27	495+5N	37	235+5N	47	350+5N
8	550+5N	18		945+5N	28	120+5N	38	240+5N	48	130+5N
9	140+5N	19		850+5N	29	315+5N	39	555+5N	49	580+5N
10	655+5N	20		455+5N	30	700+5N	40	435+5N	50	560+5N

(N – номер студента по списку в журналі групи)

2. Порядок виконання роботи

2.1. Побудувати інтервальний варіаційний ряд:

• за вихідними даними побудувати ранжований ряд (за зростанням) за допомогою послідовності команд ДАННЫЕСОРТИРОВКА (сортувати за зростанням);

• на базі ранжованого ряду визначити найменший х_min і найбільший х_max обсяг товарної продукції візуально або на базі неранжованого ряду за допомогою вбудованих статистичних функцій МИН і МАКС;

• розрахувати розмах варіації R;

• визначити ширину інтервалу h;

• визначити границі інтервалів і занести їх у таблицю 2.2 (стовпці 2 і 3);

• сформувати інтервали і занести їх у таблицю 2.2 (стовпець 4);

Таблиця 2.2

Розрахункова таблиця

№ інтер-валу	Границя інтервалу		Обсяг товарної продукції (границі інтервалів)	Кіль-кість ознак (час-тота) f	Кумулятивні частоти Sf	Сере-дина інтервалу хс	хсf
	Нижня xн	Верхня хв
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
I	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
V	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
Разом	-	-	-	…	-	-	…	-	…	…

• визначити частоту кожного інтервалу f. Для цього:

• установити на ранжований ряд користувальницький автофільтр, виконавши послідовність команд ДАННЫЕФИЛЬТРАвтофильтр;

• розкрити список автофільтра й установити умови фільтрації даних відповідно до границь інтервалів («больше или равно …» та «меньше ...»). Примітка: для останнього інтервалу умова фільтрації даних «больше или равно …» та «меньше или равно ...»;

• визначити кількість ознак у відповідному інтервалі за допомогою вбудованої функції СЧЕТ(...) (категорія «Статистичні» майстра функцій) і занести в таблицю 2.2 (стовпець 5);

або:

= визначити закриті верхні границі інтервалів як останні включені в інтервал значення ознаки, тобто за умови «меньше или равно ...»;

= для виведення частот у стовпці 5 таблиці 2.2 активувати таку кількість комірок, як і кількість інтервалів;

= викликати появу діалогового вікна вбудованої функції ЧАСТОТА (категорія «Статистичні» майстра функцій), у полі «Массив данных» ввести діапазон неранжованих значень групувальної ознаки, у полі «Массив интервалов» - діапазон закритих верхніх границь інтервалів, крім останньої;

= вивести частоти як формулу масиву, натискаючи F2, а потім одночасно Ctrl+Shift+Enter;

• визначити кумулятивні частоти S_f і занести їх у таблицю 2.2 (стовпець 6).

Стовпці 4 і 5 являють собою побудований інтервальний ряд розподілу.

2.2. Обчислити середній обсяг товарної продукції як середню зважену арифметичну, для чого:

• визначити середини інтервалів х_с як півсуму верхньої і нижньої границь інтервалів, наведених у стовпчиках 2 і 3, за допомогою вбудованої функції СРЗНАЧ і занести результати у таблицю 2.2 (стовпець 7);

• визначити добутки середин інтервалів х_с і частот f_i, використовуючи вбудовану математичну функцію ПРОИЗВЕД, результати відобразити у стовпці 8 таблиці 2.2, знайти їх суму за допомогою вбудованої матаматичної функції СУММ або СУММПРОИЗВ.

2.3. Обчислити аналітично за побудованим інтервальним варіаційним рядом структурні середні:

• моду М_о;

• медіану М_е.

2.4. Розрахувати показники варіації:

• заповнити стовпці 9-11 таблиці 2.2, у стовпцях 10 і 11 визначити суми;

• розрахувати:

• середнє лінійне відхилення ;

• дисперсію σ² ;

• середнє квадратичне відхилення ;

• лінійний коефіцієнт варіації .

• квадратичний коефіцієнт варіації .

2.5. Визначити ступінь асиметричності розподілу, розрахувавши коефіцієнт асиметрії Аs.

2.6. Побудувати:

- гістограму на базі стовпців 4 і 5 таблиці 2.2, визначити графічно моду М_о;

- кумулятивну гістограму на базі стовпців 4 і 6 таблиці 2.2, визначити графічно медіану М_е .

2.8. З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться середнє значення обсягу товарної продукції у генеральній сукупності:

- розрахувати граничну похибку вибірки ∆_х;

- визначити довірчі межі генеральної середньої.

2.9.За отриманими результатами зробити висновки.

Формули та способи розрахунку показників представлені у нижченаведеному прикладі, а також можуть бути знайдені в таких літературних джерелах: [1, с.31-32, 38-40,50-63,67-69,176-190]; [2, с. 10-22,45-62,69-80,106-108,187-191]; [3, с. 23-33, 59-64, 74-82]; [4, с.5-11]

3. Приклад побудови інтервального варіаційного ряду та розрахунку статистичних характеристик

За результатами аналізу 15% вугілля, відібраного безповторним відбором, отриманінаступні результати щодо зольності вугілля(%): 18,16,18,21,19,17,18,21,14,18,16,12,19,23,17,18,15,20,19,17,21,16,20,13,19,14,20,15,18,20,17,19,16,18,13,15,17,24,16,14.

Необхідно побудувати інтервальний варіаційний ряд, поділивши дані на шість рівних інтервалів.

Визначити показники центру розподілу (середнє значення зольності, структурні середні: моду та медіану аналітично і графічно). Розрахувати показники варіації (середнє лінійне відхилення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, лінійний та квадратичний коефіцієнти варіації).

Обчислити коефіцієнт асиметрії.

Зобразити інтервальний ряд графічно у вигляді гістограми, також побудувати кумуляту розподілу проб вугілля за зольністю.

З імовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться середнє значення зольності вугілля у генеральній сукупності.

За отриманими результатами зробити висновки.

1. Побудова інтервального варіаційного ряду:

• розмістимо вихідні дані ( номер проби і зольність вугілля) у два стовпчики;

• скопіюємо стовпчик зольності і зранжуємо показники за зростанням за допомогою послідовності команд ДАННЫЕСОРТИРОВКА (сортувати за зростанням). Результати заносимо до табл. 2.3;

Таблиця 2.3

Зольність вугілля

• №	Зольність,
  проби	%
  1	2		3
  1	18		12
  2	16		13
  3	18		13
  4	21		14
  5	19		14
  6	17		14
  7	18		15
  8	21		15
  9	14		15
  10	18		16
  11	16		16
  12	12		16
  13	19		16
  14	23		16
  15	17		17
  16	18		17
  17	15		17
  18	20		17
  19	19		17
  20	17		18
  21	21		18
  22	16		18
  23	20		18
  24	13		18
  25	19		18
  26	14		18
  27	20		19
  28	15		19
  29	18		19
  30	20		19
  31	17		19
  32	19		20
  33	16		20
  34	18		20
  35	13		20
  36	15		21
  37	17		21
  38	24		21
  39	16		23
  40	14		24

  визначаємо найменше і найбільше значення зольності вугілля х_min = 12%, х_max = 24%;

• розраховуємо розмах варіації

R = х_max - х_min = 24 – 12 = 12%;

• визначаємо ширину інтервалу

h = R : n = 12 : 6 = 2%;

• визначаємо границі інтервалів і заносимо їх у таблицю 2.4 (стовпці 2 і 3);

• формуємо самі інтервали і заносимо їх у таблицю 2.4 (стовпець 4);

• визначаємо частоту кожного інтервалу, для чого:

• встановлюємо на ранжируваний ряд користувальницький автофільтр, виконавши послідовність команд ДАННЫЕФИЛЬТРАвтофильтр;

• розкриємо список автофільтра та встановимо умови фільтрації відповідно до границь інтер-валів («больше или равно 12» та «меньше 14»; «больше или равно 14» та «меньше 16»; і т.д.);

• визначаємо кількість ознак у відповідному інтервалі за допомогою вбудованої функції СЧЕТ(…) (категорія «Статистичні» майстра функцій) і заносимо в табл. 2.4 (стовпець 5);

або

• визначаємо закриті верхні границі інтервалів як останні включені в інтервал значення ознаки, тобто за умови «меньше или равно », це буде 13,15,17,19,21,24%;

• для виведення частот активуємо кількість комірок таку, як і кількість інтервалів у стовпці 5 таблиці 2.4;

• викликаємо появу діалогового вікна вбудованої функції ЧАСТОТА (категорія «Статистичні» майстра функцій), у полі «Массив данных» вводимо діапазон неранжованих значень зольності вугілля (табл. 2.3, стовпець 2), у полі «Массив интервалов» - діапазон закритих верхніх меж інтервалів, крім останнього;

• виводимо частоти як формулу масиву, натискаючи F2, а потім одночасно Ctrl+Shift+Enter;

• визначаємо кумулятивні частоти шляхом послідовного підсумовування частот і заносимо їх у табл. 2.4 (стовпець 6).

• визначаємо середини інтервалів як напівсуми нижньої і верхньої границь відповідних інтервалів (показники стовпчиків 2 і 3 табл.4) за допомогою вбудованої функції СРЗНАЧ(…) (категорія «Статистичні» майстра функцій) і заносимо їх у табл. 2.4 (стовпець 7);

Таблиця 2.4

Розрахункова таблиця

№ інтер-валу	Границя інтервалу		Обсяг товарної продукції (границі інтервалів)	Кіль-кість ознак (час-тота) f	Кумулятивні частоти Sf	Сере-дина інтервалу хс	хсf
	Нижня xн	Верхня хв
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
I	12	14	12 - 14	3	3	13	39	-5	15	75
II	14	16	14 - 16	6	9	15	90	-3	18	54
III	16	18	16 - 18	10	19	17	170	-1	10	10
IV	18	20	18 - 20	12	31	19	228	1	12	12
V	20	22	20 - 22	7	38	21	147	3	21	63
VI	22	24	22 - 24	2	40	23	46	5	10	50
Разом	-	-		40	-	-	720	-	86	264

2. Розраховуємо показники центру розподілу:

а) середню зольність вугілля як середню зважену арифметичну, попередньо знайшовши добутки значень середин інтервалів зольності (стовпець 7) і частот (стовпець 5) за допомогою вбудованої функції ПРОИЗВЕД, які заносяться у таблицю 2.4 (стовпець 7) та знайшовши їх суму за допомогою вбудованої функції СУММ або СУММПРОИЗВ

%

б)структурні середні:

• моду аналітично за побудованим інтервальним варіаційним рядом %;

• медіану аналітично за побудованим інтервальним варіаційним рядом %;

1. Розраховуємо показники варіації:

• заповнюємо стовпці 9-11 таблиці 2.4;

• розраховуємо:

• середнє лінійне відхилення %;

• дисперсію ;

• середнє квадратичне відхилення = 2,57 %;

• лінійний коефіцієнт варіації %.

• квадратичний коефіцієнт варіації %.

4. Оцінюємо ступінь асиметричності розподілу, для чого розраховуємо: = коефіцієнт асиметрії

Так як A_s<0, то асиметрія лівостороння, так як |A_s |<0,25, то асиметрія слабка

5. Будуємо гістограму на основі стовпців 4 і 5 таблиці 2.4 і визначаємо графічно моду (рис. 2.1);

.

Рисунок 2.1. Гістограма розподілу вугілля за зольністю

6. Будуємо кумулятивну гістограму розподілу вугілля за зольністю на основі стовпців 4 і 6 таблиці 4 і визначаємо графічно медіану (рис. 2);

Рисунок 2.2. Кумулята розподілу вугілля за зольністю

1. Визначимо з імовірністю 0,954 межі, в яких знаходиться середнє значення зольності вугілля у генеральній сукупності

• розраховуємо граничну похибку для середнього значення ознаки з урахуванням того, що для імовірності 0,954 довірче число складає t=2

• визначаємо межі середньої зольності вугілля у генеральній сукупності

• 

Висновки: середня зольність вугілля за вибірковими даними складає 18%; найбільш характерна зольність вугілля становить 18,57%, при цьому половина вугілля має зольність більшу 18,17%, а половина – меншу цього значення. У середньому зольність вугілля відхиляється від її середнього значення за данними лінійного відхилення на 2,15% і за даними квадратичного – на 2,57%. Значення лінійного коефіцієнта варіації 11,94%, квадратичного - 14,27% , що менше ніж 33%, тому вибірку можна вважати досить однорідною. Розподіл характеризується слабкою лівосторонньою асиметрією. З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що середня зольність вугілля в генеральній сукупності знаходиться в межах 17,25 – 18,75%.