Deza_Kotova_Sbornik_zadach_po_teorii_chisel

щ) Найдите все целые решения (х, у) уравнений х2 - 108у2 = ±1,

удометворяющие условию х, у Е [-100, 21 О].

§ 2. Задачи лабораторной работы по теме

«Сравнения по составному модулю»

Решите сравнение:

1. х5 - 2х4 + 4х3 - 6х2 + 5х = O(mod 18);

2.5х2 + 7х + 2 = O(mod 36);

3.х3 + 17х2 + 16х + 12 = O(mod 40)

11.х4 - х3 + 2х2 + 12х + 18 = O(mod 108);

12.ж5 - 2ж4 + 4ж3 - 6ж2 + 17ж + 3=O(mod135);

13.х5 + Зж4 - 7х3 + 4х2 + 4х - 10 = O(mod 175);

§ 2. Лабораторная работа «Сравнения по составному модулю» 181

14.5х4 + 2х + 12 = O(mod 216);

15.31х4 + 57х3 + 96х + 191=O(mod225);

16.126х4 + 10Ох3 + 100х2 + 200х + 149 = O(mod 225);

17.4x5 +3x+9:=0(mod288);

18.18х3 + 3х + 18 = O(mod 288);

19.х3 + 5х = O(mod400);

20.2х6 - 6х4 - 7х2 - 4 = O(mod441);

21.х3 - х2 + 2х + 4 = O(mod 480);

22.9х5 + 3х + 96 = O(mod 480);

23.х3 - 2х2 + 15х + 4 = O(mod 504);

24.х6 - х5 + 3х4 - 5 = O(mod675);

25.8х4 - х = O(mod 675);

26. 6х4 + 5х3 - 3х2 + 12х + 135 = O(mod 675);

27.х3 + 6х + 7 = O(mod 675);

28.3х3 + 4х2 + 6х + 9 = O(mod 792);

29.х3 + 4х + 4 = O(mod 800);

30.х3 + х2 + 4х + 4 = O(mod 800);

31.х5 - х4 + 6х2 + 15х + 36 = O(mod 864);

32.2х5 - х4 + х + 50 := O(mod(IOOO);

33.х3 + 6х + 20 = O(mod 1000);

34.х4 - 2х2 - 2х + 16 = O(mod 1120);

35.2х6 - 3х4 + 5х2 + 50 = O(mod 1125);

36.х4 + х3 - 6х2 + 15х + 45 = O(mod 1323);

37.х5 - 6х4 + 2х3 - 7х2 + 21х + 392=O(mod1372);

38.х3 + х2 + 27х - 42 = O(mod 2025);

39. х3 - 16х2 - 5х + 20 = O(mod 56);

40.2х3 - 2х2 - 4х = O(mod 72);

41.х3 - 2Ох2 - 26х + 45 = O(mod 135);

42.х3 - 12х2 + 12х - 55 = O(mod 135);

43.18х4 + 3х + 6 = O(mod 144);

44.х3 - 17х2 +66х+178 = O(mod250);

45.х4 + 4х3 + 5х - 58 = O(mod 375);

46.х3 + 2х2 + 3х + 2 = O(mod440);

47.4х3 + 7х2 - 7х - 10 = O(mod450);

182 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля

50.3х2 + 6х + 45::: O(mod 675);

51.х5 + 2х4 + 3х3 + 2х2 - 2х - 2::: O(mod 686)

52.х3 - 2lx2 + 128х + 506::: O(mod 686);

53.х5 + х4 + х3 + х2 + х - 5::: O(mod 1080);

54.х5 + х4 - х3 + 5х2 + 30х - 45::: O(mod 1125);

55.2х5 + х2 + Зх + 81 ::: O(mod 2025);

56.х3 + 4х2 - 3::: O(mod 3375);

57.х3 - 5х2 + х + 10::: O(mod 8575);

58.х4 + 4х3 + 2х2 + х + 12::: O(mod 8575);

59.5х2 + 7х + 2::: O(mod 18);

60.Зlх3 + 57х2 + 77х + 191::: O(mod 100);

61.15х5 + 7х4 + 3х2 + l lx - 2 = O(mod 180);

62.3х4 + 2х3 + х2 + 44::: O(mod 200);

63.4х4 + 4х3 + 8х2 + 2х + 36 = O(mod 216);

64.х3 + х2 + х + 1=O(mod216);

65.х3 + х2 - 9х + 30 = O(mod 221);

66.х4 + 5х3 - 6х2 - 5х + 8::: O(mod 288);

67. х5 - 2х3 + х + 15 = O(mod 392);

68.х4 - 4х3 + 3х2 - х + 1 = O(mod432);

69.х4 + х3 + х2 + Зх + 6 = O(mod 675);

70.х4 - 2х3 - 4х + 5 = O(mod 800);

71.х3 + х + 2 =O(mod 1440);

72.х5 - 4х4 + 3х3 + 4х + 28::: O(mod 1960);

73.х5 + 2х3 + 4х2 - 3х + 5::: O(mod 2260);

74.х4 - 5х3 - Зх2 + 21=O(mod2268);

75.х3 + 4х2 + 3 = O(mod 3375);

76.х4 + х3 + х2 + 9х + 45 = O(mod 4725);

77.2х3 + 4х2 - х + 15::: O(mod6075);

78. х4 + х3 - х2 - 16lx + 5::: O(mod 10125);

79.х3 + х2 - 9х + 55 = O(mod 11507);

80.х4 - 2х2 - 2х + 16::: O(mod 75000).

81.Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух

случаев теоремы: /(х)::: O(modp~1p~2p~3 ), а1 ;;:i: 2, а2 ~ 2, аз~ 2.

82. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух слу­

чаев теоремы: /(х) =:O(modp~1 p~2pз), а1;;:i:2,а2 ;;:i: 2, Рз > Р2 > Р1 > 2.

83. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух

случаев теоремы: /(х) =O(modpf1p~2 ), аг ~ 4, а2 ~ 3.

84. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух

случаев теоремы: /(х) =O(modpf1p~2 ), а1 ~ 5, а2 ~ 2.

85. Придумайте и решите сравнение с использованием не менее двух

случаев теоремы: /(х) =O(mod pf1p~2 ), а1 ~ 2, а2 ~ 2, Р2 > Р1 > 2.

.86. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев

теоремы: /(х) =O(modpf1p~2 ), а1 ~ 3, а2 ~ 2,р2 > Р1 > 2.

87. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев

теоремы: /(х) =O(modpf1p~2 ), а1 ~ 4, а2 ~ 2..

88. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев

теоремы: /(х) =O(modpf'p2), а1 ~ 5.

89. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев

теоремы: /(х) =O(modpf1p~2pз), а1 ~ 5, а2 ~ 1.

90. Придумайте и решите сравнение с использованием всех трех случаев

теоремы: f (х) =O(mod pf' Р~2Рз), а1 ~ 2, а2 ~ 2, Рз > Р2 > Р1 > 2.

§ З. Задачи лабораторной работы

по теме «Цепные дроби»

1.а) Запишите в виде цепной дроби: 1381/966; 562/393; 858/257.

б) Найдите величину цепной дроби: [1, 1, 19, 2, 2, 2]; [1, 1, 1, 1, 13, 2]; [1, 3, 2, 1, 2, 2, 15].

в) Решите в целых числах уравнение:

д) Найдите величину цепной дроби: [1, 4, (2, 1, 3)]; [-1, 1, 3, (1, 5, 5)].

е) Найдите приближение 1252/545 подходящей дробью с точностью

2· 10-5 •

ж) Найдите приближение -.4+JШ5 подходящей дробью с точ-

67

ностью 9,1. 10-4 .

з) Найдите приближение -37Г/5 подходящей дробью с точностью

1,1 · 10-3 •

2.а) Запишите в виде цепной дроби: 3251/985; 1381/401; 743/544.

б) Найдите величину цепной дроби: [2, 1,2, 2, 1, 17]; {3, 1, 1,2, 3, 20, 2]; [2, 2, 15, 1, 2, 2].

184 Глава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля

в) Решите в целых числах уравнение:

140х + 290у = 2380; 324х + 336у = 3444.

д) Найдите величину цепной дроби: [-1, 4, (3, 1, 1)]; [-1, 3, (2, 2, 4)].

е) Найдите приближение 7952/3257 подходящей дробью с точно-

стью 10-s.

ж) Найдите приближение -59 + v'629подходящей дробью с точ-

46

ностью 1,3. 10-4 •

з) Найдите приближение -е/2 подходящей дробью с точностью

0,067.

3.а) Запишите в виде цепной дроби: 3853/1862; 3197/931; 191/150.

б) Найдите величину цепной дроби: [3,2,2, 1,2, 13,2]; [2, 1,3,20,3,3]; [1, 14,2,3,2,2].

в) Решите в целых числах уравнение:

36lx - 475у = 5358; 143х + 299у = 2574.

г) Запишите в виде цепной дроби: 16- J82; -5 + У195

29 34

д) Найдите величину цепной дроби:

[О, 1, 3, (1, 4)]; [-2, 5, (1, 1, 3)].

е) Найдите приближение 9049/2524 подходящей дробью с точно­

стью 8 · 10-5 •

ж) Найдите приближение -6 - ./2. подходящей дробью с точностью

4

7,2. 10-4 •

з) Найдите приближение -5е/4 подходящей дробью с точностью

0,067.

4.а) Запишите в виде цепной дроби: 1199/359; 539/223; 1633/435.

б) Найдите величину цещюй дроби: [3,3,3,2, 16,3]; [1, 19, 1,3,2, 1,3]; (3, 2, 3, 17, 2, 2].

в) Решите в целых числах уравнение:

д) Найдите величину цепной дроби: [0,2,(3, 1,3,3)]; (-1,5,(2,5,4)].

е) Найдите приближение 1791/1693 подходящей дробью с точно-

стью 7 · 10-5 •

186 Гnава 2. Задачи для промежуточного и итогового контроля

е) Найдите приближение 6873/4619 подходящей дробью с точно­ стью 5. 10-5 .

ж) Найдите приближение 25+ V37 подходящей дробью с точно-

12

стью 2,7 · lо-з.

з) Найдите приближение 57r/3 подходящей дробью с точностью

1,6. 10-4 •

8.а) Запишите в виде цепной дроби: 4013/1221; 727/270; 1560/1091.

е) Найдите приближение 2502/1733 подходящей дробью с точно­

стью 9. 10-5 •

ж) Найдите приближение -26- v'ТО подходящей дробью с точно-

18

стью 9,7 .10-з.

з) Найдите приближение -е подходящей дробью с точностью 0,036.

9.а) Запишите в виде цепной дроби: 985/929; 592/549; 1131/545.

е) Найдите приближение 7742/2633 подходящей дробью с точно­ стью 10-5 •