№9 Теорема о численностях мн-в. Задачи.

1) |β(A)|=2^|A|

2) |A×B|=|A|·|B|

3) |AUB|+|A∩B|=|A|+|B|

4) |AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|

№3 рис.

Док-во: если сложить |A| и |B|, то сумма будет больше |AUB| ровно на |A∩B|, т.к. элементы из ∩ были посчитаны 2 раза.

Задача. В классе 40 человек, из которых 29 не интересуются ничем, 8 – спортом, 6 – пельменями. Сколько спортсменов интересуется пельменями?

Решение:

1) 40-29=11 (чел.)

2) пусть C – спортсмены, Р – любители пельменей

|C∩P|=|C|+|P|-|CUP|=8+6-11=3

Если сложить |A|, |B|, |C|, то сумма будет больше |AUBUC| на |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|,т.к. эл-ты отсюда были сосчитаны 2 раза. Поэтому надо исходную сумму уменьшить на |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|.

Однако при этом эл-ты из А∩В∩С не будут сосчитаны ни разу, поэтому к ответу прибавляем |А∩В∩С| и получаем результат.

Задача. Нас 19 человек. Каждая из нас изучает хотя бы один из языков:E,D,F. |E|=15, |D|=16, |F|=13. Известно, что все три языка изучает 1 чел,E и D-8 чел,DиF-7чел, FиE-6чел.Вопрос: сколько чел изучает один E?только DиF?Сколько чел изучает только по одному языку?

|E∩неD∩неF|=2

|D∩F∩неE|=6

|E◊D◊F|=2+2+1=5

№10 Изображ декартова произведения АхВ числовых множеств а и в

Декартовым произведением мн-в A и B называется мн-во, состоящее изо всех упорядоченных пар вида (a,b), где aϵA, bϵB и только из них.

Пример: Пусть A={1,2,3}, тогда

A×B={(1,2), (2,2), (3,2),

(1,5), (2,5), (3,5)} Доказана теорема

|A×B|число эл-в=|A|·|B|

B×A={(2,1), (5,1),

(2,2), (5,2),

(2,3), (5,3)}

Видим, что декартово умножение не коммутативно. Оно и не ассоциативно. Докажем это. Возьмем A=B=C={0}

(A×B)×C=A×(B×C)

{(o,о),о}=л.ч.

{o,(о,о)}=п.ч.

л.ч≠п.ч. *